典型例題：數(shù)學(xué)歸納法

#數(shù)學(xué)歸納法考點(diǎn)1數(shù)學(xué)歸納法題型：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí)［例1］已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)「二(k>2且為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需證明=1時(shí)命題成立=2時(shí)命題成立=22時(shí)命題成立=2(2)時(shí)命題成立［解析］因「是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因的下一個(gè)偶數(shù)是2,故選B試一試：1用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+.?.+an二工(a01,neN*)，在驗(yàn)1-a證n=1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子是1+a1+a+a21+a+a2+a4解析］n=1時(shí)，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項(xiàng)為a，左邊是1+a，故選B2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，+，+...+，>13的過(guò)程n+1n+2 n+n24中，由推導(dǎo)到1時(shí)，不等式左邊增加的式子是［解析］求f(k+1)-f(k)即可當(dāng)率=時(shí)，左邊11 + + k+2k+k

n=1時(shí)，左邊二，+，+…+1,k+2k+3 (k+1)+(k+1)故左邊增加的式子是，+，一，，即 1 2k+12k+2k+1 (2k+1)(2k+2)考點(diǎn)2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用題型1:用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題(恒等式、不等式、整除性問(wèn)題等)［例2］用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4n+.2233+…+\；n(n+1)<1(n+1)22［解析］(1)當(dāng)n=1時(shí)，左=四，右=2,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=時(shí)等式成立，即x1?2+J.2?3+—\-、：k(k+1)<—(k+1)22貝(+%：T3+—+、:k(k+1)+；(k+1)(k+2)<1(k+1)2+(k+1)(k+2)21/7 不—八.了—t-(k+2)2 .■―：—、、/1—(k+1)+(k+2)?一一(k+1)2+,,'(k+1)(k+2)- =((k+1)(k+2)- <02 2 2??? +v-2^3+—+\.k(k+1)+式k+1)(k+2)<U［(k+1)+1］22,當(dāng)n=1時(shí)，不等式也成立綜合(1)(2)，等式對(duì)所有正整數(shù)都成立試一試:3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:111112n-1 2111112n-1 2n11 H \-——

n+2 2n［解析］(1)當(dāng)n=1時(shí),左=1一1=1=右，等式成立22(2)假設(shè)當(dāng)n=時(shí)等式成立，即

+ 1 +2k11+ 1 +2k112k-12k11

+

k+1k+2H F2k———+(―2k-12k 2k+1)=,當(dāng)n=1時(shí)，等式也成立，綜合(1)(2),等式對(duì)所有正整數(shù)都成立4數(shù)歹I」｛a｝中，a=5,a= a： (neN*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明:n 1 2n+1 2(a-1)na>2(neN*)n解析］1當(dāng)"1時(shí),［二2>2不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=時(shí)等式成立，即a>2(keN*)，k則o_a2 (a-2)2、a—2 k -2 k >0，??a>2k+1 2(a-1) 2(a-1) k+1kk...當(dāng)n=1時(shí)，不等式也成立綜合(1)(2),不等式對(duì)所有正整數(shù)都成立例3.證明：n3+5n(neN*)能被6整除試一試：證明：*2n-1+y2n-1能被"y整除x^-ny4n xy題型2用“歸納——猜想——證明”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題［例4］是否存在常數(shù)a、b、c,使等式1?22+2?32+--+〃（〃+1）2="（；；1）（cm2+bn+C）對(duì)一切正整數(shù)n都成立證明你的結(jié)論【解題思路】從特殊入手，探求a、b、c的值，考慮到有3個(gè)未知數(shù)，先取"1,2,3,列方程組求得，然后用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)一切neN*，等式都成立q+/?+c=24［解析］把"1,2,3代入得方程組40+2〃+c=44,解得,〈6=119a+3b+c=70 c=10猜想:等式1.22+2.32+...+〃（〃+1）2="3（3俏+11〃+10）對(duì)一切都成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)"1時(shí)，由上面的探求可知等式成立（2）假設(shè)"時(shí)等式成立，即1-22+2-32+...+^+1）2=^±12（3^2+1R+10）則L22+2T2+…+左（左+1）2+（左+1）（左+2）2二^±11（3左2+11左+10）+（4+1）（左+2）21=空：1）Ok+5）（左+2）+（左+1）（左+2）2=出+1）（左+2）4（3左+5）+12（左+2）］

(k+1)(k+2)12[3(k+1)2+11((k+1)(k+2)12所以當(dāng)n=1時(shí)，等式也成立，綜合(1)(2),對(duì)nEN*等式都成立試一試：已知數(shù)列 」…，計(jì)算SSS，由此推測(cè)計(jì)昊的公式,, ,, , ,,1X22X33X14nx(n+1) 123 n基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n.1?3…??(2n+1)(neN*)，從“到1”左端需乘的代數(shù)式是()2(2k+1)”上解析］左端需乘的代數(shù)式是k+1k+1(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)，選Bk+12用數(shù)學(xué)歸納法證明：111…+，＜n,(nen*,n〉1)時(shí)，在第23 2n-1二步證明從口=到口=1成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是()2k2k-12k-12k+1解析］項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1),選An條對(duì)角線，則凸n1邊形有對(duì)角線數(shù)fn1為()nnnnnn-2。［解析］CP(n)=成立，則它對(duì)口=1也成立，現(xiàn)已知P(n)對(duì)口=4不成立，則下列結(jié)論中正確的是()尸(〃)neN*P(n)>4且〃金n*成立P(n)<neN*P(n)<4不成立［解析］D5設(shè)/(〃)=〃+/⑴+”2)+...+/(〃_1),用數(shù)學(xué)歸納法證明“〃+/⑴+/⑵+.?.+/(〃-1)=硝〃)”時(shí)，第一步要證的等式是［解析］2+/⑴=2/(2)6若存在正整數(shù)加,使得/5)=(2"7)3〃+95，N*)能被加整除，則m~［解析］36［/⑴=36f(2)=36x6f(3)=36x10，猜想:加=36］7求證：12+22+…+俏=他±幽±&6［證明］1當(dāng)"1時(shí)，左端=1,右端=，(1+1)(2+1)_1，左端二右