第二章定解問題

第二章定解問題主要內(nèi)容：

1、掌握用數(shù)理方程描繪研究物理問題的一般步驟。

2、掌握三類典型數(shù)理方程的推導(dǎo)過程和建立（導(dǎo)出）數(shù)理方程的一般方法，步驟。

3、正確寫出一些典型物理問題的定解問題和定解條件。

§2.1

引言一、數(shù)學(xué)物理方程簡介：

數(shù)學(xué)物理方程是指從物理問題中導(dǎo)出的反映客觀物理量在各個(gè)空間、時(shí)刻之間相互制約關(guān)系的一些偏微分方程。方程可以分為線性和非線性方程。偏微分方程的基本概念：注意：（1）方程的階數(shù)（2）線性和非線性例如：（3）齊次和非齊次齊次：以上這三類方程，從方程本身來看，其特點(diǎn)是二階線性偏微分方程?？梢钥闯?，方程中它們都是關(guān)于空間的二階偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于時(shí)間分別是二階，一階偏導(dǎo)數(shù)和與時(shí)間無關(guān)。因此，這三類方程在數(shù)學(xué)上又是三類不同的方程，依次分別可以稱為雙曲型、拋物型和橢圓型方程。發(fā)展史:(1)十八世紀(jì)初：Taylor:

(2)十九世紀(jì)中期，三類數(shù)理方程：波動方程

輸運(yùn)方程（熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散）穩(wěn)定場方程（勢場分布、平衡溫度場分布）（3）十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，其他方程：高階方程：非線性方程：淺水溝等離子體薛定諤方程：二、數(shù)學(xué)物理方程的一般性問題:（利用數(shù)理方程求解問題的一般步驟）（1）確定定解問題。泛定方程+定解條件=定解問題（2）定解問題的求解:行波法；分離變量法；積分變換法；格林函數(shù)法；保角變換法。（3）解的適定性。適定性：即存在性、唯一性和穩(wěn)定性。

§2.2三類數(shù)理方程的導(dǎo)出一、弦的橫振動方程（波動方程的建立）1、物理模型：設(shè)有一根細(xì)長柔軟的弦線，繃緊于A，B兩點(diǎn)之間，在平衡位置AB附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動，求這弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。2、分析：（1）確定研究對象：設(shè)u(x,t)為弦位移，則u滿足規(guī)律所求。為了研究u，在x位置處取x小段弦為研究對象。（2）物理問題的數(shù)學(xué)抽象：1）由于弦是“細(xì)長”的，所以忽略重力2）由于弦“繃緊”于AB兩點(diǎn)，這說明弦中各相鄰部分之間有拉力即“張力”作用；由于弦是“柔軟”的，所以相鄰小段張力總是弦線的切線方向；3）由于弦作“微小”的橫向振動，故相鄰點(diǎn)沿振動方向位移的差別很小，即無窮小量有了以上對問題的數(shù)學(xué)描述，下邊我們來具體推導(dǎo)方程3、研究建立方程：（1）任意段x受力：x軸方向:

Y軸方向：F為單位長度所受的外力對x受力分析，由牛頓第二定律得注意到在振動過程中即這一小段的長度在振動過程中可以看作是不變的。因此，由胡克(Hooke)定律知張力和線度都不隨t而變，即注意到得：對上式兩邊取x0時(shí)的極限即：弦的微小橫振動方程是一維的波動方程整理得其中：表示振動在弦上的傳播速度表示力密度，表示時(shí)刻t，作用于x處的單位質(zhì)量上的橫向外力。若稱為弦的自由振動，振動過程中不受外力。齊次波動方程事實(shí)上，除了以上一維波動方程，像薄膜振動（二維），電磁場方程（三維）等，均屬于波動方程：三維拉普拉斯算符補(bǔ)例：電磁場方程（三維波動方程）已知：電磁場的麥克斯韋方程組的微分形式是求解：電磁場所滿足的三維波動方程。由（4）式，并注意本構(gòu)關(guān)系1、3：由（2）式，并注意本構(gòu)關(guān)系2：又由矢量公式得H所滿足的方程為：同理得E所滿足的方程為：如果介質(zhì)不導(dǎo)電電磁場所滿足的三維波動方程二、熱傳導(dǎo)方程1.定解問題：設(shè)有一根橫截面積為的均勻細(xì)桿，沿桿長方向有溫度差，其側(cè)面絕熱，求桿中溫度的分布變化規(guī)律？不妨取x軸與桿重合，根據(jù)問題的物理敘述，利用熱傳導(dǎo)的相關(guān)定律，可以做以下的數(shù)學(xué)表述：因?yàn)闊崃恐粫刂鴹U長方向傳導(dǎo)，所以，這是一個(gè)一維問題?？梢杂胾(x,t)表示桿上x點(diǎn)處在t時(shí)刻的溫度。相關(guān)定義：Q—熱量；T—溫度；t—時(shí)間；V—體積；S—面積；ρ—密度。（1）比熱容（單位物質(zhì)升高單位溫度所需熱量）（2）熱流強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)垂直通過單位面積的熱量）（3）熱源強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)單位體積源放出的熱量）（k為熱導(dǎo)率，與介質(zhì)材料有關(guān)）3、建立方程：（1）在t時(shí)間內(nèi)引起小段x的溫度升高時(shí)，所需熱量為取（2）在t時(shí)間內(nèi)沿x軸正向流入x處截面的熱量為（3）在t時(shí)間內(nèi)沿x軸由x+x處正向流出截面的熱量為（4）在t內(nèi)，桿內(nèi)熱源在x段產(chǎn)生的熱量為根據(jù)能量守恒定律令，取極限一維的熱傳導(dǎo)方程，類似可得三維擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)方程：三、穩(wěn)定場方程（泊松公式）1、定解問題：在充滿介電常數(shù)ε的介質(zhì)區(qū)域中，有體密度為ρ(x,y,z)的電荷分布，試研究這個(gè)區(qū)域中的靜電場的分布特性。2、分析：因?yàn)殪o電場是有勢場，勢函數(shù)V滿足所以，研究電場分布特性只需確定勢函數(shù)的規(guī)律即可。所以，確定研究對象為V(x,y,z)已知：穩(wěn)定場不隨時(shí)間變化，3、建立方程：在研究的區(qū)域中，任作一封閉曲面S，其所包圍的空間區(qū)域?yàn)棣?，則由介質(zhì)中靜電場中的高斯定理，得把面積分化為體積分：因此由E/V關(guān)系和矢量場運(yùn)算得這就是介質(zhì)中的靜電場滿足的泊松方程。4、幾點(diǎn)說明：（1）如果我們所討論的區(qū)域中無電荷，得拉普拉斯方程：（2）穩(wěn)定的濃度分布和溫度場方程：可由建立數(shù)理方程一般的三個(gè)步驟：（1）對所研究的問題做數(shù)學(xué)抽象表述，從所研究的系統(tǒng)中劃出一小部分，即微元作為研究對象，分析相鄰部分與這一小微元的相互作用；（2）根據(jù)相關(guān)領(lǐng)域中的物理學(xué)的規(guī)律（如前面所用的牛頓第二定律、能量守恒定律、高斯定律等），以數(shù)學(xué)表達(dá)對微元的這種作用關(guān)系；（3）化簡、整理，取相應(yīng)的極限過程，得到數(shù)學(xué)物理方程。作業(yè)1§2.3定解條件一、引入定解條件的必要性：1、從物理角度看：物理方程僅能表示一般性，要個(gè)性化物體的規(guī)律需要附加條件。2、從數(shù)學(xué)角度看：微分方程的解的任意性需要附加定解條件來具體化。3、定解條件包括：初始條件和邊界條件。二、初始條件從數(shù)學(xué)角度看，對于一個(gè)含有時(shí)間變量的微分方程，其未知函數(shù)將隨時(shí)間的不同而不同。所以必須考慮到研究對象的某個(gè)所謂“初始”時(shí)刻的狀態(tài)，我們把這個(gè)物理過程的初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為初始條件。

例如：波動方程的初始條件：給出弦上各點(diǎn)在開始振動時(shí)刻的初始位移：給出弦上各點(diǎn)的初始速度：2、注意：（1）初始條件應(yīng)該給出整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)：例如：兩端固定的弦振動，初始條件為：

（2）如果泛定方程是關(guān)于時(shí)間變量t的n階(n=1,2…)方程，就必須給出n個(gè)初始條件，只有這樣才可能給出具體問題的定解。例長為l的細(xì)桿導(dǎo)熱問題，設(shè)其初始溫度均勻，記為u0，試寫出該過程的初始條件。解：由題意，得三、邊界條件1、定義：由于泛定方程中的未知函數(shù)均是空間位置的函數(shù)，必須考慮研究對象所處的特定環(huán)境和邊界的物理狀況。這是因?yàn)樗芯康奈锢砹吭谀骋晃恢门c其相鄰位置的取值之間的關(guān)系，將會延伸到被研究的區(qū)域的邊界，與邊界狀況發(fā)生聯(lián)系。我們稱這個(gè)物理過程的邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式為邊界條件。

2、三類邊界條件：（1）第一類邊界條件：又稱狄利克萊（利，Dirichlet）條件，它直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值，即

例：長為l兩端固定的弦的橫振動問題：一維桿的熱傳導(dǎo)問題，已知：（2）第二類邊界條件：又稱為偌依曼（Neumann）條件，它給出了未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)的值例:長為l的細(xì)桿的縱振動問題。若x=l端受有外力，單位面積所受的力為F(t)，另一端固定在墻