2022-2023學(xué)年河北省保定市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1．已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】把已知式兩邊同除，從而利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由得.故選：C.2．如圖，在四邊形中，,，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得，利用表示，根據(jù)即可求解.【詳解】在梯形中，，且，則，因?yàn)樵诰€段上，且，則，，所以.故選:D.3．已知的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系，即可求解.【詳解】由條件可知，，由,解得.故選:C.4．已知，，是三個(gè)兩兩不重合的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題：①若，，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，則.其中所有正確命題的編號(hào)是（

）A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④【答案】B【解析】根據(jù)線線、線面、面面平行或垂直的判定與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可【詳解】解：若，，，，則平行或相交，故①錯(cuò)誤；若，，則，而，所以，故②正確；若，，，由線面平行的性質(zhì)定理可得，故③正確；由選項(xiàng)可知④正確，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查空間中，線線、線面、面面的平行與垂直的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題5．如圖是我國(guó)古代米斗，它是稱(chēng)量糧食的量器，是古代官倉(cāng)、糧棧、米行等必備的用具.它是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來(lái)的用具，早在先秦時(shí)期就有，到秦代統(tǒng)一了度量衡，漢代又進(jìn)一步制度化，十升為斗、十斗為石的標(biāo)準(zhǔn)最終確定下來(lái).若將某個(gè)米斗近似看作一個(gè)四棱臺(tái).上、下兩個(gè)底面都是正方形，側(cè)棱均相等，上底面邊長(zhǎng)為25cm，下底面邊長(zhǎng)為15cm，側(cè)棱長(zhǎng)為10cm，則該米斗的容積約為（

）A．2830 B．2850 C．2870 D．2890【答案】D【分析】畫(huà)出圖形，作出輔助線，求出棱臺(tái)的高，利用棱臺(tái)體積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】畫(huà)出此四棱臺(tái)，如下：則cm，cm，cm，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥底面EFGH于點(diǎn)P，點(diǎn)P落在對(duì)角線HF上，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥EF于點(diǎn)Q，連接BQ，因?yàn)槠矫鍱FGH，所以BP⊥EF，因?yàn)?，平面BPQ，所以EF⊥平面BPQ，因?yàn)槠矫鍮PQ，所以EF⊥BQ，其中cm，同理可得cm，由勾股定理得：cm，故cm，正方形EFGH的面積為，正方形ABCD的面積為，則該米斗的容積，故選：D6．已知平面向量，，則與夾角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量夾角公式直接求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，，.故選：B.7．在中，，，，點(diǎn)D在直線BC上，滿(mǎn)足，則（

）．A． B． C． D．3【答案】B【分析】由題意和可得，即C為BD的中點(diǎn)，進(jìn)而，結(jié)合平面數(shù)量積的定義和運(yùn)算律計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，則，得C為BD的中點(diǎn)，所以，得，有，所以.故選：B.8．在三棱錐中，，，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知應(yīng)用正弦定理求邊，再應(yīng)用斜邊中線是斜邊一半求出球的半徑,最后根據(jù)表面積公式計(jì)算即可.【詳解】為直角三角形,取PB中點(diǎn)O，中,,,,,所以O(shè)為球心，,外接球的表面積為.故選:A.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，下列命題正確的是（

）A． B．若，則C． D．若，則為實(shí)數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的乘方，結(jié)合舉反例，可得答案.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，，，當(dāng)或時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開(kāi)口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成．巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜．如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開(kāi)口，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】BCD【分析】對(duì)A，利用向量的減法和相反向量即可判斷；對(duì)B，根據(jù)向量的加法平行四邊形法則即可判斷；對(duì)C，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對(duì)D，利用向量的幾何意義的知識(shí)即可判斷．【詳解】連接，與交于點(diǎn)，如圖所示，對(duì)于A：，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線且同方向，易知，均為含角的直角三角形，故，，即，所以，又因?yàn)椋?，故，故B正確；對(duì)于C：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，則，，所以，故C正確；對(duì)于D：易知，則在上的投影向量為，故D正確，故選：BCD．11．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若為斜三角形，則C．若，則是銳角三角形D．若，則一定是等邊三角形【答案】ABD【分析】由正弦定理和比例性質(zhì)可以判斷A，D選項(xiàng)，根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和公式判斷B選項(xiàng)，由平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀判斷C選項(xiàng)，【詳解】對(duì)于A，由正弦定理和比例性質(zhì)得，故A正確；對(duì)于B，由題意，，則，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，所以C為鈍角，是鈍角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，且A，B，，所以，所以為等邊三角形，故D正確．故選:ABD．12．如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點(diǎn)E、F重合，記為點(diǎn)P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為【答案】BD【分析】證明平面，再根據(jù)即可判斷A；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷C；利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.【詳解】由題意可得，又平面，所以平面，在中，，邊上的高為，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，，所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；由B選項(xiàng)知，，則，所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，又因?yàn)槠矫?，則，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故D正確.故選：BD.三、填空題13．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足條件，那么的最大值為．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.14．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為．【答案】【分析】作出截面截面，為的中點(diǎn)，則可得截面是邊長(zhǎng)為的菱形，求出其面積即可.【詳解】如圖，在正方體中，平面平面，平面與平面的交線必過(guò)且平行于，故平面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，連接，得截面，易知截面是邊長(zhǎng)為的菱形，其對(duì)角線，，截面面積．故答案為：．15．小趙想利用正弦定理的知識(shí)測(cè)量某鐘塔的高度，他在該鐘塔塔底點(diǎn)的正西處的點(diǎn)測(cè)得該鐘塔塔頂點(diǎn)的仰角為，然后沿著東偏南的方向行進(jìn)了后到達(dá)點(diǎn)（，，三點(diǎn)處于同一水平面），且點(diǎn)在點(diǎn)北偏東方向上，則該鐘塔的高度為．（參考數(shù)據(jù)：?。敬鸢浮俊痉治觥肯壤谜叶ɡ砬蟪觯儆射J角三角函數(shù)求出．【詳解】如圖，，，則．由正弦定理，得，所以．故答案為：．四、雙空題16．傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.由于這個(gè)“圓柱容球”是阿基米德生前最引以為豪的發(fā)現(xiàn)，于是他留下遺言：他死后，墓碑上要刻上一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形.如圖，在底面半徑為1的圓柱內(nèi)的球O與圓柱的上、下底面及母線均相切，設(shè)A，B分別為圓柱的上、下底面圓周上一點(diǎn)，且與所成的角為，則與圓柱的底面所成角的正切值為；直線與球O的球面交于兩點(diǎn)M，N，則的值為.【答案】【分析】設(shè)過(guò)A的圓柱的母線在底面的端點(diǎn)為，由圓柱的性質(zhì)和已知條件求得，就是與圓柱的底面所成的角，解三角形可求得答案；連接，取的中點(diǎn)為G，解三角形可得G也是的中點(diǎn)，由此可求得答案.【詳解】解：設(shè)過(guò)A的圓柱的母線在底面的端點(diǎn)為，則，則就是與圓柱的底面所成的角，由，得，則；在直角三角形中，，，所以與圓柱的底面所成角的正切值為；連接，由，得，取的中點(diǎn)為G，則；因?yàn)?，，所以；由及，得G也是的中點(diǎn)，所以.故答案為：；.五、解答題17．已知向量.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求的取值范圍.【答案】(1);(2).【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，由即可求解；（2）根據(jù)及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，得，又，所?（2）,因?yàn)?，所以，則，所以，故.18．在中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且．(1)求C；(2)若，求A．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理邊角互化，結(jié)合兩角和的正弦公式即可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）∵，∴，∴，由于C是三角形內(nèi)角，∴．（2）由正弦定理可得，∴∴，∴，∴，∴．∵，∴，由于B是三角形內(nèi)角，∴，則．19．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的動(dòng)點(diǎn)，，(1)求圓錐SO的側(cè)面積；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積【答案】(1)(2)【分析】（1）算出三角錐母線長(zhǎng)度，再根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可；（2）利用等體積法可知，根據(jù)題意找出三棱錐的高和底面積即可.【詳解】（1）圓錐母線長(zhǎng)為：，圓錐側(cè)面扇形弧長(zhǎng)為：，圓錐SO的側(cè)面積為：.（2）點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可知，由此可得，.20．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)判斷的形狀（銳角、直角、鈍角三角形），并給出證明；(2)求的最小值．【答案】(1)是鈍角三角形，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦余弦公式及兩角和的正弦公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及三角方程即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及誘導(dǎo)公式，利用正弦定理的邊角化及二倍角的余弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及基本不等式即可求解.【詳解】（1）是鈍角三角形.由題意可知，，得，所以,于是有，得或，即或，又，，所以是鈍角三角形.（2）由（1）知，,,有，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即（為銳角），等號(hào)成立，所以的最小值為21．如圖，在三棱柱中，若G，H分別是線段AC，DF的中點(diǎn).(1)求證：；(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面BCF，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)存在，P是線段CD的中點(diǎn)，【分析】（1）根據(jù)三角形中位線分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合線面、面面平行的判定定理分析證明.【詳解】（1）連接，∵為平行四邊形，由題意可得：G是線段BD的中點(diǎn)，則G，H分別是線段BD，DF的中點(diǎn)，故.（2）存在，P是線段CD的中點(diǎn)，理由如下：由（1）可知：，平面，平面，∴平面，連接，∵P、H分別是線段CD、DF的中點(diǎn)，則，平面，平面，∴平面，，面，故平面平面BCF.22．已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并說(shuō)明點(diǎn)此時(shí)所在的位置.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)在線段上靠近點(diǎn)的處，【分析】（1）由題可得平面，故.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)結(jié)合即可求解；（3）由線面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距離即為到平面的距離，過(guò)作垂線平面交于點(diǎn)，要使最大，則需使最小，此時(shí)，從而可求解.