2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1．設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可由共軛復(fù)數(shù)的定義得，由虛部的定義即可求解.【詳解】由題意，化簡(jiǎn)得，則，所以復(fù)數(shù)的虛部為．故選：B3．下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，又，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝e－x，即x＝0時(shí)取等號(hào)，故C正確；當(dāng)時(shí)，sinx∈（0，1），，當(dāng)且僅當(dāng)，即sinx＝1時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閟inx∈（0，1），故D錯(cuò)誤．故選：C.4．若tanα＝2，則的值為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】將目標(biāo)是分子分母同時(shí)除以，結(jié)合正切值，即可求得結(jié)果.【詳解】＝＝.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查齊次式的化簡(jiǎn)和求值，屬基礎(chǔ)題.5．棱長(zhǎng)分別為2、、的長(zhǎng)方體的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得外接球半徑，然后求解其表面積即可.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的外接球半徑為，由題意可知：，則：，該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.6．如圖，在梯形中，，，，若，則（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得，進(jìn)而可求，由數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，，，所以，化?jiǎn)得．故．故選：D7．雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)），教練組3人，站成一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)捆綁法以及特殊元素優(yōu)先安排的原則，即可由排列組合以及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】選擇左右兩邊其中一邊將教練組3人捆綁看作一個(gè)整體安排共有種排法，將剩余的11名隊(duì)員全排列共有，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的站法有，故選:B.8．已知實(shí)數(shù)，記函數(shù)構(gòu)成的集合．已知實(shí)數(shù)、，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，結(jié)合其定義以及不等式的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)?，，設(shè)，則，，即有，所以，故D正確，由于，則，即，所以，所以，故C錯(cuò)誤，根據(jù)，，無法得到，故A錯(cuò)誤，由于，所以，又，故無法得到，所以B錯(cuò)誤，故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解新定義運(yùn)算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運(yùn)用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.對(duì)于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計(jì)算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計(jì)算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識(shí)求解.二、多選題9．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法正確的是（

）x681012y6m32A．變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系 B．C．可以預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，約為 D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點(diǎn)【答案】ACD【解析】根據(jù)回歸直線斜率知A正確；利用回歸直線必過樣本中心點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，可知B錯(cuò)誤，D正確；將代入回歸直線知C正確.【詳解】對(duì)于A，由得：，故呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，A正確；對(duì)于B，，，，解得：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，由知：，回歸直線必過點(diǎn)，即必過點(diǎn)，D正確.故選：ACD.10．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．，，使得C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的特征，可得選項(xiàng)A、C的正誤，根據(jù)基本不等式，可得選項(xiàng)B、D的正誤.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯(cuò)，C對(duì)．由基本不等式可得，所以，則，故B錯(cuò)，D對(duì)．故選：CD．11．已知，分別為隨機(jī)事件，的對(duì)立事件，，，則下列說法正確的是（

）．A． B．C．若，獨(dú)立，則 D．若，互斥，則【答案】BCD【分析】結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷．【詳解】選項(xiàng)A中：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C中：，獨(dú)立，則，則，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D中：，互斥，則，根據(jù)條件概率公式，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD12．如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，下列命題正確的是（

）A．MB是定值B．點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)C．一定存在某個(gè)位置，使DE⊥A1CD．一定存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE【答案】ABD【分析】取CD的中點(diǎn)N，先證平面MBN∥平面A1DE，再得MB∥平面A1DE；根據(jù)余弦定理計(jì)算BM為定值；再根據(jù)BM為定值，可得點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)；若DE⊥A1C，根據(jù)條件推出DE⊥A1E,與題意矛盾【詳解】解：取DC的中點(diǎn)N，連接MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，因?yàn)镸N∩NB＝N，A1D∩DE＝D，所以平面MNB∥平面A1DE，因?yàn)镸B?平面MNB，所以MB∥平面A1DE，D正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值，A正確；因?yàn)锽是定點(diǎn)，所以M在以B為圓心，MB為半徑的圓上，B正確；在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE,即得DE⊥A1E,與∠DEA1為矛盾，∴不存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C，C不正確.故選：ABD.三、填空題13．曲線在點(diǎn)A（0，1）處的切線方程為【答案】【詳解】解：由題意得y′=ex，∴在點(diǎn)A（0，1）處的切線的斜率k=e0=1，∴所求的切線方程為y﹣1=x，即x﹣y+1=0，14．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為．【答案】【分析】根據(jù)離心率以及雙曲線中滿足的數(shù)量關(guān)系即可求解.【詳解】，，即，，雙曲線方程為，漸近線方程為．故答案為：15．已知甲、乙兩支隊(duì)伍中各有20人，甲隊(duì)中有個(gè)男生與個(gè)女生，乙隊(duì)伍中有個(gè)男生與個(gè)女生，若從甲、乙兩隊(duì)中各取1個(gè)人，表示所取的2個(gè)人中男生的個(gè)數(shù)，則當(dāng)方差取到最大值時(shí)，的值為．【答案】10【分析】的可能取值為0，1，2，分別計(jì)算出其對(duì)應(yīng)概率，利用方差公式結(jié)合基本不等式即可得到答案.【詳解】的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取到最大值時(shí)，的值為10．故答案為：10.四、雙空題16．已知，滿足，，當(dāng)時(shí)，．已知，則函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，這些零點(diǎn)的和為．【答案】1326【分析】分析函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，化簡(jiǎn)函數(shù)并求出其周期和對(duì)稱中心，把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和求解.【詳解】函數(shù)，滿足，即，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，而因此函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的周期，，點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，于是點(diǎn)是函數(shù)，與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)，與函數(shù)的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，作出函數(shù)，在區(qū)間的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)，在區(qū)間上有3個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為，于是函數(shù)，在區(qū)間上有3個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為，函數(shù)，在區(qū)間上有3個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為，因?yàn)椋瑒t，又，所以函數(shù)在區(qū)間上共有個(gè)零點(diǎn)，它們的和為.故答案為：13；26【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).五、解答題17．已知等差數(shù)列中，，且前10項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)an＝2n－1(2)Tn＝【分析】(1)本題首先可以對(duì)化簡(jiǎn)得到，再對(duì)化簡(jiǎn)得到，最后兩式聯(lián)立，解出的值，得出結(jié)果；(2)可通過裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)求出結(jié)果．【詳解】(1)由已知得，解得所以的通項(xiàng)公式為(2)，所以數(shù)列的前項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤．18．如圖，在直三棱柱中，，，，依次為，的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得平面，則，而，則由線面垂直的判定可得平面，則，而，則平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，則，因?yàn)樵谥比庵?，，所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，則．（2）因?yàn)橹比庵校?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得．設(shè)與平面所成角為，所以，即與平面成角的正弦值為．

19．一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量單位：克，重量分組區(qū)間為,,,，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖如圖．（1）求的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量?jī)?nèi)的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）【答案】（1）,眾數(shù)約為20，平均值為24.6（2）分布列見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積（頻率）之和為1，可計(jì)算出,眾數(shù)取頻率最大即矩形最高的那個(gè)矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，平均值用各矩形中點(diǎn)值乘頻率相加即得；（Ⅱ）的可能取值為、、、，利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為，因此有，從而可得分布列，最后由期望公式可計(jì)算出期望．試題解析：（Ⅰ）由題意，得，解得；又由最高矩形中點(diǎn)的的橫坐標(biāo)為20，可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為20（克）而個(gè)樣本小球重量的平均值為：（克）故由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為克；（Ⅱ）利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球重量在內(nèi)的概率為則.的可能取值為、、、，，，，.的分布列為：.（或者）【解析】頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，隨機(jī)變量分布列，數(shù)學(xué)期望．20．（1）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊．請(qǐng)用向量方法證明等式；（2）若三個(gè)正數(shù)，，滿足，證明：以，，為長(zhǎng)度的三邊可以構(gòu)成三角形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)，由向量的模長(zhǎng)公式即可求解，（2）根據(jù)余弦定理以及三角函數(shù)的有界性，可得，即可得三邊滿足的關(guān)系求證.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即．（2）因?yàn)椋?，即，則即所以，，為長(zhǎng)度的三邊可以構(gòu)成三角形．21．已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，直線交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離；(2)是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）點(diǎn)代入拋物線中求得拋物線方程，從而找到點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離.（2）可利用直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線的長(zhǎng)度等于斜邊的一半，轉(zhuǎn)換為圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題；【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，則，拋物線焦點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離．（2）存在，證明如下：如圖，設(shè)，．

把代入得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，點(diǎn)的坐標(biāo)為．假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則．又是的中點(diǎn)，．由（1）知，．軸，，又．，兩邊同時(shí)平方得：，解得，即存在，使．22．已知函數(shù)．(1)證明；(2)關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得并化簡(jiǎn)得到，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合，即可可證；（2）根據(jù)題意把不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，令，可得；令，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即．（2）由不等式，可得，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，則，即在恒成立，令，可得，再令，可得，所以單調(diào)遞減，又因?yàn)?/p>