集合的概念性質與運算

2022屆原創(chuàng)高考數學一輪復習材料——精講細練（學案版）集合與簡易邏輯1．集合的概念、性質與運算學前熱身AUTONUM\*Arabic.（2022年高考（新課標理））已知集合,;則中所含元素的個數為（）A． B． C． D．【答案】D；【解析】,,,共10個。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））設集合A={x|1<x<4},B={x|x2-2x-3≤0},則A∩(RB)=（）A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)【答案】B；【解析】A=(1,4),B=(-1,3),則A∩(RB)=(3,4)。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（陜西理））集合,,則（）A． B． C． D．【答案】C；【解析】,,。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（山東理））已知全集,集合,則為（）A． B． C．D．【答案】C；【解析】,所以。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（遼寧理））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},則為 （）A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6}【答案】B；【解析一】因為全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以,所以為{7,9}.故選B?！窘馕龆考蠟榧礊樵谌疷中去掉集合A和集合B中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,選B。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西文））若全集U={x∈R|x2≤4}，A={x∈R||x+1|≤1}的補集CuA為（）A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}【答案】C；【解析】,,則。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南文））設集合,則（）A． B． C． D．【答案】；【解析】，M={-1,0,1}，M∩N={0,1}。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北文））已知集合,則滿足條件，的集合的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D；【解析】求解一元二次方程,得,易知.因為,所以根據子集的定義,集合必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原題即求集合的子集個數,即有個.故選D。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津理））已知集合,集合,且,則__________,___________.【答案】,【解析】∵=,又∵,畫數軸可知,.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津文））集合中最小整數位_________.【答案】.【解析】不等式,即,,所以集合,所以最小的整數為.知識精講1．集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法．(4)常用數集：自然數集N；正整數集N*(或N＋)；整數集Z；有理數集Q；實數集R.(5)集合的分類：按集合中元素個數劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集．2．集合間的基本關系(1)子集：對任意的x∈A，都有x∈B，則A?B(或B?A)．(2)真子集：若A?B，且A≠B，則AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一個集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)．(4)若A含有n個元素，則A的子集有2n個，A的非空子集有2n－1個．(5)集合相等：若A?B，且B?A，則A＝B.3．集合的基本運算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)補集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．(4)集合的運算性質①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B；②A∩A＝A，A∩?＝?；③A∪A＝A，A∪?＝A；④A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.4．Venn圖：如：典例細練題型一：元素互異性的應用【例題1】(1)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求實數2022a(2)x，x2－x，x3－3x能表示一個有三個元素的集合嗎？如果能表示一個集合，說明理由；如果不能表示，則需要添加什么條件才能使它表示一個有三個元素的集合．【解析】(1)當a＋2＝1，即a＝－1時，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1與a∴不符合題意．當(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2時，①a＝0符合要求．②a＝－2時，a2＋3a＋3＝1與(a＋1)2當a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a①當a＝－2時，a2＋3a＋3＝(a＋1)2②當a＝－1時，a2＋3a＋3＝a綜上所述，a＝0.∴2022a＝1.(2)因為當x＝0時，x＝x2－x＝x3－3x＝0.所以它不一定能表示一個有三個元素的集合．要使它表示一個有三個元素的集合，則應有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠x2－x，,x2－x≠x3－3x，,x≠x3－3x.))∴x≠0且x≠2且x≠－1且x≠－2時，{x，x2－x，x3－3x}能表示一個有三個元素的集合．【點評】集合中元素的互異性，一可以作為解題的依據和突破口；二可以檢驗所求結果是否正確．【訓練1】已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．【答案】－eq\f(3,2)【解析】因為3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.當m＋2＝3，即m＝1時，2m2＋m＝3，此時集合A中有重復元素3，所以m＝1不合乎題意，舍去；當2m2＋m＝3時，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，此時當m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)≠3合乎題意．所以m＝－eq\f(3,2).【訓練2】若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}，求b－a的值．【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}可知a≠0，則只能a＋b＝0，則有以下對應法則：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,\f(b,a)＝a，,b＝1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b＝a，,\f(b,a)＝1.))②由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))符合題意；②無解．∴b－a＝2.【訓練3】設集合，若,求實數的值?！窘馕觥慨敃r，解之得，但是時，集合A中兩個元素為2，與集合元素的互異性矛盾，所以舍去。所以當時，解之得同理舍去，所以a=0.綜合得題型二：集合間的基本關系【例題2】已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x≤2)).(1)若A?B，求實數a的取值范圍；(2)若B?A，求實數a的取值范圍；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由．【解析】A中不等式的解集應分三種情況討論：若a＝0，則A＝R；②若a<0，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(4,a)≤x<－\f(1,a)))；③若a>0，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,a)<x≤\f(4,a))).(1)當a＝0時，若A?B，此種情況不存在．當a<0時，若A?B，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)>－\f(1,2),－\f(1,a)≤2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0或a<－8,a>0或a≤－\f(1,2)))，又a<0，∴a<－8.(2)當a＝0時，顯然B?A；當a<0時，若B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤－\f(1,2),－\f(1,a)>2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8≤a<0,－\f(1,2)<a<0)).又∵a<0，∴－eq\f(1,2)<a<0.當a>0時，若B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－\f(1,2),\f(4,a)≥2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤2,0<a≤2)).又∵a>0，∴0<a≤2.綜上知，當B?A時，－eq\f(1,2)<a≤2.(3)當且僅當A、B兩個集合互相包含時，A＝B.由(1)、(2)知，a＝2.【點評】在解決兩個數集關系問題時，避免出錯的一個有效手段是合理運用數軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數的不等式(或方程)時，要對參數進行分類討論．分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對每一類情況都要給出問題的解答．分類討論的一般步驟：①確定標準；②恰當分類；③逐類討論；④歸納結論．【訓練1】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，求實數m的取值范圍．【解析】當B＝?時，有m＋1≥2m－1，得m≤2，當B≠?時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.綜上：m≤4.【訓練2】設集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則M與N之間有什么關系？【解析】集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.【訓練3】設集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0對任意實數x恒成立，且m∈R}，則集合P與Q之間的關系為________．【答案】PQ；【解析】P＝{m|－1<m<0}，Q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16m2＋16m<0，))或m＝0.∴－1<m≤0.∴Q＝{m|－1<m≤0}．∴PQ?！居柧?】設集合，，若,求實數的取值范圍?！窘馕觥款}型三：集合間的運算【例題3（1）】(2022·高考江蘇)設集合A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤x－22＋y2≤m2，))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,x，y∈R,,,))，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠，則實數m的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2＋\r(2)))【解析】①若m<0，則符合題的條件是：直線x＋y＝2m＋1與圓(x－2)2＋y2＝m2有交點，從而eq\f(|2－2m－1|,\r(2))≤|m|，解得eq\f(2－\r(2),2)≤m≤eq\f(2＋\r(2),2)，與m<0矛盾；②若m＝0，代入驗證，可知不符合題意；③若m>0，則當eq\f(m,2)≤m2，即m≥eq\f(1,2)時，集合A表示一個環(huán)形區(qū)域，集合B表示一個帶形區(qū)域，從而當直線x＋y＝2m＋1與x＋y＝2m中至少有一條與圓(x－2)2＋y2＝m2有交點，即符合題意，從而有eq\f(|2－2m|,\r(2))≤|m|或eq\f(|2－2m－1|,\r(2))≤|m|，解得eq\f(2－\r(2),2)≤m≤2＋eq\r(2)，由于eq\f(1,2)>eq\f(2－\r(2),2)，所以eq\f(1,2)≤m≤2＋eq\r(2).綜上所述，m的取值范圍是eq\f(1,2)≤m≤2＋eq\r(2).【例題3（2）】(2022·高考天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x＝4t＋\f(1,t)－6，t∈0，＋∞))，則集合A∩B＝________.【答案】{x|－2≤x≤5}【解析】不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x＋3＋x－4≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<4，,x＋3＋4－x≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－3，,－x－3＋4－x≤9，))解不等式組得A＝[－4,5]，又由基本不等式得B＝[－2，＋∞)，所以A∩B＝[－2,5]．【點評】本題的主要難點有兩個：一是集合A，B之間關系的確定；二是對集合B中方程的分類求解．集合的交并補運算和集合的包含關系存在著一些必然的聯系，這些聯系通過Venn圖進行直觀的分析不難找出來，如A∪B＝A?B?A，(?UA)∩B＝??B?A等，在解題中碰到這種情況時要善于轉化，這是破解這類難點的一種極為有效的方法．【訓練1】集合，（1）若，求實數的值；（2）若，求實數的取值范圍?！窘馕觥恳驗?，（1）由知，，從而得，即，解得或當時，，滿足條件；當時，，滿足條件；所以或（2）對于集合，由因為，所以①當，即時，，滿足條件；②當，即時，，滿足條件；③當，即時，才能滿足條件，由根與系數的關系得，矛盾故實數的取值范圍是?！居柧?】已知集合且求實數的值組成的集合?！居柧?】設全集是實數集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)當a＝－4時，求A∩B和A∪B；(2)若(?RA)∩B＝B，求實數a的取值范圍．【解析】(1)A＝{x|eq\f(1,2)≤x≤3}．當a＝－4時，B＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|eq\f(1,2)≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．(2)?RA＝{x|x<eq\f(1,2)或x>3}．當(?RA)∩B＝B時，B??RA，即A∩B＝?.①當B＝?，即a≥0時，滿足B??RA；②當B≠?，即a<0時，B＝{x|－eq\r(－a)<x<eq\r(－a)}，要使B??RA，需eq\r(－a)≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(1,4)≤a<0.綜上可得，a的取值范圍為a≥－eq\f(1,4).題型四：創(chuàng)新型集合【例題4】（2022四川高考（理16））設S為復數集C的非空子集.若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：集合S＝{a＋bi|（為整數，為虛數單位）}為封閉集；若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集.其中真命題是（寫出所有真命題的序號）【解析】直接驗證可知①正確.當S為封閉集時,因為x－y∈S,取x＝y(tǒng),得0∈S，②正確對于集合S＝{0},顯然滿足素有條件,但S是有限集,③錯誤取S＝{0}，T＝{0,1}，滿足,但由于0－1＝－1T，故T不是封閉集，④錯誤【訓練1】(2022年高考廣東卷理科8)設S是整數集Z的非空子集，如果有，則稱S關于數的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結論恒成立的是（） A．中至少有一個關于乘法是封閉的 B．中至多有一個關于乘法是封閉的 C．