第07章2節(jié)二重積分計(jì)算法

1第七章重積分7.2

二重積分的計(jì)算法7.2.1

利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

當(dāng)積分區(qū)域是X型區(qū)域時(shí)

當(dāng)積分區(qū)域是Y型區(qū)域時(shí)2解積分區(qū)域如圖所示。應(yīng)先積x，后積y1yx3yox應(yīng)先積y

，后積x。評(píng)注本例中兩題不能交換積分次序，因?yàn)橄确e分的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達(dá)出來，從而二重積分計(jì)算不出來。解積分區(qū)域如圖所示。4例5求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體體積。解設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性，只要算出它在第一卦限部分(如圖(a))的體積V1，然后再乘以8就行了。x2+y2=R2及x2+z2=R2yoxDxyRRzo5

所求立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的底為如圖所示，它的頂是柱面yoxDxyRRzo6yoxD利用公式(1)，得xyRRzo77.2.2利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界用極坐標(biāo)方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r、

表達(dá)比較簡(jiǎn)單。這時(shí)，我們就可以利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。

下面我們來研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式。81、極坐標(biāo)系下的二重積分的形式

假定從極點(diǎn)O出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn)。我們用(2)從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個(gè)小區(qū)域（如上圖）。(1)以極點(diǎn)為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，9

除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積⊿

i可計(jì)算如下：1011122、如何化為兩次單積分積分順序：一般是先積r后積

。定限的方法：依D的特點(diǎn)。OxDOxD13OxDOxD14αβOxD15oxD

由二重積分的性質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積

可以表示為16(1)17(2)18(3)19202122122324解積分區(qū)域D的圖形D：0

r

a,0

θ

2

2526D1OxyRD2SD127OxyRSD1D2D1OxyR2829例4求球體x2+y2+z2=4a2被圓柱x2+y2=2ax(a>0)所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。Dyxo2axyoD

303132解由被積函數(shù)的對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分337.2.3二重積分的換元法

上述將直角坐標(biāo)系下二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分本質(zhì)上是一種變量代換，即極坐標(biāo)變換。積分區(qū)域的變換：將直角坐標(biāo)系中的扇形域D變?yōu)闃O坐標(biāo)系中的矩形域D1。34其邊界的對(duì)應(yīng)為35由此得到36上式右端是在D1上確定積分限。由此可見討論二重積分的一般坐標(biāo)變換：

應(yīng)分析uov平面上區(qū)域D1與xoy平面上區(qū)域D的變換及面積元素之間的關(guān)系，然后將uv平面上的二重積分化為二次積分?？梢宰C明37定理7.2.1設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)公式（5）稱為二重積分的換元公式。38