1.2.1 第2課時 排列的綜合應(yīng)用 學(xué)案(人教A版選修2-3)

第2課時排列的綜合應(yīng)用【課標(biāo)要求】1．掌握幾種有限制條件的排列．2．能應(yīng)用排列與排列數(shù)公式解決簡單的實際應(yīng)用問題．【核心掃描】1．與數(shù)字有關(guān)的排列問題．(難點)2．常見的解決排列問題的策略．(重點)3．分類討論在解題中的應(yīng)用．(易錯點)自學(xué)導(dǎo)引應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實際問題中的計數(shù)問題的基本步驟：試一試：某電視臺連續(xù)播放5個不同的廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的世博宣傳廣告，要求前兩個必須播放世博宣傳廣告，則不同的播放方式有________種(用數(shù)字作答)．提示分二步完成，第一步有Aeq\o\al(2,2)種方法，第二步有Aeq\o\al(3,3)種方法，因此共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12種．名師點睛1．無限制條件的排列應(yīng)用題解決問題的方法是把問題轉(zhuǎn)化為排列問題．弄清這里n個不同元素指的是什么，以及從n個不同元素中任取m個元素的每一種排列對應(yīng)的是什么事件，即把要計算的數(shù)轉(zhuǎn)化為一個排列數(shù)，直接利用排列數(shù)公式計算．2．有限制條件的排列應(yīng)用題所謂有限制條件的排列問題是指某些元素或位置有特殊要求．解決此類問題常從特殊元素或特殊位置入手進行解決，常用的方法有直接法和間接法，直接法又有分步法和分類法兩種．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解決，特別地：(ⅰ)當(dāng)某些特殊元素要求必須相鄰時可以先將這些元素看作一個整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，這種分步法稱為“捆綁法”，即“相鄰元素捆綁法”．(ⅱ)當(dāng)某些特殊元素要求不相鄰時，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空檔，這種方法稱為“插空法”，即“不相鄰元素插空法”．②分類法直接按特殊元素當(dāng)選情況或特殊位置安排進行分類解決，即直接分類法．特別地當(dāng)某些元素按一定順序排列時可用“等機率法”，即n個不同元素參加排列，其中m個元素的順序是確定的，這類問題的解法是采用分類法：n個不同元素的全排列有Aeq\o\al(n,n)種排法，m個元素的排列有Aeq\o\al(m,m)種排法，因此Aeq\o\al(n,n)種排法中關(guān)于m個元素的不同分法有Aeq\o\al(m,m)類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的，當(dāng)這m個元素順序確定時，共有eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))種排法．(2)間接法符合條件數(shù)等于無限制條件數(shù)與不符合條件數(shù)的差．故求符合條件的種數(shù)時，可先求與其對應(yīng)的不符合條件的種數(shù)，進而求解，即“間接法”.題型一數(shù)字排列的問題【例1】用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字(1)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？(2)可以組成多少個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？(3)可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)的三位奇數(shù)？(4)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？(5)可以組成多少個大于3000，小于5421的不重復(fù)的四位數(shù)？[思路探索]利用兩個計數(shù)原理及排列數(shù)公式解題，主要注意特殊元素“0”的位置．解(1)分三步：①先選百位數(shù)字．由于0不能作百位數(shù)字，因此有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個位數(shù)字有4種選法．由分步乘法計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×5×4＝100(個)．(2)分三步：①百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有6種選法；③個位數(shù)字有6種選法．故所求三位數(shù)共有5×6×6＝180(個)．(3)分三步：①先選個位數(shù)字，有3種選法；②再選百位數(shù)字，有4種選法；③選十位數(shù)字也有4種選法，所以所求三位奇數(shù)共有3×4×4＝48(個)．(4)分三類：①一位數(shù)共有6個；②兩位數(shù)共有5×5＝25(個)；③三位數(shù)共有5×5×4＝100(個)．因此，比1000小的自然數(shù)共有6＋25＋100＝131(個)．(5)分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，共有2×5×4×3＝120(個)；②千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，共有4×4×3＝48(個)；③千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為4，十位數(shù)字為0，1之一時，共有2×3＝6(個)；④還有5420也是滿足條件的1個．故所求四位數(shù)共120＋48＋6＋1＝175(個)．[規(guī)律方法]排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子上不排某個元素．解決此類問題的方法主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位子，若一個位子安排的元素影響另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．【變式1】用0,1,2，…，9十個數(shù)字可組成多少個滿足以下條件的且沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)：(1)五位奇數(shù)；(2)大于30000的五位偶數(shù)．解(1)要得到五位奇數(shù)，末位應(yīng)從1,3,5,7,9五個數(shù)字中取，有5種取法；取定末位數(shù)字后，首位就有除這個數(shù)字和0之外的8種不同取法；首末兩位取定后，十個數(shù)字還有八個數(shù)字可供中間的十位、百位與千位三個數(shù)位選取，共有Aeq\o\al(3,8)種不同的排列方法．因此由分步乘法計數(shù)原理共有5×8×Aeq\o\al(3,8)＝13440個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)；(2)要得偶數(shù)，末位應(yīng)從0,2,4,6,8中選取，而要得比30000大的五位偶數(shù)，可分兩類：①末位數(shù)字從0,2中選取，則首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一個，共有7種選取方法，其余三個數(shù)位可從除首末兩個數(shù)位上的數(shù)字之外的八個數(shù)字中選取，共Aeq\o\al(3,8)種取法．所以共有2×7×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．②末位數(shù)字從4,6,8中選取，則首位應(yīng)從3、4、5、6、7、8、9中除去末位數(shù)字的六個數(shù)字中選取，其余三個數(shù)位仍有Aeq\o\al(3,8)種選法，所以共有3×6×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．由分類加法計數(shù)原理，比30000大的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有2×7×Aeq\o\al(3,8)＋3×6×Aeq\o\al(3,8)＝10752(個)．題型二排隊問題【例2】3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)．(1)選5名同學(xué)排成一行；(2)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(3)全體站成一排，其中甲、乙必須在兩端；(4)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全體站成一排，男、女各站在一起；(6)全體站成一排，男生必須排在一起；(7)全體站成一排，男生不能排在一起；(8)全體站成一排，男、女生各不相鄰；(9)全體站成一排，甲、乙中間必須有2人；(10)全體站成一排，甲必須在乙的右邊；(11)全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右順序不變；(12)排成前后兩排，前排3人，后排4人．[思路探索]優(yōu)先考慮特殊元素、特殊位置，關(guān)于某些元素“相鄰”“不相鄰”或“定序”問題，應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則，元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，不相鄰問題，一般用“插空法”，“定序”問題一般用除法：N＝eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m)).解(1)無限制條件的排列問題，只要從7名同學(xué)中任選5名排列，即可得共有N＝Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)(直接分步法)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種方案，再考慮其余六人全排，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方案，再安排其余5人全排，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(種)．(4)法一(直接分類法)按甲是否在最右端分兩類；第一類：甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)(種)，第二類：甲不在最右端時，甲有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，而乙也有Aeq\o\al(1,5)個位置，而其余全排Aeq\o\al(5,5)，∴N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)，故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法二(間接法)無限制條件的排列數(shù)共有Aeq\o\al(7,7)，而甲或乙在左端(右端)的排法有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法三(直接分步法)按最左端優(yōu)先安排分步對于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法，余下六個位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但減去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．(5)相鄰問題(捆綁法)男生必須站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必須站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，全體男生、女生各視為一個元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)．(6)(捆綁法)即把所有男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素全排，故N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(種)．(7)即不相鄰問題(插空法)：先排女生共Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個女生隔成的五個空中安排有Aeq\o\al(3,5)種排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．(8)對比(7)讓女生插空：N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．(9)(捆綁法)任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3個元素全排，故N＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(種)．(10)甲與乙之間的左右關(guān)系各占一半，故N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520(種)．(11)甲、乙、丙自左向右順序保持不變，即為所有甲、乙、丙排列的eq\f(1,A\o\al(3,3))，∴N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(種)．(12)直接分步完成共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．[規(guī)律方法]排隊問題的解題策略排隊問題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰、定序等問題．(1)對于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決．即將相鄰的元素視為一個整體進行排列．(2)對于不相鄰問題，可采用“插空法”解決．即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中．(3)對于定序問題，可采用“除階乘法”解決．即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．【變式2】分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)．(1)6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相鄰．解(1)分排與直排一一對應(yīng)，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720(種)．(2)甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有Aeq\o\al(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)種排法，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480(種)．(3)甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(種)排法．題型三排列的綜合應(yīng)用【例3】從數(shù)字0,1,3,5,7中取出不同的三個數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有實根的方程有多少個？審題指導(dǎo)[規(guī)范解答]先考慮組成一元二次方程的問題．首先確定a，只能從1,3,5,7中選一個，有Aeq\o\al(1,4)種，然后從余下的4個數(shù)中任選兩個作b、c，有Aeq\o\al(2,4)種．(2分)∴由分步乘法計數(shù)原理知，共組成一元二次方程：Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48(個)(4分)方程要有實根，必須滿足Δ＝b2－4ac≥0.分類討論如下：(6分)當(dāng)c＝0時，a，b可在1,3,5,7中任取兩個排列，有Aeq\o\al(2,4)個；(8分)當(dāng)c≠0時，分析判別式知b只能取5,7.當(dāng)b取5時，a、c只能取1,3這兩個數(shù)，有Aeq\o\al(2,2)種；當(dāng)b取7時，a，c可取1,3或1,5這兩組數(shù)，有2Aeq\o\al(2,2)種．(10分)此時共有Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)個．由分類加法計數(shù)原理知，有實根的一元二次方程共有：Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18(個)．(12分)【題后反思】該例的限制條件較隱蔽，需仔細(xì)分析，一元二次方程中a≠0需要考慮到，而對有實根的一元二次方程需有Δ≥0.這里有兩層意思：一是a不能為0；二是要保證b2－4ac≥0，所以需先對c能否取0進行分類討論．實際問題中，既要能觀察出是排列問題，又要能搞清哪些是特殊元素，還要根據(jù)問題進行合理分類、分步，選擇合適的解法．因此需做一定量的排列應(yīng)用題，逐漸掌握解決問題的基本思想．【變式3】從集合{1,2,3，…，20}中任選出3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個？解設(shè)a、b、c∈N，且a、b、c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即a＋c應(yīng)是偶數(shù)．因此從1到20這20個數(shù)字中任選出三個數(shù)成等差數(shù)列，則第一個數(shù)與第三個數(shù)必同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，而1到20這20個數(shù)字中有10個偶數(shù)和10個奇數(shù)．當(dāng)?shù)谝粋€和第三個數(shù)選定后，中間數(shù)被唯一確定．因此，選法只有兩類．(1)第一、三個數(shù)都是偶數(shù)，有A