正切函數(shù)的性質與圖象教案1(高二數(shù)學)

高中數(shù)學《正切函數(shù)的圖像與性質》教學設計一、教學內容分析：三角函數(shù)是函數(shù)這個系統(tǒng)中的一個小分支，而正切函數(shù)又是三角函數(shù)這個小分支中的一個內容節(jié)點。讓學生能清晰地認識到所研究的內容與方法：在內容上主要研究函數(shù)的性質——定義域、值域、對稱性、周期性、單調性；在方法選擇上，數(shù)形結合應是對其性質研究的主要途徑。正切函數(shù)除了一般函數(shù)的研究內容外，還要針對其圖象的特點，特別地要研究其漸近線。在此也向學生進一步說明華羅庚教授的“數(shù)缺形少直觀，形少數(shù)難入微”的精妙，借助一切機會向學生滲透數(shù)學文化觀念，讓學生體會到：數(shù)學的美無處不在，數(shù)學無處不美。二、學情分析：本節(jié)課內容是《普通高中課程標準實驗教科書》（人教A版）數(shù)學必修四第一章《三角函數(shù)》第1.4.3節(jié)《正切函數(shù)的圖像與性質》。本節(jié)課是研究了正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質之后，又一具體的三角函數(shù)。教材首先根據(jù)單位圓得到正切函數(shù)的定義，給出正切線的概念，并類比畫正弦函數(shù)圖象的方式，利用正切線畫正切函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，研究正切函數(shù)的性質。體現(xiàn)了類比思想的應用，體現(xiàn)出數(shù)形結合思想在研究函數(shù)性質中的重要作用。學生已經掌握了正弦函數(shù)圖像的畫法和利用正弦函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質的方法，這為本節(jié)課的學習提供了知識的保障，這是有利的因素；但不足之處在于學生不能獨立地運用數(shù)形結合的思想來研究正切函數(shù)的相關問題。三、教學目標：1.知識與技能目標：①在對正切函數(shù)已有認知的基礎上，分析正切函數(shù)的性質。②通過已知的性質，利用正切線畫出正切函數(shù)在上的圖像，得到正切曲線。③根據(jù)正切曲線，完善正切函數(shù)的性質。2.過程與方法目標：在探究正切函數(shù)基本性質和圖像的過程中，滲透數(shù)形結合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的自主探索的學習習慣和學習能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣。3.情感態(tài)度價值觀目標：

在教學中使學生了解問題的來龍去脈；強調解決問題方法的落實以及數(shù)形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成。四、教學重點和難點：教學重點：正切函數(shù)的圖象與性質。教學難點：在單位圓中利用正切線畫正切函數(shù)的圖象。五、學法分析：類比學習法：即類比正弦函數(shù)圖象的畫法，作出正切函數(shù)的圖象；并利用其圖象，來研究正切函數(shù)的性質。六、教法分析：新課程標準倡導積極主動、勇于探索的學習方式，把學習的主動權還給學生。以此為宗旨，我采用引導教學法，引導學生自主學習、探究學習，努力做到教法、學法的最優(yōu)組合。結合本節(jié)內容的特征，主要采用啟發(fā)誘導式教學方式，讓學生自主地去探求知識。七、教學過程：本節(jié)課是研究了正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質后，又一具體的三角函數(shù)。學生已經掌握了角的正切定義，正切線和與正切有關的誘導公式，這為本節(jié)課的學習提供了知識的保障。在此基礎上，進一步研究其性質、體會研究函數(shù)方法的課，也是為解析幾何中直線斜率與傾斜角的關系等內容做好知識儲備的課．為了讓學生能更加直觀、形象地理解正切函數(shù)的值域和周期性變化，正切曲線的作圖過程，采用《超級畫板》自制課件進行演示，以提高了學生的學習興趣，使之能達到良好的教學效果。

教學過程及學生活動設計說明復習舊知識提問1：首先我們回憶角的正切是如何定義的？

角的正切：提問2：角是任意的嗎?

引出正切函數(shù)的定義域。提問3：由，讓學生分析量與量之間的關系正切函數(shù)的定義：，定義域：讓學生體會角的正切定義與正切函數(shù)之間的關系，為后續(xù)課程做鋪墊。正切函數(shù)的性質提問4：類比我們已經學習過的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質，我們可以從哪些方面來研究正切函數(shù)的性質？正弦、余弦函數(shù)都有哪些方面的性質呢？【學生回答其性質，教師一一板書?！刻釂?：我們對正切函數(shù)也已經有了初步的了解，譬如：正切線，與正切有關的誘導公式等，就已有的知識，下面請同學具體說明正切函數(shù)的性質？1．定義域：2．周期性：最小正周期是；3．奇偶性：奇函數(shù)；4．單調性：在整個定義域上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)，但在開區(qū)間內，函數(shù)單調遞增．5．值域：R

【利用超級畫板演示正切線的變化，讓學生直觀感受】利用已有的認知結構，探究未知的問題。類比，是研究問題最重要的方法之一。善于舉反例，不要忽視反例在數(shù)學中的作用。數(shù)學結合、利于消化和吸收！正

切

函

數(shù)

的

圖

像提問6：我們已知正切函數(shù)的部分性質，如何利用已有的性質畫出正切函數(shù)的圖像？由于正切函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)，所以我們只需要畫出它在一個周期內的圖像，然后通過平移就可以得到在整個定義域內的圖像。選擇哪一個長度為的區(qū)間呢？可以選擇區(qū)間；而正切函數(shù)又是奇函數(shù)，所以只需畫出在的圖像。0y0yx

的圖象，稱“正切曲線”。利用已知的性質，如何畫函數(shù)的圖像？

體會函數(shù)的性質與圖像之間的關系。

觀察圖像，豐富性質【值域】當且時，；當且時，。【單調性】對每一個，在開區(qū)間內，函數(shù)單調遞增。正切函數(shù)的圖像是被相互平行的直線所隔開的，無窮多支、形狀完全相同的曲線組成的。形與數(shù)的結合，更能抓住問題的本質。形與數(shù)對比正切函數(shù)的性質和圖像，分析各個性質在圖像上的反映，得出：函數(shù)的性質有利于畫函數(shù)的圖像，函數(shù)的圖像是其性質的直觀反應。

例題解析例題：求函數(shù)的定義域、周期和單調區(qū)間。

課堂小結正切函數(shù)的圖象及性質（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性）。課外作業(yè)求函數(shù)的定義域、值域、單調區(qū)間，并指出它的周期性、奇偶性。八、板書設計：課題：§1.4.3正切函數(shù)的圖象與性質一、正切函數(shù)的圖象：二、正切函數(shù)的性質：①定義域：②周期性：③奇偶性：④單調性：⑤值域：三、例題講解：四、課堂小結：五、課外作業(yè)：九、教學反思：課堂教學必須“從無效到有效，從有效到高效”。如何能做到高效的課堂，是我一直思考的問題。1.中學數(shù)學課堂承載的使命：

數(shù)學知識是靜態(tài)的，而數(shù)學思維則是動態(tài)的。數(shù)學思維與數(shù)學知識猶如人體的血肉關系：血液之榮枯外現(xiàn)于形體之盛衰。所以數(shù)學教學理應是數(shù)學思維活動的教學，其中揭示數(shù)學思維過程是數(shù)學教學最基本（最高）的指導原則。在本節(jié)課中，我時刻通過設置“矛盾沖突”撞擊學生的思維，比如：在得到正切函數(shù)的概念之后，提出如何研究這一具體函數(shù)的性質，啟發(fā)學生可以“類比”研究正、余弦函數(shù)的圖像和性質的方法；又如，在得到正切函數(shù)的部分性質之后，提出如何能“豐滿”正切函數(shù)的性質，啟發(fā)學生可以借助圖像進行研究，讓學生感受“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微”的精妙?？傊?，教師時刻以培養(yǎng)學生的思維為出發(fā)點的教學，才是真正的數(shù)學教學，才能承載中學數(shù)學課堂的使命——培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和數(shù)學素養(yǎng)。2.站在系統(tǒng)的高度組織教學：任何系統(tǒng)都是一個有機的整體，它不是各個部分的機械組合或簡單相加，系統(tǒng)論的核心思想是系統(tǒng)的整體觀念。數(shù)學知識更是一個有機整體。我習慣于運用系統(tǒng)的觀點對所教內容進行整合，以優(yōu)化其結構，系統(tǒng)其知識、能力與方法。其實，數(shù)學本身就是一個系統(tǒng)，在這個系統(tǒng)中，數(shù)學知識是“肉體”，數(shù)學思想和方法是“神經系統(tǒng)”，數(shù)學思維則是“靈魂”。三角函數(shù)是函數(shù)系統(tǒng)中的一個小分支，正切函數(shù)是三角函數(shù)這個小分支中的一個節(jié)點。正切函數(shù)的圖像和性質是“肉體”，類比和數(shù)形結合是“神經系統(tǒng)”，如何利用已知研究未知，則是“靈魂”。首先，類比研究正（余）弦函數(shù)的思路，提出問題，讓學生能清晰地認識本節(jié)課的內容：在內容上，是研究一個具體函數(shù)的性質——定義域、值域、對稱性、周期性、單調性；在思想方法上，數(shù)形結合應是對其性質研究的主要途徑.其次，在已有性質的基礎上，如何能讓正切函數(shù)的性質更加“豐滿”呢？學生自然能想到借助圖像，那么如何能得到圖像呢？引導學生，讓其找到畫函數(shù)圖像的方法。

我覺得，教師從系統(tǒng)論的高度把握高中數(shù)學教學，目的是使課堂教學更加有效，甚至高效。3.站在學生的角度組織教學：教師如果上課只是告訴學生數(shù)學結論或機械的方法，不但違背中學數(shù)學課堂教學所承載的使命，而且還不能培養(yǎng)學生的思維。下面以“課堂提問”為例，談談本節(jié)課如何站在學生的角度組織教學，如何有效搭建已知到未知（知識的生成過程）的橋梁。（1）提問的層次性：

課程兩端提問——整體（宏觀）

在本節(jié)課一開始，我提出問題：我們如何研究正切函數(shù)的性質，從哪些方面進行研究。這一提問能讓學生明白我們這節(jié)課的主題，學生就會一直圍繞這一問題進行思考，思維一直處在自我否定、自我完善的過程當中。

中間部分提問——局部（微觀，不失系統(tǒng)）

在研究函數(shù)的具體性質時，提出的問題就相對微觀。譬如奇偶性、周期性可以從已知的誘導公式得到，值域可以從正切線看出等等，但這些都是在建構已知到未知的知識體系。（2）提問的針對性：提問力爭做到有的放矢，緊緊圍繞重點，針對難點，扣住疑點，體現(xiàn)強烈的目標意識和明確的思維方向。比如在如何畫出正切函數(shù)的圖像這一問題上，我一直在引導學生可以從已有的性質入手，由周期性知：只需畫出一個周期內的圖像，再由奇偶性知：只需畫出半個周期內的圖像.（3）提問的適時性：當課堂出現(xiàn)教學沖突，學生對問題的認識出現(xiàn)分歧時，提問能讓沖突更加顯現(xiàn)，更能揭示問題的本質。比如，得到正切函數(shù)的圖像之后，學生會覺得這節(jié)課應該到此結束了。這是我提出：我們先前得到的性質還可以再完美些嗎？學生這時會恍然大悟，很自然地想到可以從單調性、對稱性、漸近線等方面，“豐滿”正切函數(shù)的性質。

數(shù)學課堂教學就是通過一系列有一定梯度、有一定內在聯(lián)系的問題鏈，由淺入深地引導學生思考，撞擊學生的思維，直至揭示問題的本質過程。最后，我想說的是，“課堂教學是一門遺憾的藝術”。本節(jié)課還有很多的不足，還有很多做得不到位的地方，譬如：如何能夠更加有效地利用信息技術等。通過以上一些思考，盡管不到位，但思之則活，思活則深，思深則透。我會不斷地反思自己的教學行為，總結教學的得失、成敗，對每個教學過程進行回顧、分析和審視，逐漸形成自我反思的意識和自我監(jiān)控的能力，不斷豐富自我素養(yǎng)，提升自我發(fā)展之能力，逐步完善教學之藝術。十、學習效果設計與實踐：

1．效果設計：本節(jié)課的內容是《正切函數(shù)的圖像與性質》。若按照教材直接利用正切線畫出正切函數(shù)的圖像，然后研究其性質，我覺得不能使知識成為一個系統(tǒng)，缺乏已有知識和未知知識的聯(lián)系，不利于培養(yǎng)學生的能力。知識的形成，是一個循序漸進的過程，不能一蹴而就。因此設計課程時，是在學生對正切函數(shù)已有的認知基