2024屆江蘇省南京市秦淮區(qū)數(shù)學(xué)九上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆江蘇省南京市秦淮區(qū)數(shù)學(xué)九上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PBC＝∠PCA，則線段AP長(zhǎng)的最小值為（）A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．2．把二次函數(shù)y=2x2的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后的函數(shù)關(guān)系式是（）A． B．C． D．3．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，P為BC上一點(diǎn)，且BP=1，D為AC上一點(diǎn)，若∠APD=60°，則CD的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．4．如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切于點(diǎn)C，D是⊙O上一點(diǎn)，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，則EF的長(zhǎng)度為（）A．2 B．2 C． D．25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(3，4)為圓心，4為半徑的圓與y軸()A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定6．如圖，為的直徑延長(zhǎng)到點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，連接，為圓上一點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AC：AB=2：5，則S△ADC：S△BDC是（）A．3：19 B． C．3: D．4：218．將以點(diǎn)為位似中心放大為原來的2倍，得到，則等于（）A． B． C． D．9．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則的余弦值是（）A． B． C． D．10．使得關(guān)于的不等式組有解，且使分式方程有非負(fù)整數(shù)解的所有的整數(shù)的和是()A．-8 B．-10 C．-16 D．-18二、填空題(每小題3分,共24分)11．在△ABC中，分別以AB，AC為斜邊作Rt△ABD和Rt△ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，連接DE．若DE＝5，則BC長(zhǎng)為_____．12．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1＋x2＝____．13．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分（即圖中的陰影部分）的面積是△ABC的面積的一半，若AB=2，則此三角形移動(dòng)的距離AA′=_______．14．若點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，則______.（填“>”“<”或“=”）15．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，正面朝上的概率是_____．16．如圖，用一張半徑為10cm的扇形紙板做一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽略不計(jì)），如果做成的圓錐形帽子的高為8cm，那么這張扇形紙板的弧長(zhǎng)是________cm．17．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，將OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角時(shí)（0°＜α＜180°），得到OP，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，α的值為_____．18．?dāng)?shù)據(jù)8，9，10，11，12的方差等于______.三、解答題(共66分)19．（10分）某校為響應(yīng)全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館.據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月進(jìn)館達(dá)到288人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同.（1）求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率；（2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不得超過500人次，在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下，校圖書館能否接待第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說明理由.20．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，直線AB與反比例函數(shù)y＝（m＞0）在第一象限的圖象交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，8），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，n）．（1）分別求m、n的值；（2）連接OD，求△ADO的面積．21．（6分）如圖，在中，，以斜邊上的中線為直徑作，分別與交于點(diǎn).（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：是的切線；（2）連接，若，求的長(zhǎng).22．（8分）解方程：4x2﹣8x+3=1．23．（8分）如圖，已知拋物線y＝x2+2x的頂點(diǎn)為A，直線y＝x+2與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作CD⊥x軸于點(diǎn)D，求證：△ODC∽△ABC；（3）若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則是否還存在除C點(diǎn)外的其他位置的點(diǎn)，使以O(shè)，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出這樣的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．24．（8分）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和且過點(diǎn)．求拋物線的解析式；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；取什么值時(shí)，隨的增大而增大；取什么值時(shí)，隨增大而減?。?5．（10分）如圖，張大叔從市場(chǎng)上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個(gè)容積為米的無蓋長(zhǎng)方體箱子，且此長(zhǎng)方體箱子的底面長(zhǎng)比寬多米，現(xiàn)已知購(gòu)買這種鐵皮每平方米需元錢，算一算張大叔購(gòu)回這張矩形鐵皮共花了________元錢．26．（10分）某土特產(chǎn)專賣店銷售甲種干果，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，（物價(jià)局規(guī)定：出售時(shí)不得低于進(jìn)價(jià)，又不得高于進(jìn)價(jià)的1.5倍銷售）．試銷后發(fā)現(xiàn)：售價(jià)x（元/千克）與日銷售量y（千克）存在一次函數(shù)關(guān)系：y＝﹣10x+1．若現(xiàn)在以每千克x元銷售時(shí)，每天銷售甲種干果可盈利w元．（盈利＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）．（1）w與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）；（2）單價(jià)為每千克多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最高，最高為多少元；（3）專賣店銷售甲種干果想要平均每天獲利2240元的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，則售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】先計(jì)算出∠PBC+∠PCB＝45°，則∠BPC＝135°，利用圓周角定理可判斷點(diǎn)P在以BC為弦的⊙O上，如圖，連接OA交于P′，作所對(duì)的圓周角∠BQC，利用圓周角定理計(jì)算出∠BOC＝90°，從而得到△OBC為等腰直角三角形，四邊形ABOC為正方形，所以O(shè)A＝BC＝2，OB=，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到AP≥OA﹣OP（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、O共線時(shí)取等號(hào)，即P點(diǎn)在P′位置），于是得到AP的最小值.【題目詳解】解：∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴點(diǎn)P在以BC為弦的⊙O上，如圖，連接OA交于P′，作所對(duì)的圓周角∠BQC，則∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC為等腰直角三角形，∴四邊形ABOC為正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、O共線時(shí)取等號(hào)，即P點(diǎn)在P′位置），∴AP的最小值為2﹣．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理及等腰直角三角形的性質(zhì).圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.2、A【解題分析】將二次函數(shù)的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后的函數(shù)關(guān)系式為：.故選A.3、C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比的平方解答．【題目詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∵AB=BC=3，BP=1，∴PC=2，∴，∴CD=，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4、B【解題分析】本題考查的圓與直線的位置關(guān)系中的相切．連接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO為等邊三角形．又因?yàn)橄褽F∥AB所以O(shè)C垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2．5、A【分析】先找出圓心到y(tǒng)軸的距離，再與圓的半徑進(jìn)行比較，若圓心到y(tǒng)軸的距離小于半徑，則圓與y軸相交，反之相離，若二者相等則相切故答案為A選項(xiàng)【題目詳解】根據(jù)題意，我們得到圓心與y軸距離為3，小于其半徑4，所以與y軸的關(guān)系為相交【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓與直線的位置關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A心距與圓到直線距離的大小關(guān)系對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系是關(guān)鍵6、A【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù)．【題目詳解】連接OC∵PC為的切線∴∵故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查切線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余和圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7、D【分析】根據(jù)已知條件易證△ADC∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．【題目詳解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ABC，∴AC：AB=2：5，是相似比，∴S△ADC：S△ABC=4：25，∴S△ADC：S△BDC=4：（25﹣4）=4：21，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△ADC∽△ABC是解決問題的關(guān)鍵．8、C【分析】根據(jù)位似圖形都是相似圖形，再直接利用相似圖形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方計(jì)算可得．【題目詳解】）∵將△OAB放大到原來的2倍后得到△OA′B′，

∴S△OAB：S△OA′B′=1：4.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查位似圖形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是首先掌握位似圖形都是相似圖形．9、D【分析】由題意可知AD=2，BD=3，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)余弦的定義即可求出答案．【題目詳解】解：如下圖，根據(jù)題意可知，AD=2，BD=3，由勾股定理可得：，∴的余弦值是：．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用網(wǎng)格求角的三角函數(shù)值，解此題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)．10、D【分析】根據(jù)不等式組的解集的情況，得出關(guān)于m的不等式，求得m的取值范圍，再解分式方程得出x，根據(jù)x是非負(fù)整數(shù)，得出m所有值的和．【題目詳解】解：∵關(guān)于的不等式組有解，則，∴，又∵分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴為非負(fù)整數(shù)，∵，∴-10，-6，-2由，故答案選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查含參數(shù)的不等式組及含參數(shù)的分式方程，能夠準(zhǔn)確解出不等式組及方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】由在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，可證得△ABD∽△ACE，AD＝AB，繼而可證得△ABC∽△ADE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．【題目詳解】∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴△ABD∽△ACE，AD＝AB，∴∠BAD＝∠CAE，AB：AC＝AD：AE，∴∠BAC＝∠DAE，AB：AD＝AC：AE，∴△ABC∽△ADE，∴＝2，∵DE＝5，∴BC＝1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及含30度角的直角三角形．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12、【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．【題目詳解】解：根據(jù)題意得x1+x2═故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=，x1?x2=．13、【分析】由題意易得陰影部分與△ABC相似，然后根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方可求解．【題目詳解】解：把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，，它們的重疊部分（即圖中的陰影部分）的面積是△ABC的面積的一半，AB=2，即，；故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14、<【分析】根據(jù)反比例的性質(zhì)，比較大小【題目詳解】∵∴在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大點(diǎn)，在第二象限內(nèi)y隨x的增大而增大∴m<n故本題答案為：<【題目點(diǎn)撥】本題考查了通過反比例圖像的增減性判斷大小15、【分析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，其等可能的情況有2個(gè)，求出正面朝上的概率即可．【題目詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，等可能的情況有：正面朝上，反面朝上，則P（正面朝上）=．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率公式，概率=發(fā)生的情況數(shù)÷所有等可能情況數(shù)．16、【分析】首先求出圓錐的底面半徑，然后可得底面周長(zhǎng)，問題得解．【題目詳解】解：∵扇形的半徑為10cm，做成的圓錐形帽子的高為8cm，∴圓錐的底面半徑為cm，∴底面周長(zhǎng)為2π×6＝12πcm，即這張扇形紙板的弧長(zhǎng)是12πcm，故答案為：12π．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的計(jì)算，用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的底面周長(zhǎng)＝側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)．17、40°或70°或100°．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．先連結(jié)AP，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OP=OB，則可判斷點(diǎn)P、C在以AB為直徑的圓上，利用圓周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，然后分類討論：當(dāng)AP=AC時(shí)，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°；當(dāng)PA=PC時(shí)，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，；當(dāng)CP=CA時(shí)，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分別解關(guān)于α的方程即可．【題目詳解】連結(jié)AP，如圖，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OA=OB，∵OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角時(shí)（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴點(diǎn)P、C在以AB為直徑的圓上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，當(dāng)AP=AC時(shí)，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；當(dāng)PA=PC時(shí)，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；當(dāng)CP=CA時(shí)，∠CAP=∠CPA，即α+20°=70°，解得α=100°，綜上所述，α的值為40°或70°或100°．故答案為40°或70°或100°．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).18、2【分析】根據(jù)方差的公式計(jì)算即可.【題目詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為∴這組數(shù)據(jù)的方差為故答案為2.【題目點(diǎn)撥】此題主要考查方差的計(jì)算，牢記公式是解題關(guān)鍵.三、解答題(共66分)19、（1）進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%；（2）校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次．理由見解析.【分析】（1）先分別表示出第二個(gè)月和第三個(gè)月的進(jìn)館人次，再根據(jù)第三個(gè)月進(jìn)館達(dá)到288次，列方程求解；

（2）根據(jù)（1）所計(jì)算出的月平均增長(zhǎng)率，計(jì)算出第四個(gè)月的進(jìn)館人次，再與500比較大小即可．【題目詳解】（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得：解得；（舍去）．答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為50%．（2）第四個(gè)月進(jìn)館人數(shù)為（人次），∵，∴校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次．【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用題，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．20、（1）m＝8，n＝1．（1）10【分析】（1）把代入解析式可求得m的值，再把點(diǎn)D（4，n）代入即可求得答案；（1）用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，繼而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式即可求得答案.【題目詳解】（1）∵反比例函數(shù)（＞0）在第一象限的圖象交于點(diǎn)，∴，∴，∴函數(shù)解析式為，將代入得，．（1）設(shè)直線AB的解析式為，由題意得，解得：，∴直線AB的函數(shù)解析式為，令，則，∴，∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查了用待定法求函數(shù)解析式及三角形面積公式，熟練掌握待定法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.21、（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，ND，可知∠CND=90°，再證，即可證，最后根據(jù)切線的定義求得答案；【題目詳解】解：如圖連接，，在中，為斜邊中線，∴，∵是的直徑.∴，∴，∵等腰三線合一，∴，∵在中，為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線.（2）連接，則四邊形為矩形，，∴,，∴∴【題目點(diǎn)撥】本題考查的是圓的切線的判定，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和勾股定理，是一道綜合性較強(qiáng)的習(xí)題，能夠充分調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)多次利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.22、【解題分析】方程左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為1，兩因式中至少有一個(gè)為1轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．【題目詳解】分解因式得：（2x-3）（2x-1）=1，可得2x-3=1或2x-1=1，解得：x1=，x2=．【題目點(diǎn)撥】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．23、（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）見解析；（3）存在這樣的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)勾股定理可得∠ABC＝90°，進(jìn)而可求△ODC∽△ABC.（3）設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形相似可求得p點(diǎn)的坐標(biāo)．【題目詳解】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴頂點(diǎn)A（﹣1，﹣1）；由，解得：或∴B（﹣2，0），C（1，3）；（2）證明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），∴AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，，∴∠ABC＝90°，∵OD＝1，CD＝3，∴=，∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，∴△ODC∽△ABC；（3）存在這樣的P點(diǎn)，設(shè)M（x，0），則P（x，x2+2x），∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，當(dāng)以O(shè)，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，有或，由（2）知：AB＝，CB＝，①當(dāng)時(shí)，則＝，當(dāng)P在第二象限時(shí)，x＜0，x2+2x＞0，∴，解得：x1＝0（舍），x2＝-，當(dāng)P在第三象限時(shí)，x＜0，x2+2x＜0，∴＝，解得：x1＝0（舍），x2＝-，②當(dāng)時(shí)，則＝3，同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍），綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（-，-）或（-，）或（﹣5，15）．【題目點(diǎn)撥】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等.24、（1）；（1）；（3）當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨增大而減?。痉治觥浚?）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x﹣1)(x﹣1)，然后把點(diǎn)(3，4)代入函數(shù)解析式求得a的值即可；（1）將（1）中拋物線的解析式利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可以直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)拋物線的開口方向和對(duì)稱軸寫出答案．【題目詳解】（1）∵二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(1，0)和(1，0)，∴設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a(x﹣1)(x﹣1)(a≠0)，把點(diǎn)(3，4)代入，得：a×(3﹣