第二章非線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法

第二章非線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月非線性問題可分為三類：材料非線性、幾何非線性和邊界非線性。我們只討論前兩類問題。不管那類非線性問題，最終都?xì)w結(jié)為一組非線性方程Ψ(a)=0，a為待求的未知量。Ψ(a)=0可寫成平衡方程的形式Ψ(a)=P(a)-R=K(a)a

-R=0對(duì)非線性方程Ψ(a)=0，一般只能用數(shù)值方法求近似解答。其實(shí)質(zhì)是，用一系列線性方程組的解去逼近所討論非線性方程組的解。

分段線性法第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1直接迭代法1.2牛頓法和修正牛頓法1.3增量方法1.4增量弧長(zhǎng)法第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1直接迭代法Ψ(a)=P(a)-R=K(a)a

-R=0設(shè)初始未知量為a0，根據(jù)上式有a1=K(a0)-1R如果問題是收斂的，a1將比a0有所改善。如此反復(fù)迭代可得an+1=K(an)-1RΔan=an+1-

an當(dāng)設(shè)范數(shù)為或設(shè)范數(shù)為收斂條件則為將Ψ(an)視為不平衡力并作為衡量收斂的標(biāo)準(zhǔn)第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于單變量問題的非線性方程，直接迭代法的計(jì)算過程如圖1所示。圖上給出的是和

之間的關(guān)系，而不是

和，之間的關(guān)系

對(duì)單變量情況，直接迭代實(shí)質(zhì)是“割線”法，一定條件下這種迭代過程是收斂的，但對(duì)多自由度情況，由于未知量通過矩陣K(an)的元素互相耦合，在迭代過程中可能會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。a1=K(a0)-1R直至Δan=an+1-

an

滿足收斂條件第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂性第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2牛頓法和修正牛頓法如果將非線性方程Ψ(a)=0在an附近展開，則記KT(an)=[Ψ’(a)]n，Pn

=Ψ(an)Δan≈-[Ψ’(a)]n-1Ψ(an)切線矩陣不平衡力如此逐步計(jì)算，即可得到非線性方程的解答，這就是牛頓-拉夫森法。Ψ(a)=Ψ(an)+[Ψ’(a)]nΔan+。。。=0又如果[Ψ’(a)]n的逆存在，則Δan近似等于則Δan≈-KT(an)-1Pn，an+1=an+Δan第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月Δan≈-KT(an)-1Pn，an+1=an+Δan直至Δan滿足收斂性第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2牛頓法和修正牛頓法如果在迭代計(jì)算的每一步內(nèi)，矩陣KT都用初始近似解KT0計(jì)算，在這種情況下，僅第一步迭代需要完全求解一個(gè)線性方程組，如果將KT0三角分解并存儲(chǔ)起來，而以后各步迭代中采用迭代公式則只需對(duì)上式右端項(xiàng)中的進(jìn)行回代就行了。這種方法稱為修正的牛頓法。返首頁第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月使用修正的牛頓法求解非線性方程組，雖然每一步迭代所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間減少了，但迭代過程的收斂速度也降低了。為了提高修正牛頓法的收斂速度可采用某些過量修正技術(shù)。第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月加速技術(shù)：修正牛頓法的過量修正技術(shù)－搜索辦法返首頁在算出

后，新的近似解由下式給出

（i=1,2,···,N）其中

是大于1的正數(shù)，它稱為過量修正因子。確定的一維搜索辦法。將看做N維空間中的搜索方向，我們希望在該方向上找到一個(gè)更好的近似值，即找到一個(gè)式中的最好的值。雖然沿這一方向，不能期望求得精確解，但我們可以迭擇因子(在搜索問題中稱為步長(zhǎng)因子)，使在搜索方向上的分量為零，即上式是一個(gè)關(guān)于的單變量非線性方程。通?？捎靡恍┍容^簡(jiǎn)單的方法來估算出的大小。第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月加速技術(shù)：Aitken加速技術(shù)返首頁在算出

后，新的近似解由下式給出其中

是大于1的正數(shù)，它稱為加速因子。第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2牛頓法和修正牛頓法其中μn的作用是改變切線矩陣KT的主對(duì)角元素，使奇異性或病態(tài)得到改善。。此外，在某些非線性問題(如理想塑性和軟化塑性問題、塑性卸載)中用牛頓法，迭代過程中切線矩陣可能是奇異的或病態(tài)的，為了克服這一現(xiàn)象，可有多種處理方法，其一是按下式來求第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月使用某種算法的計(jì)算效率，除了與收斂速度有關(guān)外，還與每一步迭代所花費(fèi)的計(jì)算量有關(guān)。關(guān)于每步的計(jì)算量，牛頓法最大，而修正牛頓法最小。因此在實(shí)際問題的計(jì)算中判斷使用哪種方法效率較高，往往需要進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)?？偟目磥恚煌乃惴赡苓m用于不同的問題。選用哪種算法，與所研究問題的性質(zhì)(例如，對(duì)線性的偏離程度)、規(guī)模(離散的自由度總數(shù))以及容許誤差等因素有關(guān)。第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月求解非線性方程組的另一類方法是增量方法。使用這種方法需要知道“荷載”項(xiàng)(R)為零時(shí)問題的解(a)0。在實(shí)際問題中，(R)經(jīng)常代表真實(shí)荷載，(a)0代表結(jié)構(gòu)位移。在問題的初始狀態(tài)，它們均為零。這種從問題的初值開始，隨著荷載列陣(R)按增量形式逐漸增大，研究(a)i的變化規(guī)律的方法，稱為增量方法。當(dāng)問題的性質(zhì)與加載的歷史有關(guān)時(shí)，如彈塑性問題，則必須采用增量方法。1.3增量方法第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)“荷載”(R)在任一增量步的值為λ(R)，λ為荷載增量因子，(R)為標(biāo)準(zhǔn)荷載列陣,則非線性方程Ψ(a)=0可寫為引入切線矩陣且略去高階小量后可改寫為Ψ(a,λ)=P(a)-λR=0若λ+Δλ時(shí)的解答為a+Δa，象牛頓法一樣，將Ψ(a+Δ(a)),λ+Δλ)按Taylor級(jí)數(shù)展開，則可得第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)荷載增量因子λ分別取如下值am+1=am+Δam則荷載(R)可分成M級(jí)，第m級(jí)荷載為λmR，其增量為(λm+1-λm)R=ΔλmR。由此可得Δam=[KT(am,λm)]-1ΔλmR但是，這樣做的每一步都將產(chǎn)生誤差，結(jié)果使解答漂移。第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月自修正算法，在增量法每一增量步進(jìn)行自修正的迭代計(jì)算。其m增量步n次迭代的計(jì)算公式為返首頁自修正不平衡力使用這種改進(jìn)的算法，對(duì)于每一增量步都相當(dāng)于做一次修正。第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月所謂混合法是指，在增量法每一增量步進(jìn)行自修正的迭代計(jì)算。其m增量步n次迭代的計(jì)算公式為在實(shí)際計(jì)算中，對(duì)于m＜M-1的各增量步的計(jì)算，可以只進(jìn)行少許幾次(例如3次)迭代，而對(duì)于m=M-1，即最后的一個(gè)荷載增量，需耍使用較多次迭代，以使近似解更接近于真解。返首頁自修正不平衡力用混合法求解時(shí)，所選取的荷載增量的步長(zhǎng)可以比普通增量算法的步長(zhǎng)大一些。第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月用迭代法或增量法進(jìn)行極限分析時(shí)，在極值點(diǎn)附近往往可能不收斂。這時(shí)可用增量弧長(zhǎng)法來解決。為便于理解，以桿單向拉伸為例加以說明。1.4增量弧長(zhǎng)法增量弧長(zhǎng)法的基本思想是：將λ作為獨(dú)立變量，在每個(gè)增量步進(jìn)行自修正法平衡迭代，在迭代過程中自動(dòng)控制荷載因子λ的取值。也即前步結(jié)果本步n次增量第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，矢徑可表達(dá)為uuu有

由于弧長(zhǎng)法引入了如下約束方程由此可得第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月由矢量代數(shù)和約束方程可得也即若記因此要求交叉項(xiàng)為零則將其代入約束方程，可得第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月式中系數(shù)為上述式子是從簡(jiǎn)單情況推出的，如果除外均理解為矩陣，即為一般情況的弧長(zhǎng)法方程。第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣做迭代的軌跡很接近圓弧，而計(jì)算工作量可減少很多。從上述公式可見，求的工作量是很大的，為此，可令和相互垂直，也即第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月由相互垂直的條件可得綜上所述，弧長(zhǎng)法求解步驟為：1)選定荷載參考值，和本步荷載因子，解得，由求弧長(zhǎng)。2)修改切線剛度矩陣并三角化。檢查對(duì)角元，正定則加載，負(fù)定