江蘇省高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)精華版

第第#頁共76頁高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合二項(xiàng)定理考試內(nèi)容：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理．排列．排列數(shù)公式．組合．組合數(shù)公式．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)．二項(xiàng)式定理．二項(xiàng)展開式的性質(zhì)．考試要求：(1)掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題．(2)理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題．理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題．掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡單的問題．§10.排列組合二項(xiàng)定理知識要點(diǎn)一、兩個(gè)原理.1.乘法原理、加法原理.2.可．以．有．重．復(fù)．元．素．的排列.從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個(gè)，所以從m個(gè)不同元素中，每次取出n個(gè)元素可重復(fù)排列數(shù)m=mn..例如：n件物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？(解：mn種)二、排列.⑴對排列定義的理解.定義：從n個(gè)不同的元素中任取m(m<n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.⑵相同排列.如果；兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.⑶排列數(shù).從n個(gè)不同元素中取出m(m<r)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號Am表示.n⑷排列數(shù)公式：n!Am=n(n-1)(n-m+1)=:—(m<n,n,meN)(n-m)!注意：n-n!=(n+l)!-n!規(guī)定0!=1Am=Am+Am-Cm-1=Am+mAm-1Am=nAm-1規(guī)定C0=Cn=1n+1nmnnnnn-1nn含．有．可．重．元．素．的排列問題.對含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,……an其中限重復(fù)數(shù)

為n「n2n為n「n2nk，且n=n1+n2+kn!n!...n!12k例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個(gè)數(shù)n=°+2)!=3又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)1!2!數(shù)？其排列個(gè)數(shù)n-3!一i.3!三、組合.⑴組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m<n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.⑵組合數(shù)公式：Cm=At=n(n一D…(n一m+DCm=」nAmm!nm!(n-m)!m⑶兩個(gè)公式：①C⑶兩個(gè)公式：①Cm=Cn_m；②Cm-1+Cm=Cmnnn+1從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.(或者從n+1個(gè)編號不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有Cm-1-Ci=Cm-1一類是不含紅球的選法有Cm)n1nn根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有Cm-1，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有ncm種，依分類原理有Cm-n+Cm=Cn+m.⑷排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.⑸①幾個(gè)常用組合數(shù)公式C0+C1+C2+/n=2nnnnnC0+C2+C4+?…=C1+C3+C5+?…=2n-1nnnnnnCm+Cm+Cm?.'Cm=Cm+1nm+1m+2m+nm+n+1kCk=nCk-1nn-111Ck=Ck+1k+1nn+1n+1②常用的證明組合等式方法例.裂項(xiàng)求和法.如:丄+-+-+…—=1-1(利用匕1=1-丄)2!3!4!(n+1)!(n+1)!n!(n-1)!n!導(dǎo)數(shù)法.iii.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.V.遞推法(即用Cm+Cm—1=Cm遞推)如：CI+C4+C5+…nnnn+1vi.構(gòu)造二項(xiàng)式.如：(C0)2+(C1)2+???+(Cn)2=Cnnnn2n證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式(X+1)n(1+x)n=(1+x)2n其中X”的系數(shù)，左邊為C0C+C1-Cn-1+C2Cn-2+…+侖"C0=(C0)2+(C1)2+…+(C")2，而右邊=C2nnnnnnnnnnnn2n四、排列、組合綜合.I.排列、組合問題幾大解題方法及題型：直接法.②排除法.捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某m(m<n)個(gè)元素必相鄰的排列有An-m+1-Am個(gè).其中An-m+1是一個(gè)“整體排n-m+1mn-m+1列”，而Am則是“局部排列”m又例如①有n個(gè)不同座位，A、B兩個(gè)不能相鄰，則有排列法種數(shù)為A2-a1-a2.nn-12有n件不同商品，若其中A、B排在一起有A”-.A2.n-12有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有a2.a”-1.nn-1注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有a2種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任2取的2個(gè)，有不確定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？An-m-Am(插n-mn-m+1空法)，當(dāng)n-m+l^m,即m<時(shí)有意義.2占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有Ann種，m(mYn)個(gè)元素的全排列有Am種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某m一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有像種排列方法.Amm例如：n個(gè)元素全排列，其中m個(gè)元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2)...n=n！/m!；解法二：(比例分配法)An/Am.nm

_CnnCn平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有k（）一n.Akk例如：從1,2,3,4中任取2個(gè)元素將其平均分成2組有幾種分法？有C4=3（平均分組2!就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運(yùn)動(dòng)員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？8C2）P=—182丿C10/2!20注意：分組與插空綜合.例如：n個(gè)元素全排列，其中某m個(gè)元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有An-m-Am/Am，當(dāng)n-m+1>m,即m<時(shí)有意義.n一mn一m+1m2隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：X+x+x+x=12的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為X,X,X,X顯然X+X+X+X=12，故（X,X,X,X）是方程的一組解反之，TOC\o"1-5"\h\z123412341234方程的任何一組解（y,y,y,y），對應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖1234"的方法數(shù)X：4"的方法數(shù)X：4注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用a,a,...a中ai等于X+1，有X+X+X...+x=Aa一1+a一1+…a一1=A，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為親a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為123n12nCn-1A+n定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有ArAn】；.例如：從n個(gè)不同元素中，每次取出m個(gè)元素的排列，其中某個(gè)元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：人加-1；不在某一位置上：Am一A"1或Am+A1.Am_1（—類是不取出n-1nn-1n-1m-1n-1特殊元素a,有A：，一類是取特殊元素a,有從m-1個(gè)位置取一個(gè)位置，然后再從n-1個(gè)1元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）⑩指定元素排列組合問題.從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)。先C后A策略，排列C；Ck-；Ak；組合C；Ck-；.;n-;k;n—;從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列CkAk；組合Ck.n-;kn—;iii從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先c后a策略，排列CrCn~rAk；組合CrCn-r.II.排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列)；④正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化策略;相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略組合問題中分組問題和分配問題.均勻不編號分組：將n個(gè)不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為A/Ar(其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù)).如果再有K組r均勻分組應(yīng)再除以Ak.k例:10人分成三組，各組元素個(gè)數(shù)為2、4、4,其分法種數(shù)為C2C4C4/A2二1575.若分成10842六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2,其分法種數(shù)為CiCiC2C2C2C2/A2-A4109864224非均勻編號分組：n個(gè)不同元素分組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A-Amm例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動(dòng)，其安排方法為：C2C3C5?A3種.10853若從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動(dòng)，則安排方法有C2C3C4?A3種10853均勻編號分組：n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A/Ar?Am.rmC2C4C4例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4,參加三種不同勞動(dòng)，分法種數(shù)為人?A3TOC\o"1-5"\h\zA232非均勻不編號分組：將n個(gè)不同元素分成不編號的m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為A=Cm1Cmm…+++)un-iii]n-(m]+m?+...+mR])例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5,其分法種數(shù)為C2C3C5=2520若從10人中選1085出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3,其分法種數(shù)為C1C2C3=12600?1097五、二項(xiàng)式定理.⑴二項(xiàng)式定理：(a+b)n=C0anb0+C1an_1b+Cran-rbr+Cna0bn?nnnn展開式具有以下特點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)；

系數(shù)：依次為組合數(shù)C0,C1,C2,…Q，…,Cn；nnnnn每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.⑵二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(a+b)n展開式中的第r+1項(xiàng)為：T卄嚴(yán)嚴(yán)-rbr(0<r<n,reZ).⑶二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).在二項(xiàng)展開式中與首未兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)二．項(xiàng)．式．系．?dāng)?shù)．最大._n當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)是第-+1項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)C2最大;2nII.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第II.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)為兩項(xiàng)，即第羅項(xiàng)和第n—1n+1+1項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)C2=C2nn最大.③系數(shù)和：C0+C1+…+Cn=2nnnnC0+C2+C4+...=C1+C3+???=2n—1nnnnn附：一般來說(ax+by)n(a,b為常數(shù))在求系數(shù)最大的項(xiàng)或最小的項(xiàng)時(shí)均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.當(dāng)a豐1解.當(dāng)a豐1或b豐1時(shí)，一般采用解不等式組]Ak-AA>Akk+1'或<k—1A<A

kA<Akk+1k—1(Ak為Tk+1的系數(shù)或系數(shù)的絕對值)的辦法來求解.其中p,q,reN,且p+q+r=其中p,q,reN,且p+q+r=n把(a+b+c)n=[(a+b)+c]n視為二項(xiàng)式，先找出含有Cr的項(xiàng)Cr(a+b)n-rCr，另一方面在n(a+b)n—r中含有bq的項(xiàng)為Cqan—r—qbq=Cqapbq，故在(a+b+c)n中含apbqcr的項(xiàng)為n—rn—rCrCqaPbqcr.其系數(shù)為C「cq=—n!(n—r)!—n—=CpCqCr.nn—rnn—rr!(n—r)!q!(n—r—q)!r!q!p!nn—pr2.近似計(jì)算的處理方法.當(dāng)a的絕對值與1相比很小且n不大時(shí)，常用近似公式(1+a)n二1+na，因?yàn)檫@時(shí)展開式的后面部分C2a2+c3a3+???+Cnan很小，可以忽略不計(jì)。類似地，有(1-a)n?1—na但使用這兩個(gè)nnn公式時(shí)應(yīng)注意a的條件，以及對計(jì)算精確度的要求.高中數(shù)學(xué)第十一章-概率考試內(nèi)容：隨機(jī)事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．

考試要求：了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義．了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率。了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率．會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.§11.概率§11.概率知識要點(diǎn)概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個(gè)基本事件的概率都是丄，如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那n么事件A的概率P(A)=m.n①互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B),推廣：p(a+a+???+a)=p(A)+P(A)+???+P(A)?12n12n②對立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對立事件.例如：從1?52張撲克牌中任互斥對立取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)不可能同時(shí)發(fā)生，但又不能保證其中一個(gè)必然發(fā)生，故不是對立事件?而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件』為其中一個(gè)必發(fā)生.互斥對立注意：i.對立事件的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+A)=1.ii.互為對立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B).由此，當(dāng)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌(52張)中任抽一張?jiān)O(shè)A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件［看上去A與B有關(guān)系很有可能不是獨(dú)立事件，但p(a)=52=13，p(B)=H=2，P(A)?P(B)=衿?又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有p(a.b)=2=丄，因此有p(A).p(b)=P(A?B).5226推廣：若事件A,A,…,A相互獨(dú)立，則P(AA…A)=P(A)?P(A)…P(A).12n12n12n注意：i.一般地，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B,A與B，A與B也都相互獨(dú)立.必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.獨(dú)立事件是對任意多個(gè)事件來講，而互斥事件是對同一實(shí)驗(yàn)來講的多個(gè)事件，且這多個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率：P(k)=CkPk(l—P)n-k.nn

對任何兩個(gè)事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A-B)第十二章-概率與統(tǒng)計(jì)考試內(nèi)容：抽樣方法.總體分布的估計(jì)．總體期望值和方差的估計(jì)．考試要求：了解隨機(jī)抽樣了解分層抽樣的意義，會(huì)用它們對簡單實(shí)際問題進(jìn)行抽樣會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布．會(huì)用樣本估計(jì)總體期望值和方差．§12.概率與統(tǒng)計(jì)知識要點(diǎn)一、隨機(jī)變量.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行;②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量?若g是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù)?則n=ag+b也是一個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若g是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f憶)也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量g可能取的值為：x,x，…,x，…12ig取每一個(gè)值x(i=1,2,…)的概率P(g=x)=p，則表稱為隨機(jī)變量g的概率分布，簡稱g的TOC\o"1-5"\h\z1ii分布列.gxxxP1丄2p2p.i1TOC\o"1-5"\h\z有性質(zhì)①P>0,i=1,2,…；②P+pHFpH=1.112i注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：gw[0,5]即￡可以取0?5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).⑴二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：P憶=k)=Ckpkqn-k[其中k=0,1,…,n,q=1-p]n于是得到隨機(jī)變量g的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量g服從二項(xiàng)分布，記作g?B(n?p)，其中n，p為參數(shù)，并記Ckpkqn-k=b(k;n-p).n⑵二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.二項(xiàng)分布，實(shí)際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布.當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.幾何分布：“g=k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為A，事A不發(fā)生記為A,P(A)=q，那么P(g=k)=P(AA…AA).根據(jù)kkk12k-1k相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：P(E=相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：P(E=k)=P(A)P(A)…P(A)P(A)12k-1k=qk-1p(k=1,2,3,…)于是得到隨機(jī)變量E的概率分布列.g123kPqqpqk*我們稱g服從幾何分布，并記g(k,p)=qk-ip，其中q=1-p.k=1,2,3…5.⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M(MVN)件次品，今抽取n(1<n<N)件,則其中的次品數(shù)g是一離散型隨機(jī)變量，分布列為p(￡=k)=CM?(0<k<M,0<n-k<N-M).〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正CnN品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定mVr時(shí)Cr=0，則k的范圍可以寫為k=0,1,…，n.〕m⑵超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件(1<n<a+b)，則次品數(shù)g的分布列為P(g=k)=90空k=0,1,…,n..Cna+b⑶超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)g服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)耳的分布列可如下求得：把a(bǔ)+b個(gè)產(chǎn)品編號，則抽取n次共有(a+b)n個(gè)可能結(jié)果，等可能：(n=k)含Ckakbn-k個(gè)結(jié)果，故,,八,,八Ckakbn-kP(n=k)=~n(a+b)n=Ck^a)k(l——^)n-k,k=0,1,2,…,n，即耳~B(n?—a).［我們先為k個(gè)次品na+ba+ba+b選定位置，共Ck種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法］可以n證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)數(shù)不多時(shí)，P憶=k)?P(n=k),因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.二、數(shù)學(xué)期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量g的概率分布為gxxcxP上2p2ip.i則稱E—xp+xp+…+乂p+…為g的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值?數(shù)學(xué)期望又簡稱期望?數(shù)學(xué)1122nn期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.⑴隨機(jī)變量耳=a^+b的數(shù)學(xué)期望：En=E(ag+b)=aEg+b當(dāng)a=0時(shí)，E(b)=b，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身.當(dāng)a=1時(shí)，E(g+b)=Eg+b，即隨機(jī)變量g與常數(shù)之和的期望等于g的期望與這個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)b=0時(shí)，E(ag)=aEg，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積.g01Pqp⑵單點(diǎn)分布：Eg=cxl=c其分布列為：P(g=1)=c.⑶兩點(diǎn)分布：Eg=0xq+1xp=p，其分布列為：(p+q=1)⑷二項(xiàng)分布：Eg=Yk?色pk?qn-k=np其分布列為g?B(n,p).(P為發(fā)生g的概率)k!(n-k)!

⑸幾何分布：E,丄其分布列為￡?q(k,p).(P為發(fā)生￡的概率)p方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量g的分布列為P(￡=x)=p(k=1,2，…)時(shí)，則稱kkD￡=(x-E￡)2p+(x-E￡)2phf(x-E￡)2ph——為g的方差.顯然D￡>0，故Q￡=入：D￡.Q￡為g的1122nn根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量g的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量g取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.D￡越．?。?，．穩(wěn)．定．性．越．高．，．波．動(dòng)．越．?。?方差的性質(zhì).⑴隨機(jī)變量耳=a￡+b的方差D(q)=D(a￡+b)=a2D￡.(a、b均為常數(shù))⑵單點(diǎn)分布⑶兩點(diǎn)分布⑷二項(xiàng)分布⑵單點(diǎn)分布⑶兩點(diǎn)分布⑷二項(xiàng)分布⑸幾何分布p25.期望與方差的關(guān)系.⑴如果e￡和En都存在，則e(￡±n)=e￡±En⑵設(shè)g和n是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則e(￡n)=e￡?En,D(￡+n)=d￡+Dn⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：d￡=e￡2-(e￡)2⑷E(￡-e￡)=E(￡)-E(e￡)(因?yàn)閑￡為一常數(shù))=E￡-E￡=0.三、正態(tài)分布.(基本不列入考試范圍)的面積1?密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機(jī)變量g,位于X軸上方，g落在任一區(qū)間［a,b)內(nèi)的概率等于它與x軸?直線x=a與直線x=b所圍成的曲邊梯的面積2o2.(xeR,卩，G(如圖陰影部分)的曲線叫g(shù)的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)f(x)叫做g的密度函數(shù)，由于“x2o2.(xeR,卩，G⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線:如果隨機(jī)變量g的概率密度為：f(x)=為常數(shù)，且GA0)，稱g服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用￡?N(PQ2)表示.f(x)的表達(dá)式可簡記為N(PQ2)，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.⑵正態(tài)分布的期望與方差：若￡?N(PQ2)，則g的期望與方差分別為：e￡=p,D￡=g2.⑶正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在X軸上方，與X軸不相交.曲線關(guān)于直線x=卩對稱.當(dāng)x=卩時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)X向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)xV卩時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>卩時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時(shí),以X軸為漸近線，向X軸無限的靠近.當(dāng)R一定時(shí)，曲線的形狀由G確定，G越大，曲線越“矮胖”表示總體的分布越分散；G越

小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.x⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量g的概率函數(shù)為9(x)=:——e-2(-8YxY+8)，則稱g服2兀從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即￡?N(0,1)有9(x)=PCx),9(x)=1-9(-x)求出，而P(aV乙<b)的計(jì)算則是P(aY￡<b)=9(b)-9(a).注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的0(x)的X取0時(shí)，有0(x)=0.5當(dāng)0(x)的X取大于0的數(shù)時(shí)，有S陰0.5Sa=0.5+S0(x)A0.5.比如①嚴(yán)-卩)=0.0793Y0.5則05二^必然小于S陰0.5Sa=0.5+S⑵正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若￡?N(PQ2)則g的分布函數(shù)通常用F(x)表示，且有P憶<x)=F(x)=9(X—).4.(1)“3q”原則.假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布N(|1Q2).②確定一次試驗(yàn)中的取值a是否落入范圍⑴-3q,y+3q).③做出判斷：如果ae(p-3q,p+3q)，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè).如果a電(p-3Q,p+3Q)，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).⑵“3q”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量g服從正態(tài)分布N(pQ2)則g落在(p-3q,p+3q)內(nèi)的概率為99.7%亦即落在(p-3q,p+3q)之外的概率為0.3%，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格(即g不服從正態(tài)分布).高中數(shù)學(xué)第十三章-極限考試內(nèi)容：教學(xué)歸納法．?dāng)?shù)學(xué)歸納法應(yīng)用．?dāng)?shù)列的極限．函數(shù)的極限．根限的四則運(yùn)算．函數(shù)的連續(xù)性．考試要求：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念．掌握極限的四則運(yùn)算法則；會(huì)求某些數(shù)列與函數(shù)的極限．了解函數(shù)連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)§13.極限知識要點(diǎn)1.⑴第一數(shù)學(xué)歸納法：①證明當(dāng)n取第一個(gè)n0時(shí)結(jié)論正確；②假設(shè)當(dāng)n=k(keN+,k>n0)時(shí)，結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.⑵第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，如果當(dāng)n=n0(n0eN+)時(shí)，P(n)成立；假設(shè)當(dāng)n<k(keN+,k>n0)時(shí)，P(n)成立，推得n=k+1時(shí)，P(n)也成立.那么，根據(jù)①②對一切自然數(shù)n>n0時(shí)，P(n)都成立.⑴數(shù)列極限的表示方法：lima=anns當(dāng)nta時(shí)，aTa.n⑵幾個(gè)常用極限：limC=C(C為常數(shù))nTalim—=0(keN,k是常數(shù))nTank對于任意實(shí)常數(shù)，當(dāng)丨aIy1時(shí)，liman=0nTa當(dāng)|a|=1時(shí)，若a=1,則liman=1;若a=-1，則liman=lim(-1)n不存在nTanTanTa當(dāng)|a|》1時(shí)，liman不存在nTa⑶數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：如果lima=a,limb=b，那么nbnTanTalim(a±b)=a土bnnnTalim(a-b)=a-bnnnTalimn=—(b豐0)nTabnbn特別地，如果C是常數(shù)，那么lim(C-a)=limC-lima=Ca.nnnTanTanTa⑷數(shù)列極限的應(yīng)用：求無窮數(shù)列的各項(xiàng)和，特別地，當(dāng)qy1時(shí)，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為s=丄(biy1).1-q(化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式)注：并不是每一個(gè)無窮數(shù)列都有極限.3.函數(shù)極限；⑴當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0(但不等于x0)時(shí)，如果函數(shù)f(x)無限趨進(jìn)于一個(gè)常數(shù)a,就是說當(dāng)x趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為a.記作limf(x)=a或當(dāng)xTx0時(shí)，f(x)Ta.注：當(dāng)XTx0時(shí)，f(x)是否存在極限與f(x)在x0處是否定義無關(guān)，因?yàn)閤Tx0并不要求X=x0.(當(dāng)然，f(x)在x0是否有定義也與f(x)在x0處是否存在極限無關(guān).n函數(shù)f(x)在x0有定義是limf(x)存在的既不充分又不必要條件.)xTxo如P(x)=<*11在x=1處無定義，但limP(x)存在，因?yàn)樵趚=1處左右極限均等于零.—x+1xY1xt1⑵函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：如果limf(x)=a,limg(x)=b，那么xTxoxTxolim(f(x)土g(x))=a土bxTxolim(f(x)-g(x))=a-bxTxolim空=a(b豐0)xTxog(x)b特別地，如果C是常數(shù)，那么lim(C-f(x))=Climf(x).xTx0xTx0lim[f(x)]n=[limf(x)]n(neN+)xTx0xTx0注：①各個(gè)函數(shù)的極限都應(yīng)存在.四則運(yùn)算法則可推廣到任意有限個(gè)極限的情況，但不能推廣到無限個(gè)情況⑶幾個(gè)常用極限：lim丄=0nTwxlimax=0(0VaVI)；limax=0(a>1)TOC\o"1-5"\h\zxT+wxT—2lim沁=1nlim亠=1xT0xxT0sinx1丄lim(1+—)x=e，lim(1+x)x=e(e=2.71828183)xTwxxT0函數(shù)的連續(xù)性：⑴如果函數(shù)于(x)，g(x)在某一點(diǎn)x=x連續(xù)，那么函數(shù)f(x)土g(x),f(x)-g(x)<f(x)(g(x)豐0)0g(x)在點(diǎn)x=x處都連續(xù).⑵函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：①函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義；②limf(x)存在；③函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處的極限值xTx0等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即limf(x)=f(x0).xTx0⑶函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處不連續(xù)(間斷)的判定：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有下列三種情況之一時(shí)，則稱x0為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn).①f(x)在點(diǎn)x=x0處沒有定義，即f(x0)不存在；②limf(x)不存在；③limf(x)存在，xTx0xTx0但limf(x)豐f(x0).XTX0零點(diǎn)定理，介值定理，夾逼定理：⑴零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)-f(b)Y0.那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)￡(aV￡Vb)使f(g)=0.⑵介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，f(a)=A,f(b)=B，那么對于A,B之間任意的一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)￡，使得f(￡)=C(aV￡Vb).⑶夾逼定理：設(shè)當(dāng)0yIx-xoIy5時(shí)，有g(shù)(x)Wf(x)Wh(x)，且limg(x)=limh(x)=A，則xTx。xTx。必有l(wèi)imf(x)=A.xTx0注：丨x-x0I:表示以x0為的極限，則Ix-x01就無限趨近于零.(￡為最小整數(shù))幾個(gè)常用極限：limqn=0,q|Y1nT+wanlim-=0(aA0)nT+wn!lim—=0(aA1,k為常數(shù))nT+wanlim業(yè)=0nT+wnlim(ln必=0(￡A0,k為常數(shù))nT+wn*高中數(shù)學(xué)第十四章導(dǎo)數(shù)考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景．(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n^N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實(shí)際問題的最大值和最小值.§14.導(dǎo)數(shù)知識要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的簡稱)的定義：設(shè)x0是函數(shù)y=f(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量x在x0處有增量Ax，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量Ay=f(x0+Ax)-f(xQ)；比值型=f(x0+心)-f(x0)稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x到x+Ax之間的平均變化率；如果極限AxAx00lim型=lim_"“0)存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做AxtOAxAxt0Axy=fy=f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x°)或y'Ix=x0即f'(xo)=limAy=limf(xo+心)—f(xo).Axt0AxAxt0Ax注：①Ax是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)锳x可正，可負(fù)，但不為零.②以知函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)锳，y=f'(x)的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為AnB.2.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)與點(diǎn)xo處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么y=f(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實(shí)上，令x=x+Ax，則xTx相當(dāng)于AxT0.00于是limf(x)=limf(x0+Ax)=lim[f(x+x丿-f(x0)+f(x0)]xTxAxT0AxT0=lim[

A=lim[

AxT0f(x0+Ax)-f(x0)

Ax?Ax+f(x)]=limf(x0+叢)—f(x0)0AxT0Ax?lim+limf(x°)=f'%)?0+f(x°)=f(x。).

AxT0AxT00000⑵如果y=f(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)=|x|在點(diǎn)x0=0處連續(xù)，但在點(diǎn)x0=0處不可導(dǎo)，因?yàn)楹?詈，當(dāng)心>°時(shí)'A=1；當(dāng)A<0時(shí)，A=-1，故limA不存在.AxAxAxT0Ax注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率,也就是說，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f'(x0)，切線方程為y-y0=f'(x)(x-x0).求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(u士v)'=u'士v'ny=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)ny'=f；(x)+f2(x)+...+f”(x)(uv)'=vu'+v'un(cv)'=c'v+cv'=cv'(c為常數(shù))/u)'vu'-v'u—=(v豐0)Iv丿v注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).22例如：設(shè)f(x)=2sinx+，g(x)=cosx-，則f(x),g(x)在x=0處均不可導(dǎo)，但它們和xxf(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0處均可導(dǎo).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：f'(9(x))=f'(u)9'(x)或y'x=y'〃?u'xxxux復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.函數(shù)單調(diào)性：⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f'(x)>0,則y=f(x)為增函數(shù)；如果f'(x)<0，則y=f(x)為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f'(x)=0,則y=f(x)為常數(shù).注：①f(x)A0是f(x)遞增的充分條件，但不是必要條件，如y=2x3在(-8,+8)上并不是都有f(x)A0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f(x)=0，同樣f(x)Y0是f(x)遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正(或負(fù))，那勾(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.極值的判別方法：(極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)Vf(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理)當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，那么f(x0)是極小值.也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f'(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小(函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同).注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f'(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)y=f(x)=x3，x=0使f'(x)=0，但x=0不是極值點(diǎn).②例如：函數(shù)y=f(x)=1xI，在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn).極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.C'=0(C為常數(shù))(sinx)'=cosx(arcsinx)I.C'=0(C為常數(shù))(sinx)'=cosx(arcsinx)=1<1-x(xn)'=nxn-1(ngR)(cosx)'=-sinx(arccosx)II.(lnx)'=—x(logx)'=1logeaxa(arctanx)'=(ax)'=axlna(arccotx)III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(lnlxI)'=丄.x②形女口y=(x-ai)(x-a2)②形女口y=(x-ai)(x-a2)...(x-a)或y=(x-b1)(x-b2)...(x-bn)求代數(shù)和形式.無理函數(shù)或形如y=xx這類函數(shù)，如y=xx取自然對數(shù)之后可變形為lny=xlnx，對兩邊y'1求導(dǎo)可得一=lnx+xy'=ylnx+yny'=xxlnx+xx.yx高中數(shù)學(xué)第十五章復(fù)數(shù)考試內(nèi)容：復(fù)數(shù)的概念．復(fù)數(shù)的加法和減法．復(fù)數(shù)的乘法和除法．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充．考試要求：（1）了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義．（2）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法除法運(yùn)算．（3）了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想．§15.復(fù)數(shù)知識要點(diǎn)1.（1）復(fù)數(shù)的單位為i,它的平方等于一1,即i2=-1.⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：復(fù)數(shù)一形如a+bi的數(shù)（其中a,bgR）；實(shí)數(shù)一當(dāng)b=0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi,即a；虛數(shù)一當(dāng)b豐0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi；純虛數(shù)一當(dāng)a=0且b豐0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi,即bi.復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部與虛部一a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a,b都是實(shí)數(shù)）復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：a+bi=c+dioa=c且b=d（其中，a,b,c,d,gR）特另ll地a+bi=0oa=b=0.⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.注：①若Z],z2為復(fù)數(shù)，則1°若Z1+z2A0，則Z]A-z2.（X）[zz2為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]丄丄丄丄2°若z1Yz2，則z1-z2Y0.（V）②若a,b,cgC,貝9（a一b）2+（b-c）2+（c一a）2=0是a=b=c的必要不充分條件.（當(dāng)（a-b）2=i2，（b-c）2=1,（c-a）2=0時(shí)，上式成立）⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：d=lz1-z2I.

其中z1，z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)z1和z2所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，d表示z］和z2間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以z0為圓心，r為半