廣西桂林市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題

桂林市2020～2021學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二年級數(shù)學(xué)（理科）（考試時間120分鐘，滿分150分）說明：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．2．請在答題卷上答題（在本試卷上答題無效）第Ⅰ卷選擇題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．函數(shù)，則（）A．0 B．1 C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)，則的實部為（）A． B．2 C． D．3．用反證法證明“是無理數(shù)”時，正確的假設(shè)是（）A．不是無理數(shù) B．是整數(shù) C．不是有理數(shù) D．是無理數(shù)4．5個人排成一排照相，其中的甲乙兩人要相鄰，則有不同的排法種數(shù)為（）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種5．（）A． B． C． D．6．在樣本頻率分布直方圖中，各小長方形的高的比從左到右依次為，則第2組的頻率是（）A．0.4 7．向量，向量，若，則實數(shù)（）A． B．1 C． D．8．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，記事件為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，記事件為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則（）A． B． C． D．9．若隨機變量的分布列如右表所示，則的值為（）123A．0.1 10．正方體中，與平面所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）12．若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．某校有學(xué)生4500人，其中高三學(xué)生1500人，為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個300人的樣本．則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為______．14．已知為虛數(shù)單位，則______．15．______．16．在中，，，，是斜邊上一點，以為棱折成二面角，其大小為60°，則折后線段的最小值為______．三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)給出文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）在的展開式中，求（1）含的項；（2）展開式中的常數(shù)項．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；（2）設(shè)是的極值點，求的極小值．19．（本小題滿分12分）如圖，長方體的底面是正方形，點在棱上，．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項和．（1）計算，，，，并猜想的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．21．（本小題滿分12分）在某校組織的一次籃球定點投籃比賽中，兩人一對一比賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，否則由對方接替投籃．現(xiàn)由甲、乙兩人進行一對一投籃比賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是，．兩人共投籃3次，且第一次由甲開始投籃，假設(shè)每人每次投籃命中與否均互不影響．（1）求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投籃命中一次得1分，否則得0分，用表示甲的總得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若在單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍，并證明：．桂林市2020～2021學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二年級數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標準一、選擇題：每小題5分，本題滿分共60分．題號123456789101112答案BBACAACBBDBA二、填空題：每小題5分，共20分．13．100 14． 15．1 16．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)給出文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）解：（1）由題意知，，1，2，3，4，5，6；令，得，所以含的項為．（2）由（1）知，得，所以常數(shù)項為．18．（本小題滿分12分）解：（1）即，；則，，故所求切線方程為，即．（2），由題知，解得，則，，當(dāng)時，當(dāng)時所以當(dāng)時取極小值．19．（本小題滿分12分）解：（1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面（2）由（1）知．由題設(shè)知，所以，故，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即所以可取設(shè)平面的法向量為，則，即可取于是所以，二面角的余弦值為．20．（本小題滿分12分）解：（1）當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴．由此猜想．（2）證明：①當(dāng)時，，猜想成立．②假設(shè)（且）時，猜想立，即，那么時，，∴．∴當(dāng)時，猜想成立．由①②知猜想成立．21．（本小題滿分12分）解：（1）記“3次投籃的人依次是甲，甲，乙”為事件，依題意，得∴3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率是．（2）由題意可能取值為0，1，2，3，則，，，；所以，分布列為0123所以的期望．22．（本小題滿分12分）解：（1）在單調(diào)遞增，∴在恒成立∴在恒成立，∴．（2）設(shè)，，①當(dāng)時，令得：，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，若，恒成立，無極值；若，，而，，此時有兩個極值點；故不符合題意．②當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)