高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系配套訓(xùn)練理新人教A版

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離【答案】B【解析】圓心到直線的距離d==<1,∴直線與圓相交但不過圓心.2.圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有且僅有()條 條 條 條【答案】B【解析】可判斷圓C1與C2相交,故公切線有2條.3.圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,)處的切線方程為()+y-2=0 +y-4=0+4=0 +2=0【答案】D【解析】設(shè)切線方程為y-=k(x-1),由d=r,可求得k=.故所求切線方程為x-y+2=0.4.過點(diǎn)(0,-1)作直線l與圓x2+y2-2x-4y-20=0交于A,B兩點(diǎn),如果|AB|=8,則直線l的方程為()+4y+4=0=0+4y+4=0或y+1=0=0或y+1=0【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=25.圓心為(1,2),半徑r=5,又|AB|=8,從而圓心到直線的距離等于3.由點(diǎn)到直線的距離公式得直線方程為3x+4y+4=0或y+1=0.5.已知一圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為() .20 【答案】B【解析】圓的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=52,∴圓心為P(3,4).∴過點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為直徑|AC|=10,過點(diǎn)(3,5)的最短弦|BD|=2=4.故S四邊形ABCD=|AC||BD|=×10×4=20.6.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為圓(x-2)2+y2=3的圓心,且圓上有一點(diǎn)M(x,y)滿足·=0,則等于()A. B.或-C. D.或-【答案】D【解析】∵·=0,∴OM⊥CM.∴OM是圓C的切線.設(shè)OM的方程為y=kx,由=,得k=±,即=±.7.設(shè)m,n∈R,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是()A.[1-,1+]B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)C.[2-2,2+2]D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)【答案】D【解析】∵直線與圓相切,∴=1,∴|m+n|=,即mn=m+n+1.設(shè)m+n=t,則mn≤=,∴t+1≤.∴t2-4t-4≥0,解得t≤2-2或t≥2+2.8.(2022·北京卷,9)直線y=x被圓x2+(y-2)2=4截得的弦長(zhǎng)為.

【答案】2【解析】由題意得,圓x2+(y-2)2=4的圓心為(0,2),半徑為2,圓心到直線x-y=0的距離d==.設(shè)截得的弦長(zhǎng)為l,則由+()2=22,得l=2.9.(2022·天津卷,12)設(shè)m,n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB面積的最小值為.

【答案】3【解析】∵l與圓相交所得弦的長(zhǎng)為2.∴=.∴m2+n2=≥2|mn|,即|mn|≤.l與x軸交點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)B,故S△AOB=·=·×6=3.10.求過點(diǎn)P(4,-1)且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0切于點(diǎn)M(1,2)的圓的方程.【解】設(shè)所求圓的圓心為A(m,n),半徑為r,則A,M,C三點(diǎn)共線,且有|MA|=|AP|=r,因?yàn)閳AC:x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C(-1,3),則解得m=3,n=1,r=,所以所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=5.11.已知圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,直線3x+4y-11=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,求圓C的方程.【解】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為C(m,n),則有解得故圓心C(0,-1)到直線3x+4y-11=0的距離d==3,所以圓C的半徑的平方r2=d2+=18.故圓C的方程為x2+(y+1)2=18.12.已知圓x2+y2-4x+2y-3=0和圓外一點(diǎn)M(4,-8).(1)過M作圓的割線交圓于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,求直線AB的方程;(2)過M作圓的切線,切點(diǎn)為C,D,求切線長(zhǎng)及CD所在直線的方程.【解】(1)圓x2+y2-4x+2y-3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=8,圓心為P(2,-1),半徑r=2.①若割線斜率存在,設(shè)AB:y+8=k(x-4),即kx-y-4k-8=0,設(shè)AB的中點(diǎn)為N,則|PN|==,由|PN|2+=r2,得k=-,此時(shí)AB的直線方程為45x+28y+44=0.②若割線斜率不存在,AB:x=4,代入圓方程得y2+2y-3=0,解得y1=1,y2=-3,符合題意.綜上,直線AB的方程為45x+28y+44=0或x=4.(2)切線長(zhǎng)為==3.以PM為直徑的圓的方程為(x-2)(x-4)+(y+1)·(y+8)=0,即x2+y2-6x+9y+16=0.又已知圓的方程為x2+y2-4x+2y-3=0,兩式相減,得2x-7y-19=0,所以直線CD的方程為2x-7y-19=0.拓展延伸13.已知m∈R,直線l:mx-(m2+1)y=4m和圓C:x2+y2-8x+4y+16=0.(1)求直線l的斜率的取值范圍;(2)直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓弧?為什么?【解】(1)設(shè)直線l的斜率為k.直線l的方程可化為y=x-,此時(shí)直線l的斜率k=.因?yàn)閨m|≤(m2+1),所以|k|=,當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時(shí)等號(hào)成立.所以斜率k的取值范圍是.(2)不能.由(1)知直線l的方