最優(yōu)控制與濾波作業(yè)

#變分學(xué)=2極值曲線。1.求泛函J[x(t)]=fI(x2一x2)dt，的x(0)=1,x=2極值曲線。0其中A=01,B=10xu0001,x=1,u=1x2u22.已知線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程x=Ax+Bu給定x(°)=12xi⑵=0，求啲，使性能指標(biāo)J=2f02IMId為最小。3.受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程、初始條件和目標(biāo)集分別為*=—x、+xx(0=0?12ix2(t)+x2t)=t酢1x=ux(0=01f2ff221t試寫出使J=2ftfu2dt為最小的必要條件，其末端時(shí)間是可變的。20f已知受控系統(tǒng)x=u,x(0)=1，試求u(t)和f使系統(tǒng)在tf時(shí)刻轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)x(t)=0，且使J=12+Jtfu2dt為最小。ff0已知線性二階系統(tǒng)的微分方程及初始條件為t=x2x(0)=1121x=ux(0)=122求最優(yōu)控制U(t)，使4．5．a(chǎn))J=J1u2dtx(1)=x(1)=00，12b)J=f1u2dt，x(1)=001c)J=ftfU2dtx(t)=c(t)=-t2c)0，1fff

d)e)x(t)=02fJ=JtfU2dtx(t)=d)e)x(t)=02f01fff為最小。注：其中a),b)求最優(yōu)解，c),d),e)只需寫出必要條件。?最小值原理1x(0=--1441?？刂萍s束為x(0=--241?設(shè)受控系統(tǒng)為\=X2，X2=X3，X3=U，試寫出在約束|U(t)*1條件下,系統(tǒng)由初始條件X1(0)=X2(0)=X3(0)=0轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集：X1(tf)=tf,X2(tf)=X3^f)，且使性能指標(biāo)J=!1x(0=--1441?？刂萍s束為x(0=--24=+1<，試確定將|u(t<，試確定將|u(t)|2.考慮二階系統(tǒng)124x=u2系統(tǒng)在時(shí)刻tf轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，且使性能指標(biāo)J=『tfu2dt最小的最優(yōu)控制，其f0中tf未定。?最優(yōu)時(shí)間x=一x一u1.已知受控系統(tǒng)x1=_2x一2u，試求滿足約束條件|u(t)|<1,將系統(tǒng)由任意給22定的初態(tài)(勺,MJ轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間最優(yōu)控制u(x1，x2)。?LQ1.已知一階受控系統(tǒng)x=u，x(t0)=x0。性能指標(biāo)函數(shù)取為：

1T1J=2JT(u2+x2dt+2X2(T)，試求使性能指標(biāo)J為最小的最優(yōu)控制律t0u*(t)。2.一階受控系統(tǒng)x=x+u,x(t0)=x0。性能指標(biāo)函數(shù)取為：-TJ=2J7(U2+2X2)dt，試求使J為最小的最優(yōu)控制律U^(t)Ot03．設(shè)線性系統(tǒng)及二次型性能指標(biāo)分別為s3．設(shè)線性系統(tǒng)及二次型性能指標(biāo)分別為sX=x—;]u，J=2廣(ru2+x2)dt，試求XU2o12最優(yōu)控制律。4．設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x(t)=4．設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)，初始條件為:x(t0)=x0，試求最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標(biāo)：.1“2Q(t)M(t).x(t)Mt(t)R(t)1J_u(t)取極小值，并證明Riccatti方程及終端條件分別為：J=-XT(t)Fx(t)+-JtfrXT(t)UT(t)1ff2t0dtIP(t)=-P(t)A(t)-At(t)P(t)+KT(t)R(t)K(t)-Q(t)|P(t)=F，f式中K(t)=R-—(t)[Bt(t)P(t)+MT(t)1;F(t)MO對(duì)稱,R(t)>0對(duì)稱,Q(t)-M(t)R-—(t)MT(t)M0對(duì)稱.5.設(shè)系統(tǒng)x@+1)=Ax(氐)+Bu(氐)為，其中A=:—,B=-,x(0)=—:[-111[11[11J=2刀[xj(k)+U2(k)],x(3)自由，求使J最小的最優(yōu)控制序列；k=0J=2藝[x2(k)+U2(k)]+2xt⑶X(3)時(shí)，求使J最小的最優(yōu)控制序列;k=0183)J=2'[X2(kHU2(k)]最小的最優(yōu)控制律。3)k=0

?濾波1.分析如下系統(tǒng)x(k+1)=x(k),y(k)=x(k)+v(k)其中x為標(biāo)量，)，k=0,1…｝為1維零均值高斯白噪聲序列，其協(xié)方差矩陣R(k)(k=O,1，…)大于零且有界。假設(shè)x(O)為零均值高斯隨機(jī)向量且獨(dú)立于｛咻)，k=O,1…｝,且其方差矩陣P(0)=Ex2(0)是任意大的正數(shù)，即P(0)T8。試?yán)肒alman濾波公式證明：x=y(1)，p⑴=R(1)。Ix=x+?<kIx=x+?<k+1kk2.設(shè)標(biāo)量系統(tǒng)］y=x+Vkkk，其中模型噪聲億｝和量測(cè)噪聲匚｝為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲序列，即=0，Ewv=0，Ewk=0，EvkEvv=R5kjkkj5kjkj1,k=j0,k工j，Eww=Q5,kjkkj,已知初始狀態(tài)x0的統(tǒng)計(jì)特性為