集合的概念性質(zhì)與運(yùn)算

2022屆原創(chuàng)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)材料——精講細(xì)練（學(xué)案版）集合與簡(jiǎn)易邏輯1．集合的概念、性質(zhì)與運(yùn)算學(xué)前熱身AUTONUM\*Arabic.（2022年高考（新課標(biāo)理））已知集合,;則中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D；【解析】,,,共10個(gè)。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））設(shè)集合A={x|1<x<4},B={x|x2-2x-3≤0},則A∩(RB)=（）A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)【答案】B；【解析】A=(1,4),B=(-1,3),則A∩(RB)=(3,4)。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（陜西理））集合,,則（）A． B． C． D．【答案】C；【解析】,,。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（山東理））已知全集,集合,則為（）A． B． C．D．【答案】C；【解析】,所以。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（遼寧理））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},則為 （）A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6}【答案】B；【解析一】因?yàn)槿疷={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以,所以為{7,9}.故選B?！窘馕龆考蠟榧礊樵谌疷中去掉集合A和集合B中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,選B。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西文））若全集U={x∈R|x2≤4}，A={x∈R||x+1|≤1}的補(bǔ)集CuA為（）A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2}【答案】C；【解析】,,則。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南文））設(shè)集合,則（）A． B． C． D．【答案】；【解析】，M={-1,0,1}，M∩N={0,1}。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北文））已知集合,則滿(mǎn)足條件，的集合的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D；【解析】求解一元二次方程,得,易知.因?yàn)?所以根據(jù)子集的定義,集合必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原題即求集合的子集個(gè)數(shù),即有個(gè).故選D。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津理））已知集合,集合,且,則__________,___________.【答案】,【解析】∵=,又∵,畫(huà)數(shù)軸可知,.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津文））集合中最小整數(shù)位_________.【答案】.【解析】不等式,即,,所以集合,所以最小的整數(shù)為.知識(shí)精講1．集合與元素(1)集合元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號(hào)∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法．(4)常用數(shù)集：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N*(或N＋)；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q；實(shí)數(shù)集R.(5)集合的分類(lèi)：按集合中元素個(gè)數(shù)劃分，集合可以分為有限集、無(wú)限集、空集．2．集合間的基本關(guān)系(1)子集：對(duì)任意的x∈A，都有x∈B，則A?B(或B?A)．(2)真子集：若A?B，且A≠B，則AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一個(gè)集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)．(4)若A含有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，A的非空子集有2n－1個(gè)．(5)集合相等：若A?B，且B?A，則A＝B.3．集合的基本運(yùn)算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)補(bǔ)集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．(4)集合的運(yùn)算性質(zhì)①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B；②A(yíng)∩A＝A，A∩?＝?；③A∪A＝A，A∪?＝A；④A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.4．Venn圖：如：典例細(xì)練題型一：元素互異性的應(yīng)用【例題1】(1)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，求實(shí)數(shù)2022a(2)x，x2－x，x3－3x能表示一個(gè)有三個(gè)元素的集合嗎？如果能表示一個(gè)集合，說(shuō)明理由；如果不能表示，則需要添加什么條件才能使它表示一個(gè)有三個(gè)元素的集合．【解析】(1)當(dāng)a＋2＝1，即a＝－1時(shí)，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1與a∴不符合題意．當(dāng)(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2時(shí)，①a＝0符合要求．②a＝－2時(shí)，a2＋3a＋3＝1與(a＋1)2當(dāng)a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a①當(dāng)a＝－2時(shí)，a2＋3a＋3＝(a＋1)2②當(dāng)a＝－1時(shí)，a2＋3a＋3＝a綜上所述，a＝0.∴2022a＝1.(2)因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，x＝x2－x＝x3－3x＝0.所以它不一定能表示一個(gè)有三個(gè)元素的集合．要使它表示一個(gè)有三個(gè)元素的集合，則應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠x2－x，,x2－x≠x3－3x，,x≠x3－3x.))∴x≠0且x≠2且x≠－1且x≠－2時(shí)，{x，x2－x，x3－3x}能表示一個(gè)有三個(gè)元素的集合．【點(diǎn)評(píng)】集合中元素的互異性，一可以作為解題的依據(jù)和突破口；二可以檢驗(yàn)所求結(jié)果是否正確．【訓(xùn)練1】已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為_(kāi)_______．【答案】－eq\f(3,2)【解析】因?yàn)?∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.當(dāng)m＋2＝3，即m＝1時(shí)，2m2＋m＝3，此時(shí)集合A中有重復(fù)元素3，所以m＝1不合乎題意，舍去；當(dāng)2m2＋m＝3時(shí)，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，此時(shí)當(dāng)m＝－eq\f(3,2)時(shí)，m＋2＝eq\f(1,2)≠3合乎題意．所以m＝－eq\f(3,2).【訓(xùn)練2】若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}，求b－a的值．【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}可知a≠0，則只能a＋b＝0，則有以下對(duì)應(yīng)法則：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,\f(b,a)＝a，,b＝1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b＝a，,\f(b,a)＝1.))②由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))符合題意；②無(wú)解．∴b－a＝2.【訓(xùn)練3】設(shè)集合，若,求實(shí)數(shù)的值?！窘馕觥慨?dāng)時(shí)，解之得，但是時(shí)，集合A中兩個(gè)元素為2，與集合元素的互異性矛盾，所以舍去。所以當(dāng)時(shí)，解之得同理舍去，所以a=0.綜合得題型二：集合間的基本關(guān)系【例題2】已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x≤2)).(1)若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說(shuō)明理由．【解析】A中不等式的解集應(yīng)分三種情況討論：若a＝0，則A＝R；②若a<0，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(4,a)≤x<－\f(1,a)))；③若a>0，則A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,a)<x≤\f(4,a))).(1)當(dāng)a＝0時(shí)，若A?B，此種情況不存在．當(dāng)a<0時(shí)，若A?B，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)>－\f(1,2),－\f(1,a)≤2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0或a<－8,a>0或a≤－\f(1,2)))，又a<0，∴a<－8.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，顯然B?A；當(dāng)a<0時(shí)，若B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤－\f(1,2),－\f(1,a)>2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8≤a<0,－\f(1,2)<a<0)).又∵a<0，∴－eq\f(1,2)<a<0.當(dāng)a>0時(shí)，若B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－\f(1,2),\f(4,a)≥2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤2,0<a≤2)).又∵a>0，∴0<a≤2.綜上知，當(dāng)B?A時(shí)，－eq\f(1,2)<a≤2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)A、B兩個(gè)集合互相包含時(shí)，A＝B.由(1)、(2)知，a＝2.【點(diǎn)評(píng)】在解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問(wèn)題時(shí)，避免出錯(cuò)的一個(gè)有效手段是合理運(yùn)用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．分類(lèi)時(shí)要遵循“不重不漏”的分類(lèi)原則，然后對(duì)每一類(lèi)情況都要給出問(wèn)題的解答．分類(lèi)討論的一般步驟：①確定標(biāo)準(zhǔn)；②恰當(dāng)分類(lèi)；③逐類(lèi)討論；④歸納結(jié)論．【訓(xùn)練1】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1≥2m－1，得m≤2，當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.綜上：m≤4.【訓(xùn)練2】設(shè)集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則M與N之間有什么關(guān)系？【解析】集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.【訓(xùn)練3】設(shè)集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，且m∈R}，則集合P與Q之間的關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】PQ；【解析】P＝{m|－1<m<0}，Q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16m2＋16m<0，))或m＝0.∴－1<m≤0.∴Q＝{m|－1<m≤0}．∴PQ。【訓(xùn)練4】設(shè)集合，，若,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！窘馕觥款}型三：集合間的運(yùn)算【例題3（1）】(2022·高考江蘇)設(shè)集合A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤x－22＋y2≤m2，))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,x，y∈R,,,))，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2＋\r(2)))【解析】①若m<0，則符合題的條件是：直線(xiàn)x＋y＝2m＋1與圓(x－2)2＋y2＝m2有交點(diǎn)，從而eq\f(|2－2m－1|,\r(2))≤|m|，解得eq\f(2－\r(2),2)≤m≤eq\f(2＋\r(2),2)，與m<0矛盾；②若m＝0，代入驗(yàn)證，可知不符合題意；③若m>0，則當(dāng)eq\f(m,2)≤m2，即m≥eq\f(1,2)時(shí)，集合A表示一個(gè)環(huán)形區(qū)域，集合B表示一個(gè)帶形區(qū)域，從而當(dāng)直線(xiàn)x＋y＝2m＋1與x＋y＝2m中至少有一條與圓(x－2)2＋y2＝m2有交點(diǎn)，即符合題意，從而有eq\f(|2－2m|,\r(2))≤|m|或eq\f(|2－2m－1|,\r(2))≤|m|，解得eq\f(2－\r(2),2)≤m≤2＋eq\r(2)，由于eq\f(1,2)>eq\f(2－\r(2),2)，所以eq\f(1,2)≤m≤2＋eq\r(2).綜上所述，m的取值范圍是eq\f(1,2)≤m≤2＋eq\r(2).【例題3（2）】(2022·高考天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R|x＝4t＋\f(1,t)－6，t∈0，＋∞))，則集合A∩B＝________.【答案】{x|－2≤x≤5}【解析】不等式|x＋3|＋|x－4|≤9等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x＋3＋x－4≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<4，,x＋3＋4－x≤9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－3，,－x－3＋4－x≤9，))解不等式組得A＝[－4,5]，又由基本不等式得B＝[－2，＋∞)，所以A∩B＝[－2,5]．【點(diǎn)評(píng)】本題的主要難點(diǎn)有兩個(gè)：一是集合A，B之間關(guān)系的確定；二是對(duì)集合B中方程的分類(lèi)求解．集合的交并補(bǔ)運(yùn)算和集合的包含關(guān)系存在著一些必然的聯(lián)系，這些聯(lián)系通過(guò)Venn圖進(jìn)行直觀(guān)的分析不難找出來(lái)，如A∪B＝A?B?A，(?UA)∩B＝??B?A等，在解題中碰到這種情況時(shí)要善于轉(zhuǎn)化，這是破解這類(lèi)難點(diǎn)的一種極為有效的方法．【訓(xùn)練1】集合，（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【解析】因?yàn)?，?）由知，，從而得，即，解得或當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足條件；所以或（2）對(duì)于集合，由因?yàn)?，所以①?dāng)，即時(shí)，，滿(mǎn)足條件；②當(dāng)，即時(shí)，，滿(mǎn)足條件；③當(dāng)，即時(shí)，才能滿(mǎn)足條件，由根與系數(shù)的關(guān)系得，矛盾故實(shí)數(shù)的取值范圍是?！居?xùn)練2】已知集合且求實(shí)數(shù)的值組成的集合?！居?xùn)練3】設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)當(dāng)a＝－4時(shí)，求A∩B和A∪B；(2)若(?RA)∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)A＝{x|eq\f(1,2)≤x≤3}．當(dāng)a＝－4時(shí)，B＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|eq\f(1,2)≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．(2)?RA＝{x|x<eq\f(1,2)或x>3}．當(dāng)(?RA)∩B＝B時(shí)，B??RA，即A∩B＝?.①當(dāng)B＝?，即a≥0時(shí)，滿(mǎn)足B??RA；②當(dāng)B≠?，即a<0時(shí)，B＝{x|－eq\r(－a)<x<eq\r(－a)}，要使B??RA，需eq\r(－a)≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(1,4)≤a<0.綜上可得，a的取值范圍為a≥－eq\f(1,4).題型四：創(chuàng)新型集合【例題4】（2022四川高考（理16））設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對(duì)任意，都有，則稱(chēng)S為封閉集．下列命題：集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集；若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無(wú)限集；④若S為封閉集，則滿(mǎn)足的任意集合也是封閉集.其中真命題是（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）【解析】直接驗(yàn)證可知①正確.當(dāng)S為封閉集時(shí),因?yàn)閤－y∈S,取x＝y(tǒng),得0∈S，②正確對(duì)于集合S＝{0},顯然滿(mǎn)足素有條件,但S是有限集,③錯(cuò)誤取S＝{0}，T＝{0,1}，滿(mǎn)足,但由于0－1＝－1T，故T不是封閉集，④錯(cuò)誤【訓(xùn)練1】(2022年高考廣東卷理科8)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱(chēng)S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是（） A．中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B．中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 C．