典型題2014高考數(shù)學二輪復習知識點總結空間幾何體

空間幾何體高考對本節(jié)知識的考查主要有以下兩個考向：1三視圖幾乎是每年的必考內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，一是考查相關的識圖，由直觀圖判斷三視圖或由三視圖想象直觀圖，二是以三視圖為載體，考查面積、體積的計算等，均屬低中檔題.2對.于空間幾何體的表面積與體積，由原來的簡單公式套用漸漸變?yōu)槿晥D及柱、錐與球的接切問題相結合，特別是已知空間幾何體的三視圖求表面積、體積是近兩年高考考查的熱點，題型一般為選擇題或填空題．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關系．空間幾何體的三視圖（1）三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形．（2）三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣；側視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．（3）畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高．看不到的線畫虛線．直觀圖的斜二測畫法空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：（1）原圖形中軸、軸、軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°（或135°），/軸與x軸和y軸所在平面垂直.（原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于軸和軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄臻g幾何體的兩組常用公式（1）柱體、錐體、臺體的側面積公式：①麗=（為底面周長，為高）；柱側②錐側=1'（為底面周長，,為斜高）；③臺側=12（+，）/（/，分別為上下底面的周長，,為斜高）；④球表=4n（為球的半徑）.（2）柱體、錐體和球的體積公式：①柱體=（為底面面積，為高）；

②錐體②錐體=1(為底面面積,為高)；③臺=3(+q—'+')(不要求記憶)；④球可3考點一三視圖與直觀圖的轉化例1(1)已知三棱柱的正視圖與俯視圖如圖，那么該三棱錐的側視圖可能為()(2)將長方體截去一個四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側視圖為( )答案(1)B(2)D解析(1)底面為正三角形,一側棱垂直于底面．由虛線知可能有一側棱看不見．由題知這個空間幾何體的側視圖的底面邊長是\；3故其側視圖只可能是選項中的圖形.(2)如圖所示，點1的投影為C點的投影為，點的投影為，故選空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖,因此在分析空間幾何體的三視圖問題時,先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面,然后根據(jù)正視圖或側視圖確定幾何體的側棱與側面的特征,調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置,再確定幾何體的形狀,即可得到結果．(1)(2013?課標全國H)一個四面體的頂點在空間直角坐標系一中的坐標分別是(101)(110)(011)(000)畫該四面體三視圖中的正視圖時，以平面為投影面,則得到的正視圖可以為 ()(2)(2012?湖南)某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能

答案(1)A(2)D解析(1)根據(jù)已知條件作出圖形：四面體1—1,標出各個點的坐標如圖⑴所示，可以看出正視圖為正方形，如圖⑵所示.故選(2)根據(jù)幾何體的三視圖知識求解．由于該幾何體的正視圖和側視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖不可能是考點二幾何體的表面積及體積例2(1)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是 ()A B62 J。 D8/2(2)(2013?浙江)若某幾何體的三視圖(單位： 如圖所示，則此幾何體的體積等于答案(1)C(2)24解析(1)由三視圖可想象出如圖所示的三棱錐，，平面，△中N =90°, ==4, =3,因此圖中四個面的三角形均為直角三角形，=W2， =5，△=10，△=，△=62，△=，所以最大面積是10(2)由三視圖可知,其直觀圖為：=4, =3,Z=90°,二=5作，于，? 12= =T作1，1于，1，1于連接1 712,小,、1c…=-X(5X3)X—+(3X4)X-X2=24352型反(1求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在．求三棱錐的體積,等體積轉化是常用的方法,轉換原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上．⑵求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉化為規(guī)則幾何體以易于求解．國gj*(1)(2013?江西)一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

A200+n B200+1nc140+n d140+1n(2)(2012?遼寧)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 .答案(1)A(2)38解析(1)該幾何體是由一個長方體與一個半圓柱構成．=10X4X5+1XnX32X2=200+n乙(2)將三視圖還原為直觀圖后求解．根據(jù)三視圖可知幾何體是一個長方體挖去一個圓柱，所以=2X(4+3+12)+2n—2n=3考點三多面體與球例3.如圖所示，平面四邊形 中， ===1, =鏡， ±,將其沿對角線折成四面體 ，使平面 ，平面，若四面體 的頂點在同一個球面上，則該球的體積為 ( )：中.；.!?：中.；.!?要求出球的體積就要求出球的半徑，需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)和空間位置關系確定球心的位置，由于△是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中點到三角形各個頂點的距離相等，只要再證明這個點到點的距離等于這個點到可確定球心進而求出球的半徑,根據(jù)體積公式求解即可．可確定球心進而求出球的半徑,根據(jù)體積公式求解即可．答案解析如圖取的中點的中點連接，由題意,知=，所以由于平面，平面，所以，平面因為=D1,=\'2,所以O1解析如圖取的中點的中點連接，由題意,知=，所以由于平面，平面，所以，平面因為=D1,=\'2,所以O1時、? —近=2所以=2在Rt4中，所以四面體 的外接球的球心為，半徑為理所以該球的體積=w工33=H3n故選322RK叫多面體與球接、切問題求解策略（1涉）及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解．若球面上四點，，，構成的三條線段，， 兩兩互相垂直，且=a=b=c一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，則=++求解．（1一）個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument". 2 n c3n n（2一）個空間幾何體的三視圖如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是 ．___答案 n6解析 由已知條件知該幾何體的直觀圖如圖所示，，面△、△、△均為直角三角形，且斜邊相同，所以球心為中點，=_===23球的表面積為=n（2該）幾何體是一個正三棱柱，底面邊長為3，高為2（2該）幾何體是一個正三棱柱，底面邊長為3，高為2設.其外接球的球心O上、下底面中心分別為、，則為的中點，如圖所示.則=7X3sin60°="73, =i3??.該棱柱的外接球半徑為=q—T-=,，球的表面積是=n=n

空間幾何體的面積有側面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉體的表面積除了球之外，都是其側面積和底面面積之和．在體積計算中都離不開空間幾何體的“高”這個幾何量（球除外），因此體積計算中的關鍵一環(huán)就是求出這個量．在計算這個幾何量時要注意多面體中的“特征圖”和旋轉體中的軸截面．一些不規(guī)則的幾何體，求其體積多采用分割或補形的方法，從而轉化為規(guī)則的幾何體，而補形又分為對稱補形（即某些不規(guī)則的幾何體，若存在對稱性，則可考慮用對稱的方法進行補形）還原補形即還臺為錐和聯(lián)系補形某些空間幾何體雖然也是規(guī)則幾何體，不過幾何量不易求解，可根據(jù)其所具有的特征，聯(lián)系其他常見幾何體，作為這個規(guī)則幾何體的一部分來求解）．長方體的外接球長、寬、高分別為、、的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即:++2R；棱長為的正方體的體對角線長等于外接球的直徑，即=從一個正方體中截去部分幾何體，得到一個以原正方體的部分頂點為頂點的凸多面體，其三視圖如圖，則該幾何體體積的值為 （ ）,△ ,△ ,△ 的面積分別為答案C解析由三視圖知，其直觀圖為棱錐一=7—1X3X-=故選

3在三棱錐A— 中，側棱，， 兩兩垂直，△丈，亞，工，則三棱錐一的外接球體積為.n b2~n c3dn答案A

解析如圖，以，， 為棱把該三棱錐擴充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球，???三棱錐的外接球的直徑是長方體的對角線長.TOC\o"1-5"\h\z=V2， =72,一一一V L ，一，一V 一據(jù)題意?=43, 解得=1，=/， =V3，，長方體的對角線長為飛,2+2+2=\；'，一???三棱錐外接球的半徑為七乙?,.三棱錐外接球的體積為=3口?(」2-3='n(推薦時間：，0分鐘)一、選擇題一梯形的直觀圖是一個如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為TOC\o"1-5"\h\z42,則原梯形的面積為 (a2 .c2--；'2 ^答案D解析直觀圖為等腰梯形，則上底設為，高設為，則直觀圖=2(+2+=，2,由直觀圖可知原梯形為直角梯形，其面積=1?2隹?(+2+=2aJ2xV2=乙(2013?湖南已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為\/2的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于 (乎.1存.2 2答案D解析???俯視圖是面積為1的正方形，???此正方體水平放置，又側視圖是面積為也的矩形，

???正方體的對角面平行于投影面，此時正視圖和側視圖相同，面積為\/2(2013?課標全國I)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ).1+n .+n.1+1n .+1n答案A解析將三視圖還原成直觀圖為：上面是一個正四棱柱，下面是半個圓柱體.所以=2X2X4+1X22XnX4=1+n故選一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為38+n .J2n答案A解析該幾何體由底面半徑為1的半圓錐與底面為邊長等于2的正方形的四棱錐組成，且高都為工,：3因此該幾何體的體積=3X《XnX12)Xx.I3+3X(2X2)X3=-^+-^-= 8 ，故選36(2012?北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是( ).2+6- b30+6-c+12/ d+12/答案B解析根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積.由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，

由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，TOC\o"1-5"\h\z其中，平面， ，，且=4 =5 =2, =3**==*=? 4 ，??TOC\o"1-5"\h\z又_D ， _D ，則，平面B故± ，所以=廠且△=1在Rt4 中， =4 =2，故=2/在Rt4 中， =5 = 4故△=1，且=11在4中，=4 =5故^=1在4中，=2/，==q-1則U邊上的高=6，故△=2X2^X6=6/因此，該三棱錐的表面積為=+6<6．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，側視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積為 ( ).「TT.「TT答案A解析三視圖復原的幾何體是圓錐沿軸截面截成兩部分，然后把截面放在平面上，底面相對接的圖形，圓錐的底面半徑為1，母線長為2,故圓錐的高為=\：'2K=\「易知該幾何體的體積就是整個圓錐的體積，即圓錐=3i2=-nX12X、「=±n故選已知正方形 的邊長為2d2，將4 沿對角線折起，使平面，平面，得到如右圖所示的三棱錐一若為邊的中點，，分別為線段，上的動點不包括端點，且=設=,則三棱錐一的體積= 的函數(shù)圖象大致是答案B易知=2，故解析由平面，平面，且為的中點，可知_0易知=2，故三棱錐一的高為=2-x△的面積為1?乙?sin45°=42x故三棱錐一 的體積為=（）=1?（2-）?三棱錐一的高為=2-x△的面積為1?乙?sin45°=42x故三棱錐一 的體積為=（）=1?（2-）?42=坐（一2+2）（03 32）函數(shù)（）的圖象為開口向下的拋物線的一部分．二、填空題（2012?山東）如圖，正方體一1111的棱長為1,別為線段1,1上的點，則三棱錐1一的體積為答案*12解析利用三棱錐的體積公式直接求解．分=|x|xixixi=-32 1（2013?江蘇）如圖，在三棱柱111- 中，，，分別是，三棱錐一的體積為V三棱柱111一的體積為2,則,1的中點，設2= 答案1：24解析設三棱錐的高為，?sinZ2sinZ?sinZ2sinZ3<2答案解析據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個半球（下部）與一個四面體（上部組合體，其直觀圖如圖所示，其中, , 兩兩垂直，且 =解析據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個半球（下部）與一個四面體（上部組合體，其直觀圖如圖所示，其中, , 兩兩垂直，且 =====1.?.（半球的直徑長為=/，?'?該幾何體的體積為半球+ =半球+ =-x_n（一+-x-x+6.三、解答題三、解答題.（0?福建如圖，在四棱錐一中，，平面X, =5 =3 =4Z=D60°.（當正視方向與向量一的方向相同時畫出四棱錐一圖（要求標出尺寸，并寫出演算過程）；（若為的中點，求證:〃平面（求三棱錐一的體積.（1若解在梯形中，過點作±,垂足為.由已知得，四邊形為矩形，=EC=D3，在Rt4.（0?福建如圖，在四棱錐一中，，平面X, =5 =3 =4Z=D60°.（當正視方向與向量一的方向相同時畫出四棱錐一圖（要求標出尺寸，并寫出演算過程）；（若為的中點，求證:〃平面（求三棱錐一的體積.（1若解在梯形中，過點作±,垂足為.由已知得，四邊形為矩形，=EC=D3，在Rt4中，=E4，依據(jù)勾股定理得=3從而=6.又由，平