北京東城中學(xué)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精北京市第五十五中學(xué)2017—2018學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試卷高一數(shù)學(xué)第一部分（選擇題 共40分)一、選擇題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知全集，集合,則（)． A． B． C． D．【答案】B【解析】，，,故選2．函數(shù)的定義域為（)． A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，定義域，解出．故選．3．函數(shù)的圖象關(guān)于()． A．原點對稱 B．軸對稱 C．軸對稱 D．直線對稱【答案】C【解析】,，∴是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故選．4．若偶函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，則下列關(guān)系式中成立的是(）． A． B．C． D．【答案】D【解析】∵是偶函數(shù)，∴，∵在單調(diào)遞減，，∴，∴,故選．5．已知，,，則實數(shù)，，的大小關(guān)系為()． A． B． C． D．【答案】A【解析】∵,，∴,故選．6．已知函數(shù)的零點用二分法計算，附近的函數(shù)值參考數(shù)據(jù)如下表所示：則方程的近似解可取為(精確度）（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，,∴在上有零點，只有項．7．點從點出發(fā)，按逆時針方向沿周長為的正方形運動一周，記，兩點連線的距離與點走過的路程為函數(shù),則的圖像大致是（)． A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，當(dāng)時，為正比例函數(shù),當(dāng)時，不是正比例函數(shù),且圖象關(guān)于對稱，只有項符合要求．8．已知函數(shù),，若函數(shù)有四個零點,則的取值范圍（)． A． B． C． D．【答案】D【解析】圖象如圖，當(dāng)時,符合要求，故選．第二部分（非選擇題 共80分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則這個函數(shù)的解析式為__________．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)為，代入，∴．∴冪函數(shù)為．10．化簡__________．【答案】【解析】原式．11．函數(shù)恒過定點__________．【答案】【解析】,∵,∴恒過點．12．若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】在上單調(diào)遞增，∴,解出：．13．大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)，單位是,其中表示魚的耗氧量的單位數(shù),則一條鮭魚靜止時耗氧量的單位數(shù)是__________．【答案】【解析】當(dāng)時，，,∴．即鮭魚靜止時，耗氧單位數(shù)為．14．設(shè)函數(shù),給出四個命題：①是偶函數(shù)；②是實數(shù)集上的增函數(shù);③，函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；④函數(shù)有兩個零點．上述命題中，正確命題的序號是__________．(把所有正確命題的序號都填上)【答案】②③【解析】①錯，∵，，∴不是偶函數(shù)．②∵，由圖象知在上單調(diào)遞增，正確．③時，,關(guān)于原點對稱，正確．④若時，只有一個零點，錯誤．綜上,正確命題為②③．三、解答題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（本小題滿分分）已知集合,集合．（)求．（）若集合，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(）(）【解析】()∵，,∴，，∵,，,，∴．(），，∴或,解出．16。（本小題滿分分）已知函數(shù),且．（）判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性．(）證明函數(shù)為上是增函數(shù)．（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（）在定義域上為奇函數(shù)（）見解析(）在上最大值為,最小值為【解析】（)∵，，∴，∴，，∴在定義域上為奇函數(shù)．（）證明：設(shè)，∵，，，，∴，，∴在為增函數(shù)．（）∵在單調(diào)遞增在上，，．17．（本小題滿分分）一種藥在病人血液中的量保持在以上，才有療效；而低于，病人就有危險．現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減,那么應(yīng)在什么時候范圍再向病人的血液補充這種藥？（精確到）（參考數(shù)據(jù)：,，）【答案】見解析【解析】解:設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥小時后再向病人的血液補充這種藥，

依題意，可得，

整理,得，∴,∴，同理得，

解得：,

答：應(yīng)在用藥小時后及小時前再向病人的血液補充藥．17．（本小題滿分分）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量與時間之間的關(guān)系為．已知后消除了的污染物，試求：（）后還剩百分之幾的污染物．（）污染物減少所需要的時間．（參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】見解析【解析】(）由，可知時，,當(dāng)時，,所以，當(dāng)時，,所以個小時后還剩的污染物．（)當(dāng)時，有，解得，所以污染物減少所需要的時間為個小時．18．(本小題滿分分）已知二次函數(shù)的最小值為，且．(）求的解析式．（)若在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍．（）在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實數(shù)的取值范圍．【答案】見解析【解析】（)∵為二次函數(shù)且，∴對稱軸為，又∵最小值為，∴可設(shè)，∵，∴，∴，即．(）∵，的對稱軸為．∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∵在上不單調(diào)，則，∴，解出．（）令由題意在上恒成立，又∵對稱軸為，在上單調(diào)遞減，∴，．18．（本小題滿分分）定義在上的函數(shù)，如果滿足:對任意，存在常數(shù),都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．(）判斷函數(shù)，是否是有界函數(shù),請寫出詳細(xì)判斷過程．（）試證明:設(shè)，,若，在上分別以，為上界，求證:函數(shù)在上以為上界．（）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（)是有界函數(shù)（）見解析(）【解析】(）∵，對稱軸為,且在單