高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（基礎(chǔ)篇）（解析版）

2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（基礎(chǔ)篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)PM-PN+A．PM B．NP C．0 D．MN【解題思路】根據(jù)向量減法原則，以及相反向量的定義，即可得出結(jié)果.【解答過程】根據(jù)向量減法原則，PM-PN=故PM-PN+故選：C.2．（5分）（2023春·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)1,4在拋物線y=axA．1,0 B．(0,1) C．0,116 D【解題思路】先將點(diǎn)代入求得拋物線方程，再將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)1,4在拋物線y=ax2上，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,故選：C.3．（5分）（2023春·廣東深圳·高二校考期中）橢圓x28+y2A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【解題思路】根據(jù)定點(diǎn)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系.【解答過程】直線過定點(diǎn)M1,0在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交故選:B.4．（5分）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在C

A．QP=310C．QP=310【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【解答過程】因?yàn)镻是CA所以AP=又因?yàn)辄c(diǎn)Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故選：C.5．（5分）（2023秋·甘肅金昌·高二?？计谀┮阎本€l1：x-2y-2=0的傾斜角為θ，直線l2的傾斜角為2θ，且直線l2A．x+y-3=0 B．4x-【解題思路】根據(jù)正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.【解答過程】解：∵直線l1：x-2y-2=0的傾斜角為θ∵直線l2的傾斜角為2θ，∴斜率為∴l(xiāng)2的方程為y=4故選：B．6．（5分）（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:y=3x與圓C:x2A．105 B．65 C．238【解題思路】求出圓心和半徑，由垂徑定理得到|AB|，從而求出△【解答過程】圓C的方程為x2+(y-2)2點(diǎn)C到線段AB的距離為d=故|AB∴△ABC的面積S故選：B.7．（5分）（2023·福建廈門·廈門一中校考一模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2A．152 B．102 C．153【解題思路】作出圖形，分析可知∠F1AF2為直角三角形，設(shè)AF2=【解答過程】如下圖所示：因?yàn)镺A=c=OF所以，∠F因?yàn)锽F1=5設(shè)AF2=m，則由勾股定理可得AF12整理可得m2+5am-6a2=0，因?yàn)橛晒垂啥ɡ砜傻肁F12+A因此，該雙曲線的離心率為e=故選：B.8．（5分）（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1A．DB1⊥平面ACD1 B．直線C．平面A1C1B∥平面ACD1【解題思路】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合正方體的性，利用空間向量逐個(gè)計(jì)算判斷即可【解答過程】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,0,0),設(shè)E(x,y,1)，B設(shè)F(1,a,b)，BF對(duì)于A，因?yàn)镈B所以DB1?AC=0因?yàn)锳C∩AD1=A，AC,AD對(duì)于B，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面因?yàn)锳C⊥BD，BB1∩BD=B，所以AC=(1,1,0)為平面BB1設(shè)直線AE與平面BB1Dsinθ=AC對(duì)于C，由選項(xiàng)A可知DB1⊥平面ACD1因?yàn)锳1C1所以DB因?yàn)锳1C1∩A1B=A所以平面A1C1B∥平面對(duì)于D，因?yàn)锳F=(1,μ,μ)d=AF?故選：B.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023春·云南昆明·高二校考階段練習(xí)）已知方程x24-t+yA．當(dāng)1<t<4時(shí)，曲線C是橢圓 B．當(dāng)t>4或tC．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<t<52 D．若曲線C【解題思路】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項(xiàng)判斷作答.【解答過程】對(duì)于A，當(dāng)t=52時(shí)，4-t=對(duì)于B，當(dāng)t>4或t<1時(shí)，(4-t)(t對(duì)于C，若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4-t>t-1>0對(duì)于D，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則4-t<0<t-1故選：BCD.10．（5分）（2023春·廣東深圳·高二校考階段練習(xí)）一條光線從點(diǎn)A-2,3射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C:A．3x-4C．4x-3【解題思路】反射光線一定經(jīng)過點(diǎn)A-2,3關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，考慮斜率不存在和斜率存在兩種情況，利用【解答過程】點(diǎn)A-2,3關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為-2,-3由于C:(x-3)若反射光線的斜率不存在，此時(shí)反射光線方程為x=-2，與圓C設(shè)反射光線的斜率為k，則可得出反射光線為y+3=kx因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切，則圓心3,2到反射光線的距離d=r，即解得k=43或34，則反射直線的方程為故選：BC.

11．（5分）（2023秋·廣東湛江·高三?？奸_學(xué)考試）已知圓C:(x-3)2+A．圓C的圓心坐標(biāo)為3,1B．當(dāng)r=2時(shí)，C．當(dāng)MA⊥CA且rD．當(dāng)AB=2時(shí)，r的最小值為【解題思路】由方程得出圓心坐標(biāo)；由兩圓的位置關(guān)系得出m的范圍；由勾股定理結(jié)合距離公式判斷C；由AB為圓C的直徑，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【解答過程】由圓C的方程可知圓C的圓心坐標(biāo)為3,1，即A正確；當(dāng)r=2時(shí)，圓M:(所以有1<(m-3)2+(2因?yàn)镸A⊥CA，且r=3即(m-3)2+(2m因?yàn)閳AC的直徑為2，所以當(dāng)AB=2時(shí)，AB為圓C所以r2當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)，rmin=6故選：ABD.12．（5分）（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為26的正三角形，底面ABCD為矩形，CD=23，

A．CQ⊥平面PADB．PC與平面AQC所成角的余弦值為2C．三棱錐B-ACOD．四棱錐O-ABCD【解題思路】證明OD,OE,OP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面PAD的法向量，和QC比較可判斷A；根據(jù)線面角的向量求法可判斷B；根據(jù)等體積法可判斷C【解答過程】如圖，取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)E，連接OE，OP,則OE∥AB，而

因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，所以O(shè)P因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面所以O(shè)P⊥平面ABCD因?yàn)锳D⊥OE，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)D,OE,OP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)O(0,0,0)，D(因?yàn)镼是PD的中點(diǎn)，所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為62平面PAD的一個(gè)法向量可取為m=(0,1顯然m=(0,1,0)與QC不共線，所以CQPC=(6,23,-3設(shè)平面AQC的一個(gè)法向量為n=(x,令x＝1，則y=-2，z=-設(shè)PC與平面AQC所成角為θ,θ∈[0,所以cosθ=2三棱錐B-ACQ的體積為VB由題意四棱錐O-ABCD外接球的球心位于平面yOz上，設(shè)為點(diǎn)則MQ=所以622+即M(0,3,0)所以四棱錐O-ABCD外接球的半徑為MD=故選：BD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知a=-3,2,5，b=1,5,-1，則a【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得正確答案.【解答過程】由于a+3所以a?故答案為：44.14．（5分）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線l與l1:x-y+1=0，l2【解題思路】設(shè)直線l方程為x-y【解答過程】根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為x-因?yàn)橹本€l與l1:x所以c-11所以直線l方程為x-故答案為：x-15．（5分）（2023春·上海長(zhǎng)寧·高二校考期中）已知拋物線y2=4x與過焦點(diǎn)的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為32，則弦AB的長(zhǎng)|【解題思路】根據(jù)題意設(shè)AB:x=ty+1，聯(lián)立拋物線及韋達(dá)定理，結(jié)合弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)求參數(shù)【解答過程】由題意拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，且直線AB斜率不為0，設(shè)AB聯(lián)立拋物線得y2-4ty-4=0，所以xA+x則|AB故答案為：5.16．（5分）（2023春·貴州畢節(jié)·高二校考階段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，E為PC的中點(diǎn)，則P到平面BDE的距離為【解題思路】根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，AB,AD,【解答過程】因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB,AD?平面因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB⊥所以以A為原點(diǎn)，AB,AD,A(0,0,0),因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E1所以BE=設(shè)平面BDE的法向量為m=(m?BE=-12所以P到平面BDE的距離為d=故答案為：22四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023秋·新疆喀什·高二校聯(lián)考期末）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a=3，焦點(diǎn)是-3,0(2)離心率為45，短軸長(zhǎng)為6的橢圓【解題思路】（1）由題意設(shè)雙曲線方程為x2（2）分橢圓的焦點(diǎn)在x軸時(shí)和y軸時(shí)討論求解即可.【解答過程】（1）由題意設(shè)雙曲線方程為x2a2又a=3，故所以雙曲線的方程為x2（2）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為x2a2由題可得ca=452所以橢圓方程為x2當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，設(shè)橢圓方程為y2a2由題可得ca=452所以橢圓方程為y2所以，所求橢圓方程為x225+18．（12分）（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獌芍本€l1:3-mx+2my+1=0,(1)平行；(2)垂直.【解題思路】（1）根據(jù)l1:A1x+B（2）根據(jù)l1:A1x+【解答過程】（1）因?yàn)閘1//l2，所以2m當(dāng)m=1時(shí)，直線l故m=-32（2）因?yàn)閘1⊥l2，所以2m19．（12分）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)x,y∈R，向量a=x,1,1，b(1)求a+(2)求向量a+b與【解題思路】根據(jù)空間向量垂直和平行的性質(zhì)，求出x、y，進(jìn)而求出向量a和b，再進(jìn)行相應(yīng)運(yùn)算即可.【解答過程】（1）由題意，a⊥b，可得x+y+1=0則a=1,1,1，b=故a+（2）因?yàn)?a所以a+故向量a+b與2a20．（12分）（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獔AC:(1)過點(diǎn)P3,5作圓C的切線l，求l(2)若直線AB方程為3x+y-8=0與圓C【解題思路】（1）討論切線l斜率是否存在設(shè)方程，利用相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑列關(guān)系計(jì)算即得結(jié)果；（2）計(jì)算C1到直線AB的距離d，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦長(zhǎng)AB【解答過程】（1）圓C1方程可化為(x-2)2由(3-2)2+(5-3)當(dāng)過點(diǎn)P的直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=即kx-則圓心C1到直線l的距離為2k-∴l(xiāng)的方程為34x當(dāng)過點(diǎn)P的直線斜率不存在時(shí)，l的方程為x=3，此時(shí)l與圓C∴l(xiāng)的方程為3x-（2）直線AB方程為3x則圓心C到直線AB的距離d=AB=221．（12分）（2023秋·廣東湛江·高三?？奸_學(xué)考試）已知橢圓E:x2a2+y2b(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l:y=x-2mm≠0與橢圓E相交于【解題思路】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，求得a,（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)Δ>0，得到m的范圍，由點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，分別求得d=322m【解答過程】（1）解：由題意，可得BF=a=2，且e=c所以橢圓E的方程為x2（2）解：由直線l的方程為y=x-2m，則點(diǎn)N聯(lián)立方程組x24+由判別式Δ=256m2設(shè)Ax1,可得AC=2?x所以S=3當(dāng)且僅當(dāng)m=±所以所求直線的方程為y=x+

22．（12分）（2023春·福建泉州·高二?？计谥校┤鐖D，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面

(1)求直線PA與平面BDM所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)P到平面BDM的距離．【解題思路】（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDM的法向量n和PA的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）求出OP與平面BDM所成角的正弦值，結(jié)合d=OP【解答過程】（1）解：因?yàn)槠矫鍭BCD是菱形，所以AC⊥又因?yàn)镺P⊥底面