北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教案《三角形的內(nèi)角和定理》

《三角形的內(nèi)角和定理》?教材分析I/本節(jié)是北師大版教材八年級(jí)上冊(cè)第七章《平行線的證明》第五節(jié)的內(nèi)容。通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及與平行線相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何證明是比較熟悉的，他們已經(jīng)具有初步的幾何意識(shí)，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力。本節(jié)課旨在利用平行線的相關(guān)知識(shí)來證明三角形的內(nèi)角和定理以及靈活運(yùn)用這個(gè)定理解決相關(guān)問題，使學(xué)生突破原有的形象思維限制，引入幾何證明中的重要方法一一添加輔助線法，從而為下一節(jié)三角形外角的學(xué)習(xí)作好鋪墊，同時(shí)也為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)幾何證明打下良好的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課的內(nèi)容在教材編排上起著承上啟下的重要作用。?教學(xué)目標(biāo)?J【知識(shí)與能力目標(biāo)】掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決相關(guān)問題?！具^程與方法目標(biāo)】經(jīng)歷探索與證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生探索、歸納的能力，一題多解的能力、轉(zhuǎn)化知識(shí)并解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力?！厩楦袘B(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】初步體會(huì)思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生個(gè)性發(fā)展，使學(xué)生體驗(yàn)到解決問題的成就感，體會(huì)“合作雙贏”的理念。?教學(xué)重難點(diǎn)【1教學(xué)重點(diǎn)】探索三角形內(nèi)角和定理的證明過程及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】在三角形內(nèi)角和定理的證明過程中正確添加輔助線。「?課前準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備課件，學(xué)生準(zhǔn)備三角形紙片。教學(xué)過程1X.本節(jié)課的設(shè)計(jì)分為五個(gè)環(huán)節(jié)：情境引入、探索求知合作學(xué)習(xí)、證明定理例題解析、活用知識(shí)一一反饋練習(xí)、拓展延伸一一課堂小結(jié)、布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：情境引入、探索求知開場(chǎng)白：同學(xué)們，今天我們來學(xué)習(xí)《三角形的內(nèi)角和定理》。或許有同學(xué)會(huì)說：“老師,老掉牙了，地球人都知道！”沒錯(cuò)，今天的內(nèi)容確實(shí)很簡(jiǎn)單。但如果大家能在特別簡(jiǎn)單的知識(shí)中挖掘出更有價(jià)值的知識(shí)，那么你們將是最棒的！下面我們一起來進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)中來?；顒?dòng)內(nèi)容：1、舊知回顧、弓I入新課：?jiǎn)栴}1:你知道三角形的三個(gè)內(nèi)角之間存在怎樣的關(guān)系嗎？（由于學(xué)生在以前學(xué)過這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，所以很輕松地就可以答出。）問題2:你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程嗎？設(shè)計(jì)意圖：愛因斯坦說過：“問題的提出往往比解答問題更重要”，上課開始，我通過提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。教學(xué)效果：學(xué)生能夠很快進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，從心理上感知這節(jié)課的內(nèi)容很簡(jiǎn)單，排除學(xué)生對(duì)幾何證明的膽怯情緒。2、動(dòng)手操作、初步感知：（讓學(xué)生分小組討論：有什么辦法可以驗(yàn)證得出這樣的結(jié)論。學(xué)生會(huì)提出度量、撕拼或折疊的方法，然后讓每個(gè)學(xué)生用準(zhǔn)備好的三角形卡片將它的內(nèi)角撕下，試著拼折看。通過小組合作交流最后師生共同歸納總結(jié)拼圖方法。）實(shí)驗(yàn)1:將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。（指名同學(xué)上臺(tái)展演，其

他同學(xué)互相展示；對(duì)于不同拼法要給于鼓勵(lì)和肯定。等撕拼展示的同學(xué)完成后，還可讓其他同學(xué)對(duì)照模型圖抽象出幾何圖形，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維意識(shí)和細(xì)心觀察、善于發(fā)現(xiàn)問題之關(guān)鍵的能力。）撕拼驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°的基本方法如下所示：A圖1AA圖1A由以上拼法可以讓學(xué)生抽象出三種幾何圖形，使學(xué)生由形象思維過渡到理性思維（實(shí)際上是三種證法），為第二環(huán)節(jié)定理的證明做好充分準(zhǔn)備：實(shí)驗(yàn)2:將三角形的三個(gè)角折拼成一個(gè)平角。（小組交流后再展示，指定一位同學(xué)帶領(lǐng)大家一塊兒完成折疊過程。老師故意折錯(cuò)，使三個(gè)頂點(diǎn)不重合在一起，旨在讓學(xué)生理解折疊的實(shí)質(zhì)在于折痕與底邊是平行的，進(jìn)而為添加輔助線一一作平行線埋下伏筆。）具體方法：先將紙片三角形一角折向其對(duì)邊，使頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，折線與對(duì)邊平行（圖6-38（1））然后把另外兩角相向?qū)φ郏蛊漤旤c(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合（圖（2）、（3））,最后得圖（4）所示的結(jié)果。（試用自己的語言說明這一結(jié)論的證明思路）

(1)(2)(3)(4)設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比度量、撕紙、拼折等探索過程，讓學(xué)生體會(huì)思維實(shí)驗(yàn)和符號(hào)化的理性作用。將自己的操作轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言對(duì)于學(xué)生來說還存在一定困難。但撕拼圖和折拼示意圖中的平行線為學(xué)生搭建了一個(gè)臺(tái)階，使學(xué)生想到把平行線的判定定理逆變成性質(zhì)定理一一作平行線構(gòu)造同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角或平角來證明。教學(xué)效果：說理過程是學(xué)生所熟悉的，因此，學(xué)生能比較熟練地說出用度量、撕紙、折疊的方法可以驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理的原因一一構(gòu)造一個(gè)平角，為后面添加輔助線證明定理做好鋪墊。第二環(huán)節(jié)：合作學(xué)習(xí)，證明定理活動(dòng)內(nèi)容：教是為學(xué)服務(wù)的，教的最終目的是為了不教，教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法比單純教給學(xué)生證明更有效。教師設(shè)問：從剛才的活動(dòng)過程中，你能說出證明：“三角形內(nèi)角和等于180。這個(gè)結(jié)論的正確方法嗎？(1)、把你的想法與同伴交流。(2)、各小組派代表展示說理方法。、請(qǐng)同學(xué)們讓小明的想法變成現(xiàn)實(shí)。探究：剛才的撕紙、折紙都是把三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，如果不實(shí)際移動(dòng)/A和/B,你有什么方法可達(dá)到同樣的效果？根據(jù)前面的公理和定理，你能用自己的語言比較簡(jiǎn)捷的寫出這一證明過程嗎？與同伴交流，比比哪一個(gè)小組的方法好？已知：△ABC求證：/A+ZB+ZC=180°(在證明中，當(dāng)原來的條件不夠時(shí)，可添加輔助線，從而構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到已知與未知橋梁，把問題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會(huì)解的情況，這是解決問題常用的方法之一，輔助線通常畫成虛線。)方法總結(jié)：D.方法1：(作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角、平角)D.過A點(diǎn)作DE//BC???DE//BC

???/DABhB,ZEAC2C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）???/DAB+ZBAC+ZEAC=180???/BAC-ZB+ZC=180°（等量代換）方法2:（作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角、同位角、平角）作BC的延長(zhǎng)線CD過點(diǎn)C作射線CE//BA?/CE//BA?ZB=ZECD（兩直線平行，同位角相等）ZA=ZACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）???/BCA+ZACE+ZECD=180?ZA+ZB+ZACB=180（等量代換）3、課本“想一想”中小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎？添加輔助線思路：構(gòu)造平角或平行線（學(xué)生講解或老師講解，了解即可）方法3:?你有新的證法嗎？過點(diǎn)A作AD//BC（如圖）?/AD//BC?Z1=ZC,ZDABZABC180?ZBAGZB^ZC=ZDABZABC180方法4：（作平行線，構(gòu)造同位角、內(nèi)錯(cuò)角、平角）如圖，在BC邊上任取一點(diǎn)D,過D作DE//AB交AC于E,作DF//AC交AB于F???DE//ABZ1=ZB,Z2=Z4???DF//ACZ3=ZC,ZA=Z4Z2=ZA又tZ1+Z2+Z3=180°ZA+ZB+ZC=180°方法5:（作平行線，構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）C如圖，過點(diǎn)A任作一條射線ADC再作BE/ADCF//AD???BE//AD//CF,???/仁/3，/2=Z4,ZEB(+ZBC=180°???/BACZABCZACBZEB(+ZBC=180°設(shè)計(jì)意圖：通過小組討論，讓學(xué)生各抒已見，暢所欲言，鼓勵(lì)學(xué)生傾聽他人的方法，從中獲益；有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的說理能力、邏輯推理能力、語言表達(dá)能力以及一題多思、一題多解的創(chuàng)新精神，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)輔助線的橋梁作用，在潛移默化中滲透初中階段一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，為學(xué)好初中數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)效果：添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結(jié)論，需要引用某個(gè)定義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時(shí)就需要添輔助線創(chuàng)造條件，以達(dá)到證明的目的。第三環(huán)節(jié)：例題解析、活用知識(shí)活動(dòng)內(nèi)容：例題1:如圖，在厶ABC中，ZB=38°,ZC=62°,人。是厶ABC的角平分線，求ZADB的度數(shù)？DCDC分析：要求ZADB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知道ZB和ZBAD的度數(shù)，ZBAD的度數(shù)可以由ZBAC的度數(shù)得到，而ZBAC又可以由△ABC的內(nèi)角和來得到。設(shè)計(jì)意圖：通過例題的解析，讓學(xué)生體會(huì)分析問題的基本方法，滲透初中階段另一數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理來解決問題，達(dá)到活用知識(shí)的目的。教學(xué)效果：學(xué)生對(duì)于三角形內(nèi)角和定理的掌握是非常熟練，因此，學(xué)生能較好地解決與三角形內(nèi)角和定理相關(guān)的問題，但書寫過程可能會(huì)不盡人意。第四環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)、拓展延伸活動(dòng)內(nèi)容：、△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,ZB=?、ZA=50°,ZB=Z。，則厶ABC中ZB=?、三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只能有個(gè)直角或個(gè)鈍角。、任何一個(gè)三角形中，至少有個(gè)銳角；至多有個(gè)銳角。、三角形中三角之比為1:2:3,則三個(gè)角各為多少度？、已知：△ABC中，/C=ZB=2/A。、求/B的度數(shù)；、若BD是AC邊上的高，求/DBC的度數(shù)？設(shè)計(jì)意圖：通過習(xí)題，鞏固三角形內(nèi)角和知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性；通過討論一個(gè)三角形中最多有幾個(gè)直角、鈍角，至少有幾個(gè)銳角，以及知道角度之比求角的度和需要學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決第(6)小題等，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間、空間，讓學(xué)生在自主探索、合作交流的氛圍中，有機(jī)會(huì)分享學(xué)友的想法，培養(yǎng)學(xué)生之間良好的人際關(guān)系，拓展了三角形內(nèi)角和是180°的知識(shí)外延。教師能全面了解學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和定理內(nèi)容是否清楚，能否靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，以便教師能及時(shí)地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏。教學(xué)效果：學(xué)生對(duì)于三角形內(nèi)角和定理的掌握是非常熟練，因此，學(xué)生能較好地解決與三角形內(nèi)角和定理相關(guān)的問題，可能會(huì)在書寫過程方面需要老師指導(dǎo)或提醒。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)、布置作業(yè)(一)、課堂小結(jié)：采用先讓學(xué)生歸納補(bǔ)充，然后教師再補(bǔ)充的方式進(jìn)行：⑴這節(jié)課我們學(xué)了哪些知識(shí)？⑵你有什么收獲？1、證明三角形內(nèi)角和定理有哪幾種方法？(度量、撕拼、折疊、證明)2、輔助線的作法技巧：添加輔助線的實(shí)質(zhì)是通過平行線來移動(dòng)角一一構(gòu)造平行線間的內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角，構(gòu)造平角。3、三角形內(nèi)角和定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。*\?教學(xué)反思略?！度切蔚膬?nèi)角和定理》第2課時(shí)?三角形內(nèi)角和定理的證明?教材分析<J本節(jié)是北師大版教材八年級(jí)上冊(cè)第七章《平行線的證明》第五節(jié)的內(nèi)容。通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及與平行線相關(guān)的簡(jiǎn)單幾何證明是比較熟悉的，他們已經(jīng)具有初步的幾何意識(shí)，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力。本節(jié)課旨在利用平行線的相關(guān)知識(shí)來證明三角形的內(nèi)角和定理以及靈活運(yùn)用這個(gè)定理解決相關(guān)問題，使學(xué)生突破原有的形象思維限制，引入幾何證明中的重要方法一一添加輔助線法，從而為下一節(jié)三角形外角的學(xué)習(xí)作好鋪墊，同時(shí)也為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)幾何證明打下良好的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課的內(nèi)容在教材編排上起著承上啟下的重要作用。?教學(xué)目標(biāo)?/【知識(shí)與能力目標(biāo)】掌握三角形外角的兩條性質(zhì)；進(jìn)一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧.【過程與方法目標(biāo)】經(jīng)歷探索與證明的過程，培養(yǎng)學(xué)生探索、歸納的能力，一題多解的能力、轉(zhuǎn)化知識(shí)并解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的推理能力?！厩楦袘B(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】通過在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行教學(xué)使學(xué)生能自主地“做數(shù)學(xué)”，特別是培養(yǎng)有條理的想象和探索能力，從而做到強(qiáng)化基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。?教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】了解并掌握三角形的外角的定義；（重點(diǎn)）掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論，利用這兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算.（難點(diǎn)）【教學(xué)難點(diǎn)】掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論，利用這兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算.（難點(diǎn)）'?課前準(zhǔn)備”教師準(zhǔn)備課件，學(xué)生預(yù)習(xí)課本內(nèi)容。?教學(xué)過程j丿第一環(huán)節(jié)：情境引入活動(dòng)內(nèi)容：在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，用到了把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)得到/ACD這個(gè)角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它的性質(zhì).活動(dòng)目的：引出三角形外角的概念，并對(duì)其進(jìn)行研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。注意事項(xiàng)：教師應(yīng)在學(xué)生充分展示自己的意見之后，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從三角形的外角的角度進(jìn)行思考。第二環(huán)節(jié)：探索新知活動(dòng)內(nèi)容：三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫做三角形的外角，結(jié)合圖形指明外角的特征有三：頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上?！獥l邊是三角形的一邊。另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線。2?兩個(gè)推論及其應(yīng)用由學(xué)生探討三角形外角的性質(zhì)：?jiǎn)栴}1:如圖，AABC中，/A=70°,ZB=60°,ZACD是厶ABC的一個(gè)外角，能由/A、ZB求出/ACD嗎？如果能，ZACD與ZA、ZB有什么關(guān)系？問題2:任意一個(gè)厶ABC的一個(gè)外角ZACD與ZA、ZB的大小會(huì)有什么關(guān)系呢?

由學(xué)生歸納得出：推論1:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。推論2:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。例1、已知：/BAF/CBD/ACE是厶ABC的三個(gè)外角。求證：/BAF亡CBD#ACE=360分析：把每個(gè)外角表示為與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和即得證。證明：（略）?例2、已知：D是AB上一點(diǎn),E是AC上一點(diǎn)，BECD相交于F,/A=62°,/ACD=35,/ABE=20。求：（1）/BDC度數(shù)；（2）/BFD度數(shù)。解：（略）?；顒?dòng)目的：通過三角形內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)三角形外角的兩個(gè)推論，引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外、相等和不等的不同角度對(duì)三角形作更全面的思考。第三環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)活動(dòng)內(nèi)容:1.已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角/EAC/B=ZC.求證：AD//BC分析：要證明AD//BC只需證明“同位角相等”，即需證明/DAE=ZB證明：???/EA（=Z申/C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）/B=ZC（已知）1???/*丄/EAC（等式的性質(zhì)）2???AD平分/EAC（已知）匸???/DAE嘗/EAC（角平分線的定義）I???/DAE/B（等量代換）?AD//BC（同位角相等，兩直線平行）C想一想，還有沒有其他的證明方法呢？

C這個(gè)題還可以用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”來證證明：???/EA（=Z申/C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）/B=ZC（已知）1???/（=丄/EAC（等式的性質(zhì)）2???AD平分/EAC（已知）1???/DAC丄/EAC（角平分線的定義）2???/DAC/C（等量代換）AD//BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）還可以用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”來證證明：???/EA（=Z申/C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）/B=/C（已知）1???/8丄/EAC（等式的性質(zhì)）2???AD平分/EAC（已知）1???/DAC丄/EAC2/DAC/C（等量代換）?//申/BAG/C=180°/&■/BAG/DAC180。即：/B+/DAB=180°?AD//BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）已知：如圖，在三角形ABC中，/1是它的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到D,連接DE.求證：/1>/2.證明：T/1是厶ABC的一個(gè)外角（已知）??/1>/ACB（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）???/ACB是厶CDE的—個(gè)外角（已知）??/ACB/2（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）?/1>/2（不等式的性質(zhì)）如圖，求證：（1）/BDC/A(2)/BDC/&■/C+/A

如果點(diǎn)D在線段BC的另一側(cè)，結(jié)論會(huì)怎樣？理解掌握三［分析］通過學(xué)生的探索活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)一步了解輔助線的作法及重要性,角形的內(nèi)角和定理及推論?理解掌握三證法一：（1）連接證法一：（1）連接AD并延長(zhǎng)AD如圖，則/I是厶ABM—個(gè)外角，/2是厶ACD的一個(gè)外角。/?/1>/3/2>/4（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰