2022-2023學(xué)年河北省石家莊市辛集市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市辛集市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復(fù)數(shù)是某一元二次方程的根，則一定是方程的另一個(gè)根；④若z為純虛數(shù)i，則z的平方根為虛數(shù)．上述命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．0 D．1【答案】D【分析】對(duì)于①②，根據(jù)平方根的定義即可判斷；對(duì)于③，舉反例即可排除；對(duì)于④，利用平方根的定義與復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)求得的平方根，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于①，的平方根有兩個(gè)，分別為和，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，1的平方根是和1，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，則是方程的一個(gè)根，但方程的另一個(gè)根是，并非，實(shí)際上，只有實(shí)系數(shù)方程的虛根才是共軛復(fù)數(shù)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)的平方根為，則，即，故，解得或，所以的平方根為或，顯然z的平方根是虛數(shù)，故④正確；綜上：①②③錯(cuò)誤，④正確，故真命題的個(gè)數(shù)為.故選：D.2．下列命題中成立的是（

）A．各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐B．有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱是長(zhǎng)方體【答案】B【分析】根據(jù)相關(guān)空間幾何體的定義，舉出部分反例空間幾何體即可判斷.【詳解】對(duì)A，只要將底面全等的兩個(gè)棱錐的底面重合在一起,所得多面體的每個(gè)面都是三角形,但這個(gè)多面體不是棱錐，如圖，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若棱柱有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定是直棱柱，故B正確；對(duì)于C，如圖所示，若，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時(shí)底面不是正三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱不一定是長(zhǎng)方體，比如底面為三角形的直三棱柱，故D錯(cuò)誤.故選：B.3．在所有的兩位數(shù)中，任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出所有的基本事件的總數(shù)，再求出這個(gè)數(shù)能被2或3整除的基本事件的個(gè)數(shù)，從而利用古典概型的概率公式即可得解.【詳解】因?yàn)樗械膬晌粩?shù)共有90個(gè)，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共計(jì)45個(gè)；被3整除的有12，15，18，…，99，共計(jì)30個(gè)；被6整除的有12，18，24，…，96，共計(jì)15個(gè)；故能被2或3整除的數(shù)有個(gè)，所以任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率為.故選：B.4．從3，4，5，6四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)作為三角形的三邊長(zhǎng)，則構(gòu)成的三角形是銳角三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型和余弦定理即可求得構(gòu)成的三角形是銳角三角形的概率【詳解】從3，4，5，6四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，共有（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6）四種情況由，可得（3，4，5）構(gòu)成直角三角形；由，可得（3，4，6）構(gòu)成鈍角三角形；由，可得（3，5，6）構(gòu)成鈍角三角形；由，可得（4，5，6）構(gòu)成銳角三角形則構(gòu)成的三角形是銳角三角形的概率是故選：A5．已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出的值即可得答案.【詳解】因?yàn)椋捉M：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，乙組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，由已知得：，，解得，所以故選：A6．某地區(qū)為了解最近11天該地區(qū)的空氣質(zhì)量，調(diào)查了該地區(qū)過(guò)去11天的濃度（單位：），數(shù)據(jù)依次為53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知這組數(shù)據(jù)的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為（

）A．71 B．75.5 C．79 D．72【答案】C【分析】根據(jù)極差求得m的值，計(jì)算，根據(jù)百分位數(shù)的含義即可確定答案.【詳解】由題意得，數(shù)據(jù)的極差為40，因?yàn)閿?shù)據(jù)中最小值為41，故m應(yīng)為最大值，為81，則，將數(shù)據(jù)53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，從小大大排列為：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，故這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為79，故選：C7．在中，為上的中線，為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B，C），且M，N，G三點(diǎn)共線，若，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，設(shè)，，再用含參的方式用表示，得到關(guān)于參數(shù)的方程組求得，最后應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意取值條件.【詳解】由題意，設(shè)，，則，所以，，得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.故選：D8．在銳角△中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，進(jìn)而有，再把化為并確定的范圍，應(yīng)用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即，再把目標(biāo)式，由邊化角得求范圍.二、多選題9．已知a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則C．若，，，則有一解D．若，則是鈍角三角形【答案】AD【分析】求得關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得的值判斷選項(xiàng)B；求得有二解否定選項(xiàng)C；求得的形狀判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由，由正弦定理可得，則.判斷正確；選項(xiàng)B：是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由，，，可得，則，又，則或.則有二解.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，則，則,又，則.則是鈍角三角形.判斷正確.故選：AD10．設(shè)有兩條不同的直線m、n和兩個(gè)不同的平面、，下列命題中錯(cuò)誤的命題是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ABC【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)面面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面的位置關(guān)系判斷C；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，則可能平行、異面或相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，，不一定為相交直線，只有當(dāng)為相交直線時(shí)，才可得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，可能是，推不出一定是，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，D正確，故選：ABC11．若，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的實(shí)部為1【答案】BD【分析】先求出，再去計(jì)算選項(xiàng)是否正確.【詳解】因，所以，A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，故B正確；C選項(xiàng)：的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，實(shí)部為1，故D正確.故選：BD.12．甲?乙兩盒中皆裝有若干個(gè)不同色的小球，從甲盒中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙盒中摸出一個(gè)紅球的概率是，現(xiàn)小明從兩盒各摸出一個(gè)球，每摸出一個(gè)紅球得3分，摸出其他顏色小球得0分，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．小明得6分的概率為B．小明得分低于6分的概率為C．小明得分不少于3分的概率為D．小明恰好得3分的概率為【答案】BD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式判斷A，由對(duì)立事件概率公式判斷BC，根據(jù)互斥事件概率公式計(jì)算D.【詳解】設(shè)“從甲盒中摸出一個(gè)紅球”為事件，“從乙盒中摸出一個(gè)紅球”為事件，則，且獨(dú)立.在A中，小明得6分的概率為，A錯(cuò)誤；在B中，小明得分低于6分的概率為，B正確；在中，小明得分不少于3分的概率為，C錯(cuò)誤；在D中，小明恰好得3分的概率為，D正確.故選：BD三、填空題13．已知，，，若點(diǎn)、、在同一條直線上，且，則.【答案】或【分析】求出向量和的坐標(biāo)，由題意得出，根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示和題中條件列關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可得出的值.【詳解】由題意可得，.因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以與共線，，①又②，解①②組成的方程組，得或，因此，或，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量共線處理三點(diǎn)共線問(wèn)題，涉及求參數(shù)的值，解題時(shí)要將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，利用共線向量的坐標(biāo)表示和已知條件建立方程組求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如，在不超過(guò)11的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是（用分?jǐn)?shù)表示）．【答案】/【分析】先把不超過(guò)11的素?cái)?shù)列舉出來(lái)，再利用列舉法與古典概型的概率求法求解即可.【詳解】因?yàn)椴怀^(guò)11的素?cái)?shù)有五個(gè)數(shù)，從中選取兩個(gè)不同的數(shù)的基本事件有共10件；其中和為偶數(shù)的基本事件有共6件；所以和為偶數(shù)的概率為.故答案為：.15．在一個(gè)擲骰子的試驗(yàn)中，事件表示“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點(diǎn)”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則事件發(fā)生的概率為．【答案】【分析】由題意知試驗(yàn)發(fā)生包含的所有基本事件數(shù)是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件包含的基本事件數(shù)，根據(jù)互斥事件和古典概型的概率公式得到結(jié)果．【詳解】隨機(jī)擲一個(gè)骰子一次共有6種不同的結(jié)果，其中事件“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點(diǎn)”包括2，4兩種結(jié)果，則．事件“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”包括1，2，3，4四種結(jié)果，則，．又因?yàn)槭录褪录腔コ馐录蚀鸢笧椋?16．在中，已知，，，則.【答案】【分析】利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，由余弦定理得，即，解得或（舍），所以.故答案為：.四、解答題17．已知是兩個(gè)單位向量，且與的夾角為.(1)求；(2)求與的夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)模長(zhǎng)公式結(jié)合向量的數(shù)量積公式求解計(jì)算即可；（2）應(yīng)用向量的夾角余弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意可得，所以.（2）設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所?18．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)列不等式求解；（2）也是方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理先求得，再求得．【詳解】（1）由已知得到，因?yàn)樵趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，所以，解得，所以（2）因?yàn)樘摂?shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，所以.19．在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.(1)求sin∠ACB；(2)若D為BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求得第三邊BC，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得所求角的正弦；（2）利用余弦定理求得∠ACB的余弦值，再在△ACD中利用余弦定理求得AD的長(zhǎng)度.【詳解】（1）因?yàn)樵凇鰽BC中,AB=3,AC=1,∠A=60°.所以由余弦定理可得,所以由正弦定理,可得sin∠ACB=.（2）因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以CD=BC=.又因?yàn)?所以在△ACD中,由余弦定理可得.20．如圖，四棱錐中，平面，，．過(guò)點(diǎn)作直線的平行線交于為線段上一點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得證；（2）作出輔助線，找到∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因?yàn)?，所以⊥AD，因?yàn)镻AAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)镃FAB，所以CF⊥平面PAD，因?yàn)镃F平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；（2）連結(jié)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，連接DE，如圖，平面，AD，AC平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，因?yàn)椋?，由勾股定理得：，則∠ADB=30°，同理可得，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，故，，，在△BCP中，由余弦定理得：，則，，在△CDP中，由余弦定理得：，在△CDE中，，因?yàn)椋訢E⊥PC，所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，由余弦定理得：.21．甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求第三局結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；(2)求甲獲勝的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）對(duì)乙來(lái)說(shuō)共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）,根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.（2）以比賽結(jié)束時(shí)的場(chǎng)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)中根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為．

若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．

故（2）設(shè)事件B為“甲獲勝”．若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時(shí)的概率．

若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．

此時(shí)的概率．

若第四局結(jié)束甲得兩分獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情況：（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負(fù)，勝），（勝，負(fù)，平，勝），（平，勝，負(fù)，勝），（負(fù)，勝，平，勝），（平，負(fù)，勝，勝），（負(fù)，平，勝，勝）．

此時(shí)的概率

若第四局結(jié)束甲以積分獲勝，則乙的積分為0分，總共有4種情況：（勝，平，平，平），（平，勝，平，平），（平，平，勝，平），（平，平，平，勝）．

此時(shí)的概率

故22．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約