【解析】2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 25.5 相似三角形的性質(zhì) 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)卷(冀教版)

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一、選擇題

1．（2023·道外模擬）如圖，，，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，，

∴△ADE△ABC，△CEF△CAB，

∴，，

故答案為：A.

【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算求解即可。

2．（2023·亳州模擬）如圖，，若，，，則的長(zhǎng)是（）

A．B．1C．2D．3

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，故C符合題意．

故答案為：C．

【分析】先求出，再求出，最后求解即可。

3．（2023九下·杭州月考）如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點(diǎn)O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（）

A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴△AOB∽△DOC，

∴.

故答案為：A.

【分析】由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長(zhǎng)線，所截的三角形與原三角形相似可得△AOB∽△DOC，進(jìn)而根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

4．（2023九上·余姚期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若，則△ADE與△ABC的面積之比為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可得，由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案.

5．（2023八下·和平期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，BD分別交CE、AF于G、H，試判斷下列結(jié)論：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形的面積；三角形全等的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，

∴∠CBD=∠ADB.

∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，

∴AE=BE=AB，DF=CF=CD，

∴AE=BE=DF=CF，

∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正確；

∵△CBE≌△ADF，

∴∠BCE=∠DAF.

∵BC=AD，∠CBD=∠ADB，

∴△CBG≌△ADH（ASA），

∴CG=AH，故②正確；

∵AE=CE，AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∴EC∥AF.

∵AE=BE，

∴BG=GH.

∵CF=DF，AF∥CE，

∴GH=DH，

∴BG=GH=DH，

∴BG=GD，故③正確.

∵AB∥DF，

∴∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，

∴△ABH∽△FDH，

∴，

∴S△ADH=2S△DFH.

∵△CBG≌△ADH，

∴S△CBG＝2S△FHD，故④正確.

故答案為：D.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CBD=∠ADB，結(jié)合中點(diǎn)的概念可得AE=BE=DF=CF，利用全等三角形的判定定理可判斷①；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BCE=∠DAF，利用ASA證明△CBG≌△ADH，進(jìn)而可判斷②；易得四邊形AECF為平行四邊形，則EC∥AF，BG=GH，同理可得GH=DH，則BG=GH=DH，據(jù)此判斷③；由平行線的性質(zhì)可得∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ABH∽△FDH，由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可得S△ADH=2S△DFH，由全等三角形的性質(zhì)可得S△CBG=S△ADH，據(jù)此判斷④.

6．（2023八下·相城期末）如圖，E、F是矩形ABCD的邊AB上的兩點(diǎn)，CE，DF相交于點(diǎn)O，已知△OCD面積為8，面積為2，四邊形AEOD的面積為5，則四邊形BCOF的面積為（）

A．10B．9C．8D．7

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，連接CF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴△EOF∽△COD，

∴，

∴，

∴△OFC的面積=2△OEF的面積=2×2=4，

∴△DCF的面積=4+8=12，

矩形ABCD的面積=2×△DCF的面積=24，

∴四邊形BCOF的面積=矩形ABCD的面積-△OEF的面積-△OCD的面積-四邊形AEOD的面積=24-2-5-8=9；

故答案為：B.

【分析】連接CF，利用矩形的性質(zhì)可證△EOF∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而求出△OFC的面積，即得△DCF的面積，從而求出矩形ABCD的面積=2×△DCF的面積，利用四邊形BCOF的面積=矩形ABCD的面積-△OEF的面積-△OCD的面積-四邊形AEOD的面積即可求解.

7．（2023·潛江）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且平分的周長(zhǎng)，則的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

∴△ABC的周長(zhǎng)為3+4+5=12.

∵BD平分△ABC的周長(zhǎng)，

∴AB+AD=BC+CD=6，

∴AD=3，CD=2.

作DE⊥BC于點(diǎn)E，

∴AB∥DE，

∴△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∴DE=，CE=，

∴BE=，

∴BD==.

故答案為：C.

【分析】由勾股定理可得AC=5，則△ABC的周長(zhǎng)為3+4+5=12，根據(jù)BD平分△ABC的周長(zhǎng)可得AB+AD=BC+CD=6，據(jù)此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于點(diǎn)E，則AB∥DE，根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理計(jì)算即可.

8．（2023八下·鹽湖期中）“直角”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無處不在在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師要求同學(xué)們用所學(xué)知識(shí)，利用無刻度的直尺和圓規(guī)判斷“已知∠AOB“是不是直角．甲、乙兩名同學(xué)各自給出不同的作法，來判斷∠AOB是不是直角

甲：如圖1，在OA、OB上分別取點(diǎn)CD，以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若OE＝OD，則∠AOB＝90°；

乙：如圖2，在OA、OB上分別截取OM＝4個(gè)單位長(zhǎng)度，ON＝3個(gè)單位長(zhǎng)度，若MN＝5個(gè)單位長(zhǎng)度，則∠AOB＝90°；

甲、乙兩位同學(xué)作法正確的是（）

A．甲正確，乙不符合題意B．乙正確，甲錯(cuò)誤

C．甲和乙都錯(cuò)誤D．甲和乙都正確

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】甲正確；

理由如下：

∵CD＝CE，

∴△ECD是等腰三角形，

利用等腰三角形三線合一性，若OE＝OD，

則CO⊥ED，

即可說明∠AOB是直角；

乙正確；

理由如下：

OM＝4個(gè)單位長(zhǎng)度，ON＝3個(gè)單位長(zhǎng)度，若MN＝5個(gè)單位長(zhǎng)度，

在△MON中，由勾股定理可以斷定三角形NOM是直角三角形，

即可說明∠AOB是直角；

故答案為：D．

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可判斷甲；根據(jù)勾股定理可判斷乙.

二、填空題

9．（2023·孝感模擬）如圖，，若，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵AD=4，AB=AD+DB=10，BC=12，

∴，

解得DE=.

故答案為：.

【分析】由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得△ADE∽△ABC，進(jìn)而根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程可求出DE的長(zhǎng).

10．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，則△ADE與△ABC的面積的比為.

【答案】1：9

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵AD：DB＝1：2，

∴AD：AB＝1：3，

∴S△ADE：S△ABC＝1：9.

故答案為：1：9.

【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得出△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比即可得出答案。

11．（2022九上·長(zhǎng)順期末）如圖，已知兩點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

【答案】(0，1)

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC

∴△AOC∽△BOA

∴即

∴OC=1

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1）.

故答案為：（0，1）.

【分析】根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△AOC∽△BOA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求出OC的長(zhǎng)，從而即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo).

12．（2023·泰安）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)于直線的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，分別與相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由軸對(duì)稱性質(zhì)知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。

故第1空答案為：4.5.

【分析】先證明△AFD∽△B'FG，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，求得GF的長(zhǎng)，然后根據(jù)CG=AC-AF-GF，即可求得CG。

13．（2023·東營(yíng)）如圖，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點(diǎn)反射后經(jīng)過點(diǎn)，則的值是．

【答案】－1

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖所示：

∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，

∴△BFC∽△BGA，

∴，

∵，，，

∴CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，

∴，

故答案為：-1

【分析】過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G，進(jìn)而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，進(jìn)而代入即可求解。

14．（2023·東營(yíng)）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點(diǎn)B作MB∥CA交GC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖所示：

∴∠BMC=∠MCA，

由題意得GC為∠BCA的角平分線，

∴∠MCB=∠MCA，

∴∠MCB=∠BMC，

∴CB=BM，

∵M(jìn)B∥CA，

∴△GMB∽△GCA，

∴，

∴，

∴的面積為12，

故答案為：12

【分析】過點(diǎn)B作MB∥CA交GC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，進(jìn)而得到∠BMC=∠MCA，先根據(jù)題意結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得到∠MCB=∠MCA，進(jìn)而得到∠MCB=∠BMC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到CB=BM，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△GMB∽△GCA，結(jié)合題意即可得到，進(jìn)而即可求解。

三、解答題

15．（2023·黑龍江）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．

若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

【答案】解：如圖②，，理由如下：

連接AH、CF、AF，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，F(xiàn)、H分別是DE、BC的中點(diǎn)，

∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，

∴∠HAF=∠EAC，，

∴△AHF∽△ACE，

∴，

∴，

∵點(diǎn)F、G分別是DE、DC的中點(diǎn)，

∴CE=2FG，

∴；

如圖③，F(xiàn)H=FG，理由如下：

連接AH、CE、AF，

∵△ABC與△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，

∴∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，

∵點(diǎn)F、H分別是DE、BC的中點(diǎn)，

∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=×120°=60°，

∴∠HAF=∠EAC，，

∴△AHF∽△ACE，

∴，

∴CE=2FH，

∵點(diǎn)F、G分別是DE、DC的中點(diǎn)，

∴CE=2FG，

∴FH=FG.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位線定理

【解析】【分析】如圖②，，理由如下：連接AH、CF、AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，從而可由兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得△AHF∽△ACE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論；

如圖③，F(xiàn)H=FG，理由如下：連接AH、CE、AF，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理得∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=×120°=60°，從而可由兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得△AHF∽△ACE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及含30°角直角三角形的性質(zhì)得CE=2FH，再根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論.

16．（2023·北京市模擬）下面是小蕓同學(xué)證明定理時(shí)使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．求證：．

方法一：證明：延長(zhǎng)至，使，連接，．方法二：證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)．

【答案】證明：方法一：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴；

方法二：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴垂直平分，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的判定

【解析】【分析】方法一：先證明四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而證明四邊形ABCD是矩形，則由矩形的性質(zhì)可得；

方法二：證明△OCD∽△ACB，得到CD=BD，則OD垂直平分BC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得．

四、綜合題

17．（2023·東區(qū)模擬）問題提出：已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

（1）【問題探究】

探究一：如圖，已知正方形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

如圖1，直接寫出的值；

（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）探究二：如圖，已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、點(diǎn)，連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請(qǐng)說明變化情況；若不變，請(qǐng)求出的值．

（4）【一般規(guī)律】

如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）

（2）解：，

理由：由（1）知，，，

，

由旋轉(zhuǎn)知，，

，

，

；

（3）解：四邊形為矩形，

，

，

，

，

，

繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

即

；

（4）解：如圖3，四邊形為矩形，

，

，

，

，

，

，

繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

，

，

，

，

即．

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】(1)∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ABD=45°，BD=AB，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°，

∴∠BFE=∠ABD=45°，BE=EF，

∴BF=BE，

∴DF=BD-BF=AB-BE=(AB-BE)=AE

∴=，故答案為：

【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算。

（2）先判斷出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；

（3）探究二：先畫出圖形得到圖3，利用勾股定理得到，再證明，得到，則，接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，所以，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到，再利用相似的性質(zhì)可得，

（4）一般規(guī)律：

作FM⊥AD，垂足為M，依據(jù)勾股定理可得Rt△ABD中，，再根據(jù)，可得，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，得出，最后得出．

18．（2023八下·相城期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E.

（1）求證：AD·BC＝AB·DE；

（2）若求DE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明：

又∵∠C=∠E，

∴△ADE∽△ABC，

（2）解：

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似證明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即得結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答即可.

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一、選擇題

1．（2023·道外模擬）如圖，，，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）

A．B．C．D．

2．（2023·亳州模擬）如圖，，若，，，則的長(zhǎng)是（）

A．B．1C．2D．3

3．（2023九下·杭州月考）如圖，AB∥CD，AD，BC相交于點(diǎn)O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝（）

A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶1

4．（2023九上·余姚期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若，則△ADE與△ABC的面積之比為（）

A．B．C．D．

5．（2023八下·和平期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，BD分別交CE、AF于G、H，試判斷下列結(jié)論：①△CBE≌△ADF；②CG＝AH；③；④S△CBG＝2S△FHD．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．

A．1B．2C．3D．4

6．（2023八下·相城期末）如圖，E、F是矩形ABCD的邊AB上的兩點(diǎn)，CE，DF相交于點(diǎn)O，已知△OCD面積為8，面積為2，四邊形AEOD的面積為5，則四邊形BCOF的面積為（）

A．10B．9C．8D．7

7．（2023·潛江）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且平分的周長(zhǎng)，則的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．

8．（2023八下·鹽湖期中）“直角”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無處不在在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師要求同學(xué)們用所學(xué)知識(shí)，利用無刻度的直尺和圓規(guī)判斷“已知∠AOB“是不是直角．甲、乙兩名同學(xué)各自給出不同的作法，來判斷∠AOB是不是直角

甲：如圖1，在OA、OB上分別取點(diǎn)CD，以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若OE＝OD，則∠AOB＝90°；

乙：如圖2，在OA、OB上分別截取OM＝4個(gè)單位長(zhǎng)度，ON＝3個(gè)單位長(zhǎng)度，若MN＝5個(gè)單位長(zhǎng)度，則∠AOB＝90°；

甲、乙兩位同學(xué)作法正確的是（）

A．甲正確，乙不符合題意B．乙正確，甲錯(cuò)誤

C．甲和乙都錯(cuò)誤D．甲和乙都正確

二、填空題

9．（2023·孝感模擬）如圖，，若，，，則的長(zhǎng)為．

10．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，則△ADE與△ABC的面積的比為.

11．（2022九上·長(zhǎng)順期末）如圖，已知兩點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

12．（2023·泰安）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)于直線的軸對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，分別與相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為．

13．（2023·東營(yíng)）如圖，一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過y軸上的點(diǎn)反射后經(jīng)過點(diǎn)，則的值是．

14．（2023·東營(yíng)）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．

三、解答題

15．（2023·黑龍江）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．

若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

16．（2023·北京市模擬）下面是小蕓同學(xué)證明定理時(shí)使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．求證：．

方法一：證明：延長(zhǎng)至，使，連接，．方法二：證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)．

四、綜合題

17．（2023·東區(qū)模擬）問題提出：已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

（1）【問題探究】

探究一：如圖，已知正方形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

如圖1，直接寫出的值；

（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）探究二：如圖，已知矩形，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、點(diǎn)，連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請(qǐng)說明變化情況；若不變，請(qǐng)求出的值．

（4）【一般規(guī)律】

如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．

18．（2023八下·相城期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E.

（1）求證：AD·BC＝AB·DE；

（2）若求DE的長(zhǎng).

答案解析部分

1．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，，

∴△ADE△ABC，△CEF△CAB，

∴，，

故答案為：A.

【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算求解即可。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，故C符合題意．

故答案為：C．

【分析】先求出，再求出，最后求解即可。

3．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴△AOB∽△DOC，

∴.

故答案為：A.

【分析】由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊的延長(zhǎng)線，所截的三角形與原三角形相似可得△AOB∽△DOC，進(jìn)而根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

4．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)可得，由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案.

5．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形的面積；三角形全等的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，

∴∠CBD=∠ADB.

∵E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，

∴AE=BE=AB，DF=CF=CD，

∴AE=BE=DF=CF，

∴△CBE≌△ADF（SAS），故①正確；

∵△CBE≌△ADF，

∴∠BCE=∠DAF.

∵BC=AD，∠CBD=∠ADB，

∴△CBG≌△ADH（ASA），

∴CG=AH，故②正確；

∵AE=CE，AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∴EC∥AF.

∵AE=BE，

∴BG=GH.

∵CF=DF，AF∥CE，

∴GH=DH，

∴BG=GH=DH，

∴BG=GD，故③正確.

∵AB∥DF，

∴∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，

∴△ABH∽△FDH，

∴，

∴S△ADH=2S△DFH.

∵△CBG≌△ADH，

∴S△CBG＝2S△FHD，故④正確.

故答案為：D.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADF，AB∥CD，AB=CD，BC=AD，BC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CBD=∠ADB，結(jié)合中點(diǎn)的概念可得AE=BE=DF=CF，利用全等三角形的判定定理可判斷①；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BCE=∠DAF，利用ASA證明△CBG≌△ADH，進(jìn)而可判斷②；易得四邊形AECF為平行四邊形，則EC∥AF，BG=GH，同理可得GH=DH，則BG=GH=DH，據(jù)此判斷③；由平行線的性質(zhì)可得∠ABD=∠BDF，∠BAH=∠AFD，由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ABH∽△FDH，由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可得S△ADH=2S△DFH，由全等三角形的性質(zhì)可得S△CBG=S△ADH，據(jù)此判斷④.

6．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，連接CF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴△EOF∽△COD，

∴，

∴，

∴△OFC的面積=2△OEF的面積=2×2=4，

∴△DCF的面積=4+8=12，

矩形ABCD的面積=2×△DCF的面積=24，

∴四邊形BCOF的面積=矩形ABCD的面積-△OEF的面積-△OCD的面積-四邊形AEOD的面積=24-2-5-8=9；

故答案為：B.

【分析】連接CF，利用矩形的性質(zhì)可證△EOF∽△COD，利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而求出△OFC的面積，即得△DCF的面積，從而求出矩形ABCD的面積=2×△DCF的面積，利用四邊形BCOF的面積=矩形ABCD的面積-△OEF的面積-△OCD的面積-四邊形AEOD的面積即可求解.

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

∴△ABC的周長(zhǎng)為3+4+5=12.

∵BD平分△ABC的周長(zhǎng)，

∴AB+AD=BC+CD=6，

∴AD=3，CD=2.

作DE⊥BC于點(diǎn)E，

∴AB∥DE，

∴△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∴DE=，CE=，

∴BE=，

∴BD==.

故答案為：C.

【分析】由勾股定理可得AC=5，則△ABC的周長(zhǎng)為3+4+5=12，根據(jù)BD平分△ABC的周長(zhǎng)可得AB+AD=BC+CD=6，據(jù)此可得AD、CD的值，作DE⊥BC于點(diǎn)E，則AB∥DE，根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)可得DE、CE，然后求出BE，再利用勾股定理計(jì)算即可.

8．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】甲正確；

理由如下：

∵CD＝CE，

∴△ECD是等腰三角形，

利用等腰三角形三線合一性，若OE＝OD，

則CO⊥ED，

即可說明∠AOB是直角；

乙正確；

理由如下：

OM＝4個(gè)單位長(zhǎng)度，ON＝3個(gè)單位長(zhǎng)度，若MN＝5個(gè)單位長(zhǎng)度，

在△MON中，由勾股定理可以斷定三角形NOM是直角三角形，

即可說明∠AOB是直角；

故答案為：D．

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可判斷甲；根據(jù)勾股定理可判斷乙.

9．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵AD=4，AB=AD+DB=10，BC=12，

∴，

解得DE=.

故答案為：.

【分析】由平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得△ADE∽△ABC，進(jìn)而根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程可求出DE的長(zhǎng).

10．【答案】1：9

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵AD：DB＝1：2，

∴AD：AB＝1：3，

∴S△ADE：S△ABC＝1：9.

故答案為：1：9.

【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得出△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比即可得出答案。

11．【答案】(0，1)

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC

∴△AOC∽△BOA

∴即

∴OC=1

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1）.

故答案為：（0，1）.

【分析】根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△AOC∽△BOA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程求出OC的長(zhǎng)，從而即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo).

12．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由軸對(duì)稱性質(zhì)知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。

故第1空答案為：4.5.

【分析】先證明△AFD∽△B'FG，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，求得GF的長(zhǎng)，然后根據(jù)CG=AC-AF-GF，即可求得CG。

13．【答案】－1

【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的坐標(biāo)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖所示：

∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，

∴△BFC∽△BGA，

∴，

∵，，，

∴CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，

∴，

故答案為：-1

【分析】過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥y軸于點(diǎn)G，進(jìn)而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到CF=-m，F(xiàn)B=1-n，BG=4，AG=2，進(jìn)而代入即可求解。

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點(diǎn)B作MB∥CA交GC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖所示：

∴∠BMC=∠MCA，

由題意得GC為∠BCA的角平分線，

∴∠MCB=∠MCA，

∴∠MCB=∠BMC，

∴CB=BM，

∵M(jìn)B∥CA，

∴△GMB∽△GCA，

∴，

∴，

∴的面積為12，

故答案為：12

【分析】過點(diǎn)B作MB∥CA交GC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，進(jìn)而得到∠BMC=∠MCA，先根據(jù)題意結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得到∠MCB=∠MCA，進(jìn)而得到∠MCB=∠BMC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到CB=BM，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△GMB∽△GCA，結(jié)合題意即可得到，進(jìn)而即可求解。

15．【答案】解：如圖②，，理由如下：

連接AH、CF、AF，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，F(xiàn)、H分別是DE、BC的中點(diǎn)，

∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=BC，AF=EF=DE，∠CAH=∠EAF=45°，

∴∠HAF=∠EAC，，

∴△AHF∽△ACE，

∴，

∴，

∵點(diǎn)F、G分別是DE、DC的中點(diǎn)，

∴CE=2FG，

∴；

如圖③，F(xiàn)H=FG，理由如下：

連接AH、CE、AF，

∵△ABC與△ADE都是等腰三角形，且∠BA