概率統(tǒng)計與隨機過程 知識點總結(jié)-最終版

--#-1、平穩(wěn)過程的功率譜密度(1)平均功率度定義：設(shè)有時間函數(shù)x(t),-SVtv+8，假如血)滿足狄利克雷條件，且絕對可積，即:J+8\x(t)|dt<+S，那么x(t)的傅立葉變換存在或者說具有頻譜：F(w)=J+8x(t)e-血dt一8X一8(F(w)一般是復(fù)數(shù)量，其共軛函數(shù)F*(w)二F(-①))且同時有傅立葉逆變換：xxxx(t)=+82x(t)=+82n_8F(w)eiwtdw。x2)平穩(wěn)過程的平均功率將limET將limETT+812TJ丁X2(t)dtj定義為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率。3)譜密度定義：設(shè)R(t)為平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)，稱S(w)=f8R(t)e-iW^dT為X(t)的功率xx-8x譜密度，簡稱功率譜或譜密度。2、譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1：S(性質(zhì)1：S(w)是w的實的、非負(fù)的偶函數(shù)；X，性質(zhì)2：S(w)和自相關(guān)函數(shù)R(t)是一傅立葉變換對，即:XS(w)二X卜-8(t)e-iwtdtRX(t)二丄J+8RX(t)二丄J+82n-8+8-8R(t)coswtdt，XRx(T)二-f+8-8S(t)coswtdt.XS(w)eiwtdw，它們統(tǒng)稱為維納-辛欽公式。X說明：S(w)和R(t)都是偶函數(shù)，所以維納-辛欽公式還可以寫成如下的形式:X補充：5(t)=0,t豐05函數(shù)：即單位沖激函數(shù)5(t)，定義如下：/),f+85(t)dt=1-85函數(shù)的基本性質(zhì)：對任一在t=0連續(xù)的函數(shù)f(t)，有：f+85(T)fG)dT二f(0)，—般，若函數(shù)f(t)在-8T=T連續(xù)，就有：f+85(T-T)f(T)dT二f(T)，據(jù)此，可以寫出如下傅立葉變換對:0-800f+85G)e-iwTdT二15G)二—1—f+81?eiwTdw；-8-82兀8'-8-8+g-^e—i?TdT=8(?)=-^J+g8(?)ei?Td?2兀2兀2兀—g即：當(dāng)R(T)=1時，S(?)=2兀8(?)；當(dāng)S(?)=1時，R(t)=8(t)xxx白噪聲—g定義：均值為零而譜密度為正常數(shù)，即:S佃）=S0,-g<o<+g（S0>0）的平穩(wěn)過程y/）稱為白噪聲過程，簡稱白噪聲。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)1SR(?)=J+gS(?)ei?Td?=—j+gei?Td?=S8(t)x2n—gx2n一0—g附：常見平穩(wěn)過程的RX（t）和SX㈣1、R(r)=e-aT，S(?)=力xx2、RxG)=<|i—MT0H<T，S㈣=4sin2(?T/2)帀t，x3、RG)=e-aHcos?t;X0S（①）二X+—a2+(?+?)2a2+(?—?)200sin?t4、R(t)=—；Sx兀Tx（?）=]05、RG)=1；S(?)=2?！??)；x