電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)二六(電多極矩)

§2.6電多極矩(Electricmultipolemoment)本節(jié)所要討論的問題是：在真空中，假若激發(fā)電場(chǎng)的電荷全部集中在一個(gè)很小的區(qū)域（如原子、原子核內(nèi)），而要求的空間是距源電荷較遠(yuǎn)，這時(shí)可以采用多極矩近似法來解決問題。1、多極矩的概念對(duì)于帶電體系而言，若電荷分布在有限區(qū)域V內(nèi)，在V中任取一點(diǎn)o作為坐標(biāo)原點(diǎn)，區(qū)域V的線度為l，場(chǎng)點(diǎn)P距o點(diǎn)距離為R。多極矩法是討論R>>l情況下的場(chǎng)分布問題。xyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-Q

以一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子來說明：假設(shè)V中有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，位于（a,o,o）點(diǎn)上，如果對(duì)遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)來說，相當(dāng)于xyzoQ零級(jí)近似如果作為一級(jí)近似，且o=+xyzQaxyzoQxyzoQa/2-Qo+xyz-Q-QQ+Q如果作二級(jí)近似，同理得到xyzoQ+xyzo+Q-Q一級(jí)近似xyzoQa=xyzoQ+xyzoQa/2-Q

二級(jí)近似xyzoxyzo+-QQQa/2Qxyzo-QQQxyzo-Q-Q-Q-Qa/4Q-QQQQ+Q-Q總之，移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)電荷到原點(diǎn)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)偶極子分布的誤差；移動(dòng)一個(gè)偶極子到原點(diǎn)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)電四極子分布的誤差；移動(dòng)一個(gè)電四極子到原點(diǎn)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)電八極子分布的誤差；……。xyzo-QQQ-Q-Qa/4+2、點(diǎn)電荷系的多極展開式

假定V內(nèi)都是點(diǎn)電荷分布，其中第k個(gè)點(diǎn)電荷qk

位于點(diǎn)A處，如圖所示。符合R>>l

的條件，P點(diǎn)的電勢(shì)為其中l(wèi)··zxPyAqjqkqlo··因?yàn)檎归_令，則相對(duì)于原點(diǎn)，有其中表示電荷處在點(diǎn)o對(duì)遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)；上面各個(gè)包含cosθ的因式就是勒讓德多項(xiàng)式Pn(cosθ)。實(shí)際上，通過這個(gè)多極子的展開式，P點(diǎn)的電勢(shì)可寫為表示在點(diǎn)o處的電偶極矩的電勢(shì)；表示在點(diǎn)o處的電四極矩的電勢(shì)。

若區(qū)域V內(nèi)電荷是連續(xù)分布的，且電勢(shì)為zxPyVoρ考慮源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于帶電區(qū)域V的線度，故可將對(duì)在原點(diǎn)附近作泰勒級(jí)數(shù)展開。3、連續(xù)分布電荷體系的多極子展開式

在一元函數(shù)f(x)情況下，在原點(diǎn)x=0鄰域的泰勒級(jí)數(shù)為：如果在x=a鄰域展開，泰勒級(jí)數(shù)是：

對(duì)于三元函數(shù)f(x,y,z)，在原點(diǎn)x=0,y=0,z=0鄰域的泰勒級(jí)數(shù)是：如果在x=a,y=b,z=c點(diǎn)鄰域展開，且展開式為實(shí)際上由單元到多元直接作如下的對(duì)應(yīng)變換單元三元點(diǎn)變化，并把在原點(diǎn)o附近展開，且有有了以上泰勒級(jí)數(shù)展開式，取f(x)=

，因r是的函數(shù)，即。把場(chǎng)點(diǎn)固定不變。而讓源上式是在附近的級(jí)數(shù)展開。

因?yàn)榱钏詮亩玫焦实玫接懻撜归_式的每項(xiàng)物理意義：▲展開式的第一項(xiàng)：

▲展開式的第二項(xiàng)：

▲展開式的第三項(xiàng)：表示體系總偶極矩集中于原點(diǎn)處，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)，它作為體系在觀察點(diǎn)處勢(shì)的一級(jí)近似。表示體系總電荷集中于原點(diǎn)的勢(shì)，它作為小區(qū)域帶電體系在觀察點(diǎn)的勢(shì)的零級(jí)近似。

綜上所述，展開式表明：一個(gè)小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在遠(yuǎn)處激發(fā)的場(chǎng)等于一系列電多極矩在遠(yuǎn)處激發(fā)的場(chǎng)的迭加。討論：

（1）如果帶電體系的總電荷為零，計(jì)算電勢(shì)時(shí)必須考慮電偶極子，只有對(duì)原點(diǎn)不對(duì)稱的電荷分布才有電偶極矩；如果帶電體系的總電荷為零，總電偶極矩也為零，計(jì)算電勢(shì)時(shí)必須考慮電四極矩。只有對(duì)原點(diǎn)不是球?qū)ΨQ的電荷分布才有電四極矩。表示體系總電四極矩集中于原點(diǎn)處，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì)它作為體系在觀察點(diǎn)處勢(shì)的二級(jí)近似。（2）對(duì)電四極矩的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)為張量表示對(duì)不連續(xù)分布的點(diǎn)電荷而言，其總電量和偶極矩、電四極矩的表示式分布為是電四極矩張量的ij

分量，共有9個(gè)分量，即其中

i,j=1,2,3也可以寫成

▲下面主要證明電四極矩的9個(gè)分量，只有5個(gè)分量是獨(dú)立的：a）因?yàn)椋?，。則則則的9個(gè)分量只有5個(gè)分量獨(dú)立。的9個(gè)分量只有6個(gè)分量獨(dú)立。b)

又令

下面來觀察用替代后其電勢(shì)由變化為=0并不改變其電勢(shì)的結(jié)果，但獨(dú)立變量由6個(gè)變?yōu)?個(gè)，以后我們可以用也可以用來作為電四極矩張量ij

的分量形式。分析：體系可看成小區(qū)域（R>>l），體系對(duì)原點(diǎn)而言是不對(duì)稱的，總電荷為零，故沒有零級(jí)近似。故必須要考慮電偶極近似zP(x,y,z)-q(o,o,-z′)oq(o,o,z′)lθRr-r+（3）幾種典型的電多極矩產(chǎn)生的場(chǎng)a）但偶極矩不為零，即則q-qzP(x,y,z)-qolθRr-r+qba分析：體系為小區(qū)域（R>>l），體系內(nèi)總電荷為零，總偶極矩為零，故沒有零級(jí)近似和一級(jí)近似。由于電荷分布不具有球?qū)ΨQ性，可見有電四極矩存在。故有b）即這里

c)

半軸為a,b,c

橢球體內(nèi)均勻帶電，總電量為Q，求它相對(duì)于橢球中心的電偶極矩、電四極矩以及準(zhǔn)確到二級(jí)近似時(shí)在遠(yuǎn)處的電勢(shì)，并討論旋轉(zhuǎn)橢球(a=b)和球體(a=b=c)的情況。

由于積分都是對(duì)橢球進(jìn)行的，為此引入廣義球坐標(biāo)變換：分析：體系總電荷為Q，其密度為故得體積元為▲對(duì)于廣義球坐標(biāo)應(yīng)決定于橢球面方程：即是從原點(diǎn)積分到橢球面上，可見r'=1所以，對(duì)于r'積分區(qū)域：r':0→1.

即是說，這個(gè)變換是把半軸為a,b,c

的橢球變?yōu)閱挝磺?，于是積分區(qū)間為該電荷系統(tǒng)電偶極矩各分量為

故，這說明均勻帶電橢球相對(duì)于原點(diǎn)的偶極矩為零?！鴮?duì)于電四極矩，由于從而有其中故同理：另外：至此，根據(jù)電勢(shì)的表達(dá)式，即有當(dāng)a=b時(shí)，是回轉(zhuǎn)橢球，▲故由上可知，引入的新電四極矩定義它反映了電荷分布與球?qū)ΨQ的偏離程度。若表示球體被擠壓——長(zhǎng)橢球表示球體被拉長(zhǎng)——扁橢球結(jié)論：可以用來推算原子核的結(jié)構(gòu)情況，所以說電四極矩是分析物質(zhì)結(jié)構(gòu)的重要物理量。若又因?yàn)?/p>

x2+y2=R2-z2▲當(dāng)a=b=c時(shí)，是均勻帶電球體，此時(shí)

設(shè)電荷系建立的電勢(shì)為，另一個(gè)電荷系建立的電勢(shì)為，分布于，分布于總電荷分布為4、電荷體系在外電場(chǎng)中的能量總電場(chǎng)能量為第一、二項(xiàng)分別是和單獨(dú)存在時(shí)的能量，常稱為自作用能Wm

；第三項(xiàng)表示兩電荷系間相互作用能Wi

，因此電荷體系在外電場(chǎng)中的能量為因?yàn)楸硎?/p>

x2空間中的電荷在

x1空間產(chǎn)生勢(shì)表示

x1空間中的電荷在

x2空間產(chǎn)生勢(shì)顯然，該式意義為：交換積分次序，故得到該式即為電荷體系在外場(chǎng)中的能量。假設(shè)電荷系分布的區(qū)域V是外場(chǎng)中一個(gè)小區(qū)域，在其中外場(chǎng)的勢(shì)變化不大，取其中一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可對(duì)在原點(diǎn)附近作泰勒級(jí)數(shù)展開：則得若偶極矩平移，則從能量守恒得

表示把體系的電偶極矩集中到原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)電矩在外場(chǎng)中的能量，作為一級(jí)近似的結(jié)果。表示把體系總電量集中到原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)電荷在外場(chǎng)中的能量，作為零級(jí)近似的結(jié)果。若電偶極子相對(duì)外場(chǎng)有一平移或轉(zhuǎn)動(dòng)，而偶極矩的大小和外場(chǎng)保持不變，則由平移或轉(zhuǎn)動(dòng)引起的系統(tǒng)能量的變化也就等于相互作用能的變化，即即

展開式的第三項(xiàng)：表示把體系的電四極矩集中到原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)電四極矩在外場(chǎng)中的能量，作為二級(jí)近似的結(jié)果。綜上所述，一個(gè)小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在外場(chǎng)中的能量等于一系列多極子在外場(chǎng)中的能量之和。一個(gè)電偶極子在外場(chǎng)中的受力為同理，將偶極矩轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)，力矩作的功為故5、電偶極子在外場(chǎng)中所受到的力和力矩

考慮力矩的方向得到作業(yè)：補(bǔ)充題

在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別放置電量為Q的點(diǎn)電荷，相鄰頂點(diǎn)的電荷符號(hào)相反，再在正方形的中心放置等量的+Q

的點(diǎn)電荷。設(shè)正方形的各邊分別平行于x

軸和

y

軸，原點(diǎn)坐標(biāo)在正方形的中心處。求該電荷體系在遠(yuǎn)處區(qū)域的電勢(shì)？(精確到電四極矩產(chǎn)生的勢(shì))注意：該題的電荷為不連續(xù)分布第二章靜電場(chǎng)一、方程二、解靜電場(chǎng)的方法1.電磁學(xué)方法a.

直接積分法b.高斯定理法電動(dòng)力學(xué)方法(分離變量法)a.解Laplace方程特為通解其形式的確定(分界面為球面考慮球坐標(biāo)系)1.具有軸對(duì)稱情況2.具有球?qū)ΨQ情況形式的確定：其形式取決于源的形式特b.邊值關(guān)系

兩介質(zhì)分解面介質(zhì)與導(dǎo)體的分解面(常數(shù))n為導(dǎo)體外法向c.邊界條件為有限值有限的場(chǎng)源均勻外場(chǎng)3、唯一性定理方法

條件給定體分布，而不給出總電量，根據(jù)泊松方程、邊值關(guān)系、及一定的邊界條件，得出的解是唯一的。4、電像法適用