力學-第三章剛體的轉動課件

（課后練習）試就質點受變力作用而且做一般曲線運動的情況推導質點的動能定理。并說明定理的物理意義。推導：方法一：書P181~182方法二：（課后練習）試就質點受變力作用而且做一般推導：方法一：書物理意義：合外力對質點所做的功等于質點動能的增量物理意義：合外力對質點所做的功等于質點作業(yè)講解（P1092.3）作業(yè)講解（P1092.3）力學-第三章剛體的轉動課件例7（0196）一質量為m的小球從內壁為半球形的容器邊緣無摩擦地滑下，容器質量為M，內壁半徑為R，放在光滑的水平面上，如圖所示。開始小球與容器都處于靜止狀態(tài)，有人為了求出小球自容器邊緣B滑至底部A處時，容器對小球的作用力，列出了如下方程例7（0196）一質量為m的小球從內壁為半球形的

式中和分別為小球到達A處時小球和容器對地的速度。試指出上述方程中哪個是錯的，錯在何處？說明原因并改正之?！?/p>

第一式錯。因為小球沿球形內壁滑下時，它相對于容器作圓周運動，由于小球下滑，容器同時在桌面上滑動，小球相對桌面作曲線運動，軌跡不是圓周。此人列的第一式中的R應是小球的軌跡在A點時的曲率半徑，而不是圓的半徑R，此式錯了。式中和分別為小球到達A處時小★

正確解法是：選容器為參照系，小球相對容器作圓周運動，在小球落至A處這一時刻，容器無豎直方向（法向）加速度，豎直方向慣性力等于零。因此★正確解法是：選容器為參照系，小球相對容器作圓周運動，在練習（5268）如圖所示，一個質量為M=4kg

表面光滑的圓弧形凹槽，半徑R=0.2m，靜止放在光滑的水平地面上。槽的A端與圓弧中心O在同一水平面上，B端和

O的連線與豎直線夾角為

，有一質量為m=1kg的小滑塊自A端從靜止開始沿槽面下滑，求：滑塊由B端滑出時，槽相對地面的速度。練習（5268）如圖所示，一個質量為M=4kg力學-第三章剛體的轉動課件練習（5268）解答練習（5268）解答力學-第三章剛體的轉動課件第五章剛體的轉動第五章剛體的轉動一、基本概念

2．剛體的平動(Translation)

剛體上任意兩點間的聯(lián)線在整個運動過程中，保持原方向不變。1．剛體(RigidBody)（理想模型）動畫動畫一、基本概念2．剛體的平動(Translation)3．剛體的轉動(Rotation)4．剛體定軸轉動角坐標:剛體上各質點都繞同一軸作圓周運動角速度:角加速度:動畫3．剛體的轉動(Rotation)4．剛體定軸轉動角坐標:二、剛體定軸轉動★在A點取質量元★

的運動遵循牛頓第二定律★同時叉乘方程兩邊二、剛體定軸轉動★在A點取質量元★的運動★

方程兩邊同時求和轉動慣量★方程兩邊同時求和轉動慣量三、轉動定律★第一轉動定律：類比有:時

繞定軸轉動的剛體所受的合外力矩為零時，將保持原有的運動狀態(tài)不變。由牛頓第一定律：三、轉動定律★第一轉動定律：類比有:時繞定軸轉動的

剛體所受的對于某一固定轉軸的合外力矩等于剛體對此轉軸的轉動慣量與剛體在此合外力矩的作用下所獲得的角加速度的乘積?！锏诙D動定律：牛頓第二定律：類比有:剛體所受的對于某一固定轉軸的合外力矩等于剛體對此轉軸的四、轉動慣量★

質點★

質點系★

剛體轉動慣量與（a）剛體的質量m有關；（b）與m的分布有關；（c）與轉軸的位置有關★常見均勻剛體的轉動慣量

見書P261四、轉動慣量★質點★質點系★剛體轉動慣量與（a）幾種常見剛體的轉動慣量：細棒細棒薄圓環(huán)或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體幾種常見剛體的轉動慣量：細棒細棒薄圓環(huán)圓盤或薄球殼球體*平行軸定理

以m表示剛體的質量，Jc表示它通過其質心c的軸的轉動慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為d，則此剛體對于后一軸的轉動慣量為：*垂直軸定理例：*平行軸定理以m表示剛體的質量，Jc五、轉動定律的應用用求導的方法積分加初始條件剛體定軸轉動的兩類問題：五、轉動定律的應用用求導的方法積分加初始條件剛體定軸轉動例1.

一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質量為

m

，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為Mr

，繩與滑輪間無相對滑動。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，Mr求：.動畫例1.一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪解:研究對象m1

，m2，m建立坐標，受力分析如圖.對各隔離體寫出運動方程：對m1

：對m2：對m：又：解:研究對象m1，m2，m建立坐標聯(lián)立求得：注意：當不計滑輪的質量及摩擦阻力時：這便是中學所熟知的結果問：如何求角加速度？根據(jù)可求得聯(lián)立求得：注意：當不計滑輪的質量這便是中學所熟知的結果問：如例1

一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質量為和的物體，滑輪質量為m，半徑為，其轉動慣量可按計算（視為圓盤），繩與輪之間無相對滑動，試求物體的加速度和繩的張力。例1一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，解：★

注意：題中滑輪不是輕質滑輪，是有質量的剛體。所以，兩邊所受張力不同。.解：★注意：題中滑輪不是輕質滑輪，是有質量的剛體。所以，例2（0158）電風扇在開啟電源后，經過時間達到了額定轉速，此時相應的角速度為。當關閉電源后，經過時間風扇停轉。已知風扇轉子的轉動慣量為J，并假定摩擦阻力矩和電機的電磁力矩均為常量，試根據(jù)已知量推算電機的電磁力矩。

例2（0158）電風扇在開啟電源后，經過在內解：關閉電源后，經過時間★

結果：電磁摩擦在內解：關閉電源后，★結果：電磁摩例3（5031）轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在時角速度為。此后飛輪經歷制動過程。阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為（為大于零的常數(shù)）。當時，飛輪的角加速度。從開始制動到所經歷的時間例3（5031）轉動著的飛輪的轉動慣量為J，解：（1）當時，飛輪的角加速度時解：（1）當時，飛輪的角加設開始制動的時刻為（2）從開始制動到所經歷的時間設開始制動的時刻為（2）從開始制動到例4（0115）有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為，若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度開始旋轉，它將在旋轉幾圈后停止？例4（0115）有一半徑為R的圓形平板平放解：解：作業(yè)：P286~2875.115.125.13預習：P266~276復習：P251~266作業(yè)：P286~2875.115.125補充作業(yè)（寫在作業(yè)本上，交上來）（0164）如圖所示的大圓盤，質量為M，半徑為R，對于過圓心o點且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量為。如果在大圓盤中挖去圖示的一個小圓盤，其質量為m，半徑為，且。已知挖去的小圓盤相對于過o點且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量為，則挖去小圓盤后剩余部分對于過o點且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量為多少？答案：補充作業(yè)（寫在作業(yè)本上，交上來）答案：當剛體在力矩作用下從轉到時，力矩所做的功為：六、剛體轉動的功和能1．力矩做功合外力對剛體所作的元功：（

與

互余）當剛體在力矩作用下從轉到六、剛體轉動的2.剛體轉動動能★考慮剛體上第i

個質元，質量為

★

的動能★整個剛體的動能為速度為2.剛體轉動動能★考慮剛體上第i個質元，質量為★剛體的轉動動能3.定軸轉動的動能定理由質點系：類比：

合外力矩對定軸轉動的剛體所作的功，等于剛體轉動動能的增量。A內力矩？內剛體的轉動動能3.定軸轉動的動能定理由質點系：類比：質心質量中心1.質心的位置矢量分量：質點系：質心質量中心1.質心的位置矢量分量：質點系：對連續(xù)分布的物質，可以將其分為N個小質元：質心是相對于質點系本身的一個特定位置,其相對位置不隨坐標系選擇而變化。對連續(xù)分布的物質，可以將其分為N個小質元：質心是相對于質點系2.質心運動定理質點系合外力質點系總質量質心加速度2.質心運動定理質點系合外力質點系總質量質心加速度例：任意三角形的每個頂點有一質量m，求質心。xyo（x1，y1）x2解：例：任意三角形的每個頂點有一質量m，求質心。xyo（x1，y例：水平桌面上拉動紙，紙張上有一靜止均勻球，球的質量M，紙被拉動時與球的摩擦力為F，求：t

秒后球相對桌面移動多少距離？xyo解：例：水平桌面上拉動紙，紙張上有一靜止均勻xyo解：4.剛體的勢能一個不太大的剛體的重力勢能=它的全部質量集中在質心時所具有的勢能★

剛體重力勢能：剛體質心與重力勢能零點（地面）的高度差4.剛體的勢能一個不太大的剛體的重力勢能=它的全部質量注意：功能原理適應于純質點系統(tǒng)也適應于純剛體系統(tǒng)同時也適應于（質點+剛體）的混合系統(tǒng)。但計算動能時必須注意★

剛體動能5.剛體定軸轉動的功能原理內注意：功能原理適應于純質點系統(tǒng)也適應于純剛★剛體動能6.剛體的機械能守恒定律內若：則：常數(shù)若剛體轉動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。6.剛體的機械能守恒定律內若：則：常數(shù)若剛體轉動過程中只例.一質量為m長為L的均勻細棒OA可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內轉動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時（1）質心C和端點A的線速度（2）質心C的線加速度解法一（1）研究對象：細棒受力分析：（不考慮）力矩零勢面例.一質量為m長為L的均勻細棒OA可繞通過其一動能定理：=0方向：向左零勢面因豎直位置M=0=0（2）動能定理：=0方向：向左零勢面因豎直位置M=0=0解法二用機械能守恒：（剛體只有重力矩作功）解法三用運動方程（轉動定律）求解：研究對象：細棒受力分析：mg（不考慮N）運動方程：零勢面解法二用機械能守恒：（剛體只有重力矩作功）解法三七、定軸轉動的角動量定理1．沖量矩2．剛體定軸轉動的角動量3．剛體系定軸轉動的角動量定理微分形式積分形式七、定軸轉動的角動量定理1．沖量矩2．剛體定軸轉動的角動量34．剛體系角動量守恒定律計算角動量時注意：★

質點角動量★

剛體角動量★有剛體時切忌用動量守恒，只能用角動量守恒4．剛體系角動量守恒定律計算角動量時注意：★質點角動量★★

注意：剛體系定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律適應于純質點系統(tǒng)也適應于純剛體系統(tǒng)同時也適應于（質點+剛體）的混合系統(tǒng)?！镒⒁猓簞傮w系定軸轉動的角動量定理例5（0232）空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉動，轉動慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始時環(huán)的角速度為

0。質量為m的小球靜止在環(huán)內最高處A點，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點和環(huán)的最低處的C點時，環(huán)的角速度及小球相對與環(huán)的速度各為多少？例5（0232）空心圓環(huán)可繞光滑的豎直（設環(huán)的內壁和小球都是光滑的，小球可視為質點，環(huán)截面半徑）小球受力：環(huán)受力：重力、與軸、與小球之間作用力對所有力的力矩分析可知：兩物體所受力關于軸

的力矩均等于零。（設環(huán)的內壁和小球都是光滑的，小球可視為質點，環(huán)截面半徑

所以，在

軸方向角動量守恒由于它們在運動過程中，在

軸向所受合外力矩為零，選小球和環(huán)為系統(tǒng)，對A、B點有:所以，在由于它選（小球+環(huán)+地球）為系統(tǒng)，

則系統(tǒng)機械能守恒。

取過環(huán)心的水平面為勢能零點。選（小球+環(huán)+地球）則系統(tǒng)機械對于A、C點有對于A、C點有例6（0786）一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉動。開始時，圓盤靜止，一質量為m的子彈以水平速度V0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度（2）經過多少時間后，圓盤停止轉動（忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩）例6（0786）一質量均勻分布的圓盤，質（1）解：子彈擊中圓盤后，圓盤所獲得的角速度子彈和圓盤在碰撞前后角動量守恒（1）解：子彈擊中圓盤后，圓盤所獲得的角速度子彈和圓盤在碰撞（2）經過多少時間后，圓盤停止轉動解一：根據(jù)定軸轉動定律（2）經過多少時間后，圓盤停止轉動解一：根據(jù)定軸轉動定律解二：對（圓盤+子彈）應用角動量定理解二：對（圓盤+子彈）應用角動量定理作業(yè)：P287~2885.155.165.195.20作業(yè)：P287~2885.155.165.例7（0141）一勻質細棒長為2L，質量為m。以與棒長方向相垂直的速度

V0在光滑水平面內平動時與前方一固定的光滑支點O發(fā)生完全非彈性碰撞。碰撞點位于棒中心的一方L/2處，如圖所示。求棒在碰撞后的瞬時繞

O點轉動時的角速度

例7（0141）一勻質細棒長為2L，質量解：碰撞前后角動量守恒。

計算碰撞前瞬時，桿對點o的角動量大小

棒上所有點角速度不同但有相等的平動速度。★

在棒上任意處取質量元特點：解：碰撞前后角動量守恒。計算碰撞前瞬時，桿★

質量元相對o點的角動量大小★質量元相對o點的角動量大小

棒上所有點平動速度不同，但有相等的角速度。

計算碰撞后瞬時，桿對點的角動量大小★結論：特點：棒上所有點平動速度不計算碰撞后瞬時，桿對例8（0785）如圖所示，一半徑為R，質量為的水平圓臺，正以角速度

繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉動，轉動慣量。臺上原站有倆人，質量各等于轉臺質量的一半，一人站于臺邊A處，另一人站于距臺中心的B處。今A處的人相對于原