高中新教材數(shù)學(xué)人教A版課件選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)課第3課時圓錐曲線的方程

內(nèi)容索引010203知識梳理構(gòu)建體系專題歸納核心突破高考體驗(yàn)知識梳理構(gòu)建體系【知識網(wǎng)絡(luò)】

圓錐曲線的方程

圓錐曲線的方程

圓錐曲線的方程

【要點(diǎn)梳理】

1.橢圓的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程分別是什么?有哪些幾何性質(zhì)?請完成下表:2.雙曲線的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程分別是什么?有哪些幾何性質(zhì)?請完成下表:3.拋物線的定義、圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程分別是什么?有哪些幾何性質(zhì)?請完成下表:4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:有相交、相切、相離三種.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x(或y)的方程,根據(jù)方程解的情況判斷即可.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)橢圓的焦點(diǎn)只能在坐標(biāo)軸上.(×)(4)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就是雙曲線.(×)(5)對于三個參數(shù)a,b,c,在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,最大的是a,在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,最大的是c.(√)(6)雙曲線的焦點(diǎn)一定位于雙曲線的實(shí)軸上.(√)(7)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線與焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線.(×)(9)雙曲線的離心率越大,其漸近線斜率的絕對值就越大.(√)(10)拋物線y=6x2的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上.(×)(11)直線與圓錐曲線相交時,一定有兩個公共點(diǎn).(×)(12)橢圓、雙曲線與拋物線都既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.(×)(13)拋物線的頂點(diǎn)一定在過焦點(diǎn)且與準(zhǔn)線垂直的直線上.(√)專題歸納核心突破專題一圓錐曲線的定義及應(yīng)用【例1】

(1)已知動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程5=|3x+4y-12|,則動點(diǎn)M的軌跡是(

)A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.以上都不對(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為

.過F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為16,則C的方程為

.

則動點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離與它到直線3x+4y-12=0的距離相等,故點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為焦點(diǎn),直線3x+4y-12=0為準(zhǔn)線的拋物線.因?yàn)锳B過F1且A,B在橢圓上,如圖所示,則△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,a=4.反思感悟“回歸定義”解題的三點(diǎn)應(yīng)用應(yīng)用一:在求軌跡方程時,若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據(jù)圓錐曲線的定義,寫出所求的軌跡方程;應(yīng)用二:涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個定點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題時,常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決;應(yīng)用三:在求有關(guān)拋物線的最值問題時,常利用定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合幾何圖形,利用幾何意義去解決.提醒:應(yīng)用定義解題時注意圓錐曲線定義中的限制條件.【變式訓(xùn)練1】

(1)若一動圓與兩圓:x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切,則動圓圓心的軌跡為(

)A.拋物線 B.雙曲線C.雙曲線的一支 D.橢圓解析:x2+y2=1是圓心為原點(diǎn),半徑為1的圓,x2+y2-6x+5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,是圓心為A(3,0),半徑為2的圓.設(shè)所求動圓圓心為P,動圓半徑為r,結(jié)合圖形(圖略)可知,動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.答案:C(2)已知點(diǎn)P是拋物線y2=8x上的任意一點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).解:拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是x=-2,點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線x=-2的距離,過點(diǎn)P作PD垂直于準(zhǔn)線x=-2,垂足為D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如圖所示,根據(jù)平面幾何知識,當(dāng)M,P,D三點(diǎn)共線時,|PM|+|PF|的值最小,且最小值為|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.專題二求圓錐曲線的方程【例2】

(1)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于,則C的方程是(

)(2)已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線過雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn),且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為

.

反思感悟一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量”的步驟.(1)定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對稱軸的位置.(2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用,如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個坐標(biāo)軸上時,可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0).(3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程(組)得到量的大小.【變式訓(xùn)練2】

(1)焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,到左頂點(diǎn)的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)(2)已知一雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn),它的一條漸近線方程為x-

y

=0,則雙曲線的方程為

.

專題三圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】

(1)如圖,橢圓C1,C2與雙曲線C3,C4的離心率分別是e1,e2與e3,e4,則e1,e2,e3,e4的大小關(guān)系是(

)A.e2<e1<e3<e4B.e2<e1<e4<e3C.e1<e2<e3<e4D.e1<e2<e4<e3反思感悟求解離心率的三種方法(1)定義法:由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=,已知其中的任意兩個參數(shù),可以求其他的參數(shù),這是基本且常用的方法.(2)方程法:建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式,從而求出其離心率,這是求離心率的十分重要的思路及方法.(3)幾何法:求與過焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問題,根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì),建立參數(shù)之間的關(guān)系,通過畫出圖形,觀察線段之間的關(guān)系,使問題更形象、直觀.答案:A

解析:拋物線y2=4cx的焦點(diǎn)為(c,0),準(zhǔn)線方程為x=-c,|PF1|=4a+c,由雙曲線的定義可得,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a+c.由拋物線的定義可得|PF2|=xP+c=2a+c,答案:A專題四直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程;(2)過N(1,2)的直線l與橢圓相交,求l被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程;解:設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)M(x0,y0),則有x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.故所求的軌跡方程為x+4y=0(在已知橢圓的內(nèi)部).(2)不妨設(shè)l交橢圓于點(diǎn)A,B,弦中點(diǎn)為M(x,y).

反思感悟直線與圓錐曲線相交,經(jīng)常出現(xiàn)弦長、中點(diǎn)弦問題

(2)處理中點(diǎn)弦問題,一般有兩種思路,思路一:聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不求;思路二:利用“點(diǎn)差法”.【例5】

設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸.證明:直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.反思感悟圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題(1)定值問題的常見類型及解題策略:①求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.②求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,利用題設(shè)條件化簡、變形求得.③求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式,依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.(2)定點(diǎn)問題的兩種解法:①引進(jìn)參數(shù)法,引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點(diǎn).②特殊到一般法,根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn),證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).【例6】

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線x2=-4y的焦點(diǎn)是它的一個焦點(diǎn),又點(diǎn)A(1,)在該橢圓上.(1)求橢圓E的方程;(2)若斜率為

的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,當(dāng)△ABC的面積最大時,求直線l的方程.分析:(1)利用待定系數(shù)法求解;(2)求出△ABC面積的表達(dá)式,利用基本不等式或函數(shù)思想求最值.反思感悟最值問題的常用解法(1)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立目標(biāo)函數(shù)再求這個函數(shù)的最值.求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、換元法、基本不等式法、單調(diào)性法.(2)幾何法:若題目的條件與結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用幾何圖形的性質(zhì)來解決.(1)若點(diǎn)A是橢圓E的一個頂點(diǎn),求橢圓的方程;(2)若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范圍.若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=2a,則線段AB與橢圓E有公共點(diǎn),等價(jià)于方程6y2-8y+4-a2=0在y∈[0,1]上有解.設(shè)f(y)=6y2-8y+4-a2,高考體驗(yàn)考點(diǎn)一圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2019·全國Ⅰ高考)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為(

)解析:如圖,由已知可設(shè)|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,則|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由橢圓的定義及|AF2|=2|F2B|,過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P.由題意可知△OAF2∽△PBF2.又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|.答案:B考點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)答案:BA.2 B.3 C.4 D.8答案:D

答案:B5.(2019·北京高考)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.則以F為圓心,且與l相切的圓的方程為

.

解析:拋物線y2=4x中,2p=4,p=2,焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,以F為圓心,且與x=-1相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=4解析:∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由題意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),考點(diǎn)三圓錐曲線的離心率問題答案:D答案:D

D解析:如圖,設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A,由對稱性可知PQ⊥x軸.∵|PQ|=|OF|=c,答案:A答案:2考點(diǎn)四直線與圓錐曲線的位置關(guān)系答案:D

13.(2018·全國Ⅱ高考)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解:(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),14.(2019·全國Ⅰ高考)已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為

的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.(1)解:由已知得F(1,0),l的方程為x=1.(2)證明:當(dāng)l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°,當(dāng)l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時