信息論復(fù)習(xí)知識點

1、平均自信息為表示信源的平均不確定度，也表示平均每個信源消息所提供的信息量。平均互信息表示從Y獲得的關(guān)于每個X的平均信息量，也表示發(fā)X前后Y的平均不確定性減少的量，還表示通信前后整個系統(tǒng)不確定性減少的量。2、最大離散熵定理為：離散無記憶信源，等概率分布時熵最大。3、最大熵值為。4、通信系統(tǒng)模型如下：

5、香農(nóng)公式為為保證足夠大的信道容量，可采用（1）用頻帶換信噪比；（2）用信噪比換頻帶。6、只要，當(dāng)N足夠長時，一定存在一種無失真編碼。7、當(dāng)R＜C時，只要碼長足夠長，一定能找到一種編碼方法和譯碼規(guī)則，使譯碼錯誤概率無窮小。8、在認(rèn)識論層次上研究信息的時候，必須同時考慮到形式、含義和效用三個方面的因素。9、1948年，美國數(shù)學(xué)家香農(nóng)發(fā)表了題為“通信的數(shù)學(xué)理論”的長篇論文，從而創(chuàng)立了信息論。按照信息的性質(zhì)，可以把信息分成語法信息、語義信息和語用信息。按照信息的地位，可以把信息分成客觀信息和主觀信息。人們研究信息論的目的是為了高效、可靠、安全地交換和利用各種各樣的信息。信息的可度量性是建立信息論的基礎(chǔ)。統(tǒng)計度量是信息度量最常用的方法。熵是香農(nóng)信息論最基本最重要的概念。事物的不確定度是用時間統(tǒng)計發(fā)生概率的對數(shù)來描述的。10、單符號離散信源一般用隨機變量描述，而多符號離散信源一般用隨機矢量描述。11、一個隨機事件發(fā)生某一結(jié)果后所帶來的信息量稱為自信息量，定義為其發(fā)生概率對數(shù)的負值。12、自信息量的單位一般有比特、奈特和哈特。13、必然事件的自信息是0。14、不可能事件的自信息量是∞。15、兩個相互獨立的隨機變量的聯(lián)合自信息量等于兩個自信息量之和。16、數(shù)據(jù)處理定理：當(dāng)消息經(jīng)過多級處理后，隨著處理器數(shù)目的增多，輸入消息與輸出消息之間的平均互信息量趨于變小。17、離散平穩(wěn)無記憶信源X的N次擴展信源的熵等于離散信源X的熵的N倍。18、離散平穩(wěn)有記憶信源的極限熵，。19、對于n元m階馬爾可夫信源，其狀態(tài)空間共有nm個不同的狀態(tài)。20、一維連續(xù)隨即變量X在[a，b]區(qū)間內(nèi)均勻分布時，其信源熵為log2（b-a）。21、平均功率為P的高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵，Hc（X）=。22、對于限峰值功率的N維連續(xù)信源，當(dāng)概率密度均勻分布時連續(xù)信源熵具有最大值。23、對于限平均功率的一維連續(xù)信源，當(dāng)概率密度高斯分布時，信源熵有最大值。24、對于均值為0，平均功率受限的連續(xù)信源，信源的冗余度決定于平均功率的限定值P和信源的熵功率之比。25、若一離散無記憶信源的信源熵H（X）等于2.5，對信源進行等長的無失真二進制編碼，則編碼長度至少為3。26、m元長度為ki，i=1，2，···n的異前置碼存在的充要條件是：。27、若把擲骰子的結(jié)果作為一離散信源，則其信源熵為log26。28、同時擲兩個正常的骰子，各面呈現(xiàn)的概率都為1/6，則“3和5同時出現(xiàn)”這件事的自信息量是log218（1+2log23）。29、若一維隨即變量X的取值區(qū)間是[0，∞]，其概率密度函數(shù)為，其中：，m是X的數(shù)學(xué)期望，則X的信源熵。30、一副充分洗亂的撲克牌（52張），從中任意抽取1張，然后放回，若把這一過程看作離散無記憶信源，則其信源熵為。31、根據(jù)輸入輸出信號的特點，可將信道分成離散信道、連續(xù)信道、半離散或半連續(xù)信道。32、信道的輸出僅與信道當(dāng)前輸入有關(guān)，而與過去輸入無關(guān)的信道稱為無記憶信道。33、具有一一對應(yīng)關(guān)系的無噪信道的信道容量C=log2n。34、強對稱信道的信道容量C=log2n-Hni。三、判斷（每題1分）（50道）必然事件和不可能事件的自信息量都是0。錯自信息量是的單調(diào)遞減函數(shù)。對單符號離散信源的自信息和信源熵都具有非負性。對單符號離散信源的自信息和信源熵都是一個確定值。錯單符號離散信源的聯(lián)合自信息量和條件自信息量都是非負的和單調(diào)遞減的。對自信息量、條件自信息量和聯(lián)合自信息量之間有如下關(guān)系： 對自信息量、條件自信息量和互信息量之間有如下關(guān)系： 對當(dāng)隨即變量X和Y相互獨立時，條件熵等于信源熵。對當(dāng)隨即變量X和Y相互獨立時，I（X；Y）=H（X）。錯10、信源熵具有嚴(yán)格的下凸性。錯11、平均互信息量I（X；Y）對于信源概率分布p（xi）和條件概率分布p（yj/xi）都具有凸函數(shù)性。對12、m階馬爾可夫信源和消息長度為m的有記憶信源，其所含符號的依賴關(guān)系相同。錯13、利用狀態(tài)極限概率和狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率來求m階馬爾可夫信源的極限熵。對14、N維統(tǒng)計獨立均勻分布連續(xù)信源的熵是N維區(qū)域體積的對數(shù)。對15、一維高斯分布的連續(xù)信源，其信源熵只與其均值和方差有關(guān)。錯16、連續(xù)信源和離散信源的熵都具有非負性。錯17、連續(xù)信源和離散信源都具有可加性。對18、連續(xù)信源和離散信源的平均互信息都具有非負性。對19、定長編碼的效率一般小于不定長編碼的效率。對20、若對一離散信源（熵為H（X））進行二進制無失真編碼，設(shè)定長碼子長度為K，變長碼子平均長度為，一般>K。錯21、信道容量C是I（X；Y）關(guān)于p（xi）的條件極大值。對22、離散無噪信道的信道容量等于log2n，其中n是信源X的消息個數(shù)。錯23、對于準(zhǔn)對稱信道，當(dāng)時，可達到信道容量C。錯24、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表。對25、多用戶信道的信道容量不能用一個數(shù)來代表，但信道的信息率可以用一個數(shù)來表示。錯26、高斯加性信道的信道容量只與信道的信噪有關(guān)。對27、信道無失真?zhèn)鬟f信息的條件是信息率小于信道容量。對28、最大信息傳輸速率，即：選擇某一信源的概率分布（p（xi）），使信道所能傳送的信息率的最大值。錯29、對于具有歸并性能的無燥信道，當(dāng)信源等概率分布時（p（xi）=1/n），達到信道容量。錯30、求解率失真函數(shù)的問題，即：在給定失真度的情況下，求信息率的極小值。對31、信源的消息通過信道傳輸后的誤差或失真越大，信宿收到消息后對信源存在的不確定性就越小，獲得的信息量就越小。錯32、當(dāng)p（xi）、p（yj/xi）和d（xi，yj）給定后，平均失真度是一個隨即變量。錯33、率失真函數(shù)對允許的平均失真度具有上凸性。對34、率失真函數(shù)沒有最大值。錯35、率失真函數(shù)的最小值是0。對36、率失真函數(shù)的值與信源的輸入概率無關(guān)。錯37、信源編碼是提高通信有效性為目的的編碼。對38、信源編碼通常是通過壓縮信源的冗余度來實現(xiàn)的。對39、離散信源或數(shù)字信號的信源編碼的理論基礎(chǔ)是限失真信源編碼定理。錯40、一般情況下，哈夫曼編碼的效率大于香農(nóng)編碼和費諾編碼。對41、在編m（m>2）進制的哈夫曼碼時，要考慮是否需要增加概率為0的碼字，以使平均碼長最短。對42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵與“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。錯43、在游程編碼過程中，“0”游程和“1”游程應(yīng)分別編碼，因此，它們的碼字不能重復(fù)。錯44、L-D編碼適合于冗余位較多和較少的情況，否則，不但不能壓縮碼率，反而使其擴張。對45、狹義的信道編碼既是指：信道的檢、糾錯編碼。對46、對于BSC信道，信道編碼應(yīng)當(dāng)是一對一的編碼，因此，消息m的長度等于碼字c的長度。錯47、等重碼和奇（偶）校驗碼都可以檢出全部的奇數(shù)位錯。對48、漢明碼是一種線性分組碼。對49、循環(huán)碼也是一種線性分組碼。對50、卷積碼是一種特殊的線性分組碼。錯１．設(shè)Ｘ的取值受限于有限區(qū)間［a,b］，則X服從均勻分布時，其熵達到最大；如X的均值為，方差受限為，則X服從高斯分布時，其熵達到最大。2．信息論不等式：對于任意實數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立。3．設(shè)信源為X={0，1}，P（0）=1/8，則信源的熵為比特/符號，如信源發(fā)出由m個“0”和（100-m）個“1”構(gòu)成的序列，序列的自信息量為比特/符號。4．離散對稱信道輸入等概率時，輸出為等概分布。5．根據(jù)碼字所含的碼元的個數(shù)，編碼可分為定長編碼和變長編碼。6．設(shè)DMS為，用二元符號表對其進行定長編碼，若所編的碼為{000，001，010，011，100，101}，則編碼器輸出碼元的一維概率0.747,0.253。二、簡答題（30分）設(shè)信源為，試求（1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度；求二次擴展信源的概率空間和熵。解：（1）（2）二次擴展信源的概率空間為：X\X1/163/163/169/16什么是損失熵、噪聲熵？什么是無損信道和確定信道？如輸入輸出為，則它們的分別信道容量為多少？答：將H（X|Y）稱為信道的疑義度或損失熵，損失熵為零的信道就是無損信道，信道容量為logr。將H（Y|X）稱為信道的噪聲熵，噪聲熵為零的信道就是確定信道，信道容量為logs。信源編碼的和信道編碼的目的是什么？答：信源編碼的作用：（1）符號變換：使信源的輸出符號與信道的輸入符號相匹配；（2）冗余度壓縮：是編碼之后的新信源概率均勻化，信息含量效率等于或接近于100%。信道編碼的作用：降低平均差錯率。什么是限失真信源編碼？答：有失真信源編碼的中心任務(wù)：在允許的失真范圍內(nèi)把編碼的信息率壓縮到最小。三、綜合題（20+15+15）設(shè)隨機變量和的聯(lián)合概率空間為定義一個新的隨機變量(普通乘積)計算熵H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），以及H（XYZ）；計算條件熵H（X|Y），H（Y|X），H（X|Z），H（Z|X），H（Y|Z），H（Z|Y），H（X|YZ），H（Y|XZ）以及H（Z|XY）；計算平均互信息量I（X；Y），I（X：Z），I（Y：Z），I（X；Y|Z），I（Y；Z|X）以及I（X：，Z|Y）。解：（1）X\Y0101/83/81/213/81/81/21/21/2（2）X\Z0101/201/213/81/81/27/81/8Y\Z0101/201/213/81/81/27/81/8(3)設(shè)二元對稱信道