人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （圓周角）圓教學(xué)課件

圓周角

如圖是圓柱形的海洋館橫截面的示意圖，

學(xué)完今天的課程，你們就會(huì)知道答案了！玻璃弧AB表示圓弧形玻璃窗．他們的視角相同嗎？乙、丙分別站在其他靠墻的位置D和E，同學(xué)甲站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，圓周角你還記得圓心角的定義嗎？頂點(diǎn)在圓心的角，叫做圓心角．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角，叫做圓周角．練習(xí)判斷下列各圖中的角是不是圓周角，為什么？分別測(cè)量圖中弧AB所對(duì)的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB，它們之間有什么關(guān)系？改變C點(diǎn)的位置，再次測(cè)量∠ACB

和∠AOB，這個(gè)關(guān)系還成立嗎？改變B點(diǎn)的位置，再次測(cè)量∠ACB

和∠AOB，這個(gè)關(guān)系還成立嗎？探究猜想同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．分析為了進(jìn)一步探究上面的發(fā)現(xiàn)，如圖在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BAC，將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過(guò)圓心O和∠BAC的頂點(diǎn)A．由于點(diǎn)A的位置的取法可能不同，這時(shí)折痕可能會(huì)出現(xiàn)三種情況：在圓周角的一邊上在圓周角內(nèi)在圓周角外證明（1）折痕在圓周角的一邊上∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A證明（2）折痕在圓周角內(nèi)圓心O在∠BAC的內(nèi)部，作直徑AD，利用（1）的結(jié)果，有證明（3）折痕在圓周角外圓心O在∠BAC的外部，作直徑AD，利用（1）的結(jié)果，有圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．

什么是圓周角？怎么證明圓周角定理？圓周角練習(xí)如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四邊形ABCD的對(duì)角線把4個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，這些角中哪些是相等的角？∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6方法點(diǎn)拔：由同弧來(lái)找相等的圓周角練習(xí)求圓中角α的度數(shù)．35°120°練習(xí)如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB與∠BAC的大小有什么關(guān)系？為什么？答案：∠ACB=2∠BAC．練習(xí)如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOD是圓心角，∠BCD是圓周角，若∠BCD=25°，則∠AOD=

_______．130°練習(xí)如圖，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，則∠BOD=_____．60°練習(xí)在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A．提示：連接AC

答案：50°思考題如圖，在⊙O中，AB為直徑，

，弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E．求證：BE=EC．提示：連接BC等弧對(duì)等角基于圓周角定理，我們很容易得到如下推理：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

等弧對(duì)等角的具體含義是什么？等弧對(duì)等角練習(xí)如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，則∠D=____，∠O=____．60°120°練習(xí)如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠BDC=____．60°直徑對(duì)直角如果圓周角定理中的圓弧變成了半圓，就會(huì)有如下推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角反過(guò)來(lái)，也成立90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑直徑對(duì)直角的具體含義是什么？怎么證明？直徑對(duì)直角例題如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC，AD，BD的長(zhǎng)．解：連接OD，AD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，BC=

=8（cm）例題如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求BC，AD，BD的長(zhǎng)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD．∴AD=BD．在Rt△ABD中，例題求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．已知：△ABC中，CO為AB邊上的中線，且

，求證：△ABC為直角三角形.

證明：以AB為直徑作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴點(diǎn)C在⊙O上.又∵AB為直徑,∴∠ACB=

×180°=90°.∴△ABC為直角三角形.練習(xí)如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，AB=AC，∠A=36°，CD是圓O的直徑，求∠ACD的度數(shù)．答案：18°．總結(jié)：看到直徑就要想到直角．知識(shí)回顧圓周角定理及其推論是什么？半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．知識(shí)回顧判斷正誤：1．同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等（）2．相等的圓周角所對(duì)的弧相等（）3．90°圓周角所對(duì)的弦是直徑（）4．直徑所對(duì)的角等于90°（）

圓內(nèi)接多邊形若一個(gè)多邊形各頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．圓內(nèi)接多邊形多邊形的外接圓圓內(nèi)接四邊形如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形；⊙O為四邊形ABCD的外接圓．圓內(nèi)接四邊形的四個(gè)角之間有什么關(guān)系？對(duì)角互補(bǔ)圓內(nèi)四邊形對(duì)角互補(bǔ)猜想：圓內(nèi)四邊形對(duì)角互補(bǔ)證明：∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

什么是圓內(nèi)接多邊形？怎么證明圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)？圓內(nèi)接四邊形如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則∠A+∠C=______，∠B+∠ADC=_______；若∠B=80°，則∠ADC=____．練習(xí)180°180°100°練習(xí)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠AOC=100°，則∠B=______，∠D=______.

50°130°練習(xí)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A:∠C=1:3，則∠A=_____．45°練習(xí)若ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則下列哪個(gè)選項(xiàng)可能成立（

）A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶3C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B練習(xí)如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，P是 上的一點(diǎn)，則∠APB=________．120°練習(xí)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果∠BOD=130°，則∠BCD的度數(shù)是______．115°練習(xí)如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度數(shù)．答案：50°，130°練習(xí)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)O在∠D內(nèi)部，∠OAD+

∠OCD=50°，則∠B?=______??．130°提示：連接AO練習(xí)如下圖左，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，∠ABD=30°，則∠BCD的度數(shù)為多少？答案：120°練習(xí)如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于E、F，若∠A=55°，∠E=30°，則∠F=______．40°練習(xí)梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，∠B=75°，則∠C=_____．75°圓的內(nèi)接梯形一定是______梯形．等腰練習(xí)已知：如圖，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形并且ABCD是平行四邊形．求證：四邊形ABCD是矩形．提示：證明∠A=∠B即可．練習(xí)1.判斷下列圖形中的角是不是圓周角，并說(shuō)明理由：練習(xí)2.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD把它的4個(gè)內(nèi)角分成8個(gè)角，這些角中哪些相等？為什么?練習(xí)3.如圖，OA,OB,OC,都是

O的半徑，∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.練習(xí)4.如圖，你能用三角尺確定一張圓形紙片的圓心嗎？有幾種方法？與同學(xué)交流一下.練習(xí)5.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于

O，E為CD延長(zhǎng)線一點(diǎn).若∠B=110°，∠ADE的度數(shù).思考題已知：△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓上的點(diǎn)（不與A，C重合），延長(zhǎng)BD到E．求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE．提示：圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角；同弧所對(duì)圓周角相等．思考題如圖⊙O

與⊙O

都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙O

交于點(diǎn)C，與⊙O

交于點(diǎn)D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與⊙O

交于點(diǎn)E，與⊙O

交于點(diǎn)F．求證：CE∥DF．121212提示1：連接AB．提示2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)角的對(duì)角．思考題如圖，在⊙O中，AB為直徑，直線l與⊙O交于點(diǎn)C、D，BE⊥l于點(diǎn)E，連接BD、BC．求證：∠CBE=∠ABD．提示：連接AD．多解問(wèn)題如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，且∠AOC=80°，點(diǎn)D在⊙O上（不與B、C重合），則∠BDC的度數(shù)是__________．50°或130°

提示：D可能在劣弧BC上，也可能在優(yōu)弧BC上．如圖，AD、BE是△ABC的兩條高．求證：∠CED=∠ABC．利用共圓證明提示：取AB中點(diǎn)M，連接EM，DM，證明ABDE四點(diǎn)共圓．圓的性質(zhì)綜合如圖，已知AE是圓O的直徑，△ABC內(nèi)接于圓O，AD⊥BC于?D交圓O于F．（1）求證：∠BAE=∠CAF．（2）若∠ACB=60°，CF=2，求圓O的半徑．（1）提示：連接EC（2）提示：連接OF，OC總結(jié)半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了什么？總結(jié)若一個(gè)多邊形各頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓．這節(jié)課我們還學(xué)會(huì)了什么？圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

第二十四章圓圓周角第1課時(shí)圓周角及其定理

63名師點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)1圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角．如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E都是⊙O上的點(diǎn)，則∠ABC、∠ACB、∠BAC、∠ACD、∠BCD、∠CDE都是圓周角．注意：判斷一個(gè)角是否是圓周角，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：①角的頂點(diǎn)是否在圓上；②角的兩邊是否分別與圓相交．兩個(gè)條件，缺一不可．以練助學(xué)課時(shí)達(dá)標(biāo)64知識(shí)點(diǎn)2圓周角定理及其推論定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．推論：(1)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；(2)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．核心提示：圓中常作的輔助線：有直徑，常作出直徑所對(duì)的圓周角，這個(gè)圓周角是直角．65【典例】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD等于(

)A．16°

B．32°C．58°

D．64°分析：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°－∠ABD＝32°，∴∠BCD＝∠A＝32°.答案：B66基礎(chǔ)過(guò)關(guān)A67A68D69B7071727．如圖，