安徽省六安一中高二下學期第一次段考數(shù)學試卷（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學年安徽省六安一中高二（下）第一次段考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知函數(shù)f（x)=x3﹣x2﹣x，則f(﹣a2）與f(﹣1）的大小關(guān)系為（）A．f（﹣a2）≤f（﹣1)B．f(﹣a2)＜f（﹣1）C．f(﹣a2)≥f(﹣1)D．f（﹣a2）與f(﹣1)的大小關(guān)系不確定2．已知函數(shù)f（x）(x∈R)的圖象上任一點（x0，y0）處的切線方程為y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），那么函數(shù)f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．[﹣1，+∞） B．(﹣∞,2] C．(﹣∞，﹣1)和（1，2） D．[2，+∞）3．正四棱錐P﹣ABCD的底面積為3,體積為，E為側(cè)棱PC的中點，則PA與BE所成的角為（)A． B． C． D．4．已知函數(shù)f（x）=3x+sinx﹣2cosx的圖象在點A(x0，f（x0))處的切線斜率為3,則tanx0的值是（）A． B． C． D．5．設(shè)曲線y=xn+1（n∈N＊）在點（1,1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值為(）A．﹣log20172016 B．﹣1C．log20172016﹣1 D．16．已知函數(shù)f（x）=+lnx﹣1（a＞0）在定義域內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1 B．0＜a≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞17．在函數(shù)y=cosx，的圖象上有一點P（t，cost），若該函數(shù)的圖象與x軸、直線,圍成圖形(如圖陰影部分）的面積為S，則函數(shù)S=g（t）的圖象大致是（)A． B． C． D．8．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小為60°,則AD的長為（）A． B． C．2 D．9．已知函數(shù)f（x），g（x)滿足f(1）=1，f’（1）=1，g（1）=2，g’（1）=1，則函數(shù)F(x）=的圖象在x=1處的切線方程為（)A．3x﹣4y+5=0 B．3x﹣4y﹣1=0． C．4x﹣3y﹣5=0 D．4x﹣3y+5=010．給出定義：若函數(shù)f（x）在D上可導，即f′(x）存在，且導函數(shù)f′（x）在D上也可導，則稱f（x）在D上存在二階導函數(shù)，記f″(x）=（f′（x））′，若f″(x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A．f（x）=sinx+cosx B．f（x）=lnx﹣2x C．f（x)=﹣x3+2x﹣1 D．f（x）=﹣xe﹣x11．已知函數(shù)f（x）=｜sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個公共點，這三個公共點橫坐標的最大值為α，則α等于（）A．﹣cosα B．﹣sinα C．﹣tanα D．tanα12．對于函數(shù)f（x）、g（x)和區(qū)間D，如果存在x0∈D,使得|f（x0）﹣g（x0）|≤1,則稱x0是函數(shù)f（x）與g(x）在區(qū)間D上的“互相接近點”．現(xiàn)給出兩個函數(shù)：①f（x）=x2,g（x）=2x﹣2；②，g（x）=x+2；③f（x）=e﹣x+1，；④f（x)=lnx，g（x）=x．則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“互相接近點"的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①④二、填空題（每題5分，滿分20分,將答案填在答題紙上）13．已知函數(shù)f(x）=x2+2xf'（1）,則f’（1)．14．與直線2x﹣6y+1=0垂直，且與曲線f（x）=x3+3x2﹣1相切的直線方程是．15．函數(shù)f(x）=x3﹣x2+ax﹣5在區(qū)間[﹣1，2］上不單調(diào)，則實數(shù)a的范圍為是．16．設(shè)函數(shù)y=f（x）在（﹣∞，+∞）內(nèi)有意義．對于給定的正數(shù)k，已知函數(shù)，取函數(shù)f（x）=3﹣x﹣e﹣x．若對任意的x∈（﹣∞，+∞),恒有f1(x）=f（x），則k的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R)，已知g(x)=f（x）﹣f′(x)是奇函數(shù)．（Ⅰ)求b,c的值．（Ⅱ)求g（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．18．已知在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AD,BC∥AD，且AB=2，AD=4，BC=1，側(cè)棱AA1=4．（1）若E為AA1上一點,試確定E點的位置,使EB∥平面A1CD；（2）在（1）的條件下，求二面角E﹣BD﹣A的余弦值．19．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C(x）=(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（Ⅰ)求k的值及f(x）的表達式．（Ⅱ）隔熱層修建多厚時,總費用f（x）達到最小，并求最小值．20．已知函數(shù)f（x）=x2﹣(a+2）x+alnx，（a∈R）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點；（2）若a=4，方程f（x）﹣m=0有三個不同的根,求m的取值范圍．21．已知函數(shù)f(x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在［1，2]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍；（2）令g（x）=f（x）﹣x2,是否存在實數(shù)a,當x∈（0,e］(e是自然常數(shù)）時,函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值;若不存在，說明理由．22．設(shè)函數(shù)f(x）=x2+2x﹣2ln（1+x)．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時,是否存在整數(shù)m,使不等式m＜f（x）≤﹣m2+2m+e2恒成立？若存在，求整數(shù)m的值；若不存在,請說明理由．（Ⅲ）關(guān)于x的方程f(x）=x2+x+a在［0,2]上恰有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．

2016-2017學年安徽省六安一中高二(下）第一次段考數(shù)學試卷(理科）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)f（x)=x3﹣x2﹣x，則f（﹣a2）與f（﹣1）的大小關(guān)系為（）A．f（﹣a2）≤f（﹣1)B．f（﹣a2）＜f(﹣1)C．f（﹣a2）≥f（﹣1)D．f（﹣a2）與f（﹣1）的大小關(guān)系不確定【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)值的大?。窘獯稹拷?求導函數(shù)可得令f′(x）＞0可得x＜﹣1或x＞∴函數(shù)在(﹣∞，﹣1）,（，+∞）上單調(diào)增，在（﹣1，）上單調(diào)減即函數(shù)f(x)在(﹣∞，﹣1］上單調(diào)遞增,在[﹣1，0]單調(diào)遞減∴f(﹣1）是f(x）在(﹣∞，0］上的最大值∵﹣a2≤0∴f(﹣a2）≤f（﹣1）．故選A．2．已知函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象上任一點（x0，y0）處的切線方程為y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）(x﹣x0),那么函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．[﹣1，+∞) B．（﹣∞，2] C．(﹣∞，﹣1）和（1，2） D．［2，+∞）【考點】6B:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由切線方程y﹣y0=(x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），可知任一點的導數(shù)為f′（x)=(x﹣2）（x2﹣1)，然后由f′(x)＜0,可求單調(diào)遞減區(qū)間．【解答】解：因為函數(shù)f（x），(x∈R）上任一點（x0y0)的切線方程為y﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0）,即函數(shù)在任一點（x0y0）的切線斜率為k=（x0﹣2）（x02﹣1），即知任一點的導數(shù)為f′（x）=（x﹣2）(x2﹣1）．由f′（x）=(x﹣2）(x2﹣1）＜0，得x＜﹣1或1＜x＜2，即函數(shù)f(x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，﹣1)和（1,2）．故選C．3．正四棱錐P﹣ABCD的底面積為3，體積為，E為側(cè)棱PC的中點,則PA與BE所成的角為（）A． B． C． D．【考點】LM：異面直線及其所成的角．【分析】過頂點作垂線，交底面正方形對角線交點O,連接OE，我們根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的底面積為3,體積為,E為側(cè)棱PC的中點，易求出∠OEB即為PA與BE所成的角，解三角形OEB，即可求出答案．【解答】解：過頂點作垂線，交底面正方形對角線交點O，連接OE，∵正四棱錐P﹣ABCD的底面積為3，體積為，∴PO=，AB=，AC=，PA=，OB=因為OE與PA在同一平面,是三角形PAC的中位線，則∠OEB即為PA與BE所成的角所以O(shè)E=，在Rt△OEB中，tan∠OEB==，所以∠OEB=故選B4．已知函數(shù)f（x）=3x+sinx﹣2cosx的圖象在點A（x0，f（x0）)處的切線斜率為3,則tanx0的值是（)A． B． C． D．【考點】6H:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】由題意，求導f′（x）=3+cosx+2sinx,從而得f′（x0)=3+cosx0+2sinx0=3,從而解得tanx0的值．【解答】解：由題意，f′（x）=3+cosx+2sinx；∵函數(shù)f(x)=3x+sinx﹣2cosx的圖象在點A（x0，f（x0)）處的切線斜率為3，∴f′(x0）=3+cosx0+2sinx0=3；∴cosx0+2sinx0=0,∴tanx0=﹣，故選：B．5．設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*）在點（1，1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016的值為（）A．﹣log20172016 B．﹣1C．log20172016﹣1 D．1【考點】6H:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；4H：對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】求出函數(shù)y=xn+1（n∈N*）的導數(shù)，可得切線的斜率，由點斜式方程可得在（1，1)處的切線方程，取y=0求得xn，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)得答案．【解答】解：由y=xn+1，得y′=（n+1)xn，∴y′|x=1=n+1，∴曲線y=xn+1（n∈N＊）在(1，1）處的切線方程為y﹣1=（n+1）（x﹣1），取y=0,得xn=1﹣=，∴x1x2…x2016=××…×=，則log2017x1+log2017x2+…+log2017x2016=log2017（x1x2…x2016)=log2017=﹣1．故選：B．6．已知函數(shù)f(x）=+lnx﹣1（a＞0）在定義域內(nèi)有零點,則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤1 B．0＜a≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1【考點】51：函數(shù)的零點．【分析】將函數(shù)的零點化為方程的解,進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域，問題得解．【解答】解:函數(shù)f（x）=+lnx﹣1（a＞0）的定義域為（0,+∞），∵函數(shù)f（x)=+lnx﹣1（a＞0）在定義域內(nèi)有零點，∴方程+lnx﹣1=0有解，即a=x﹣xlnx的值域，a′=1﹣lnx﹣1=﹣lnx,則a≤1﹣1ln1=1,故0＜a≤1，故選B．7．在函數(shù)y=cosx，的圖象上有一點P（t,cost),若該函數(shù)的圖象與x軸、直線，圍成圖形(如圖陰影部分）的面積為S，則函數(shù)S=g(t）的圖象大致是（）A． B． C． D．【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】利用定積分求出S關(guān)于t的函數(shù)即可得出答案．【解答】解：S=g（t）=cosxdx=sinx=sint+1,t∈[﹣,］，故選B．8．如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，2AC=AA1=BC=2．若二面角B1﹣DC﹣C1的大小為60°，則AD的長為（)A． B． C．2 D．【考點】MK：點、線、面間的距離計算．【分析】在面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥CD,交CD或延長線或于E,連EB1，說明∠B1EC1為二面角B1﹣DC﹣C1的平面角為60°，通過面積求AD的長．【解答】解：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，∴B1C1⊥A1C1，又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．如圖，在面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥CD,交CD或延長線或于E,連EB1，由三垂線定理可知∠B1EC1為二面角B1﹣DC﹣C1的平面角，∴∠B1EC1=60°．由B1C1=2知，C1E=設(shè)AD=x，則DC=．∵△DCC1的面積為1，∴．．=1，解得x=即AD=故選A9．已知函數(shù)f（x），g（x)滿足f（1）=1,f’（1）=1，g（1)=2，g’（1）=1，則函數(shù)F（x）=的圖象在x=1處的切線方程為（)A．3x﹣4y+5=0 B．3x﹣4y﹣1=0． C．4x﹣3y﹣5=0 D．4x﹣3y+5=0【考點】6H:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】由求導公式可得F′（x)=，故根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得k=F′（1）=;又由題意求出切點，代入直線的點斜式方程即可求解．【解答】解:∵F（x）=，∴F′（x）=，∴k=F′（1)=；∵F（1）=，∴切點為(1,），∴切線方程為y﹣=（x﹣1），整理得3x﹣4y﹣1=0．故選B．10．給出定義：若函數(shù)f(x）在D上可導,即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x）在D上也可導，則稱f(x）在D上存在二階導函數(shù),記f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，則稱f（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是()A．f(x）=sinx+cosx B．f（x）=lnx﹣2x C．f(x)=﹣x3+2x﹣1 D．f(x）=﹣xe﹣x【考點】6B:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】對ABCD分別求二次導數(shù)，逐一排除可得答案．【解答】解：對于f（x）=sinx+cosx,f′(x）=cosx﹣sinx，f″（x）=﹣sinx﹣cosx，當x∈時，f″（x)＜0，故為凸函數(shù)，排除A；對于f（x）=lnx﹣2x，f′（x)=，f″（x）=﹣，當x∈時，f″(x）＜0，故為凸函數(shù)，排除B；對于f（x)=﹣x3+2x﹣1,f′（x）=﹣3x2+2,f″（x）=﹣6x,當x∈時，f″（x）＜0,故為凸函數(shù)，排除C;故選D．11．已知函數(shù)f(x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個公共點，這三個公共點橫坐標的最大值為α,則α等于()A．﹣cosα B．﹣sinα C．﹣tanα D．tanα【考點】H2：正弦函數(shù)的圖象；54:根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】f（x）的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個公共點時，如圖所示,且在（π，π）內(nèi)相切，其切點為A（α,﹣sinα)，利用導數(shù)的幾何意義得出:﹣cosα=?α=tanα，從而得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f(x)=sinx的圖象關(guān)于原點對稱，直線y=kx過原點,所以f(x）=sinx的圖象與直線y=kx（k＞0)在[0，+∞）上有三個公共點如圖所示，且在（π，)內(nèi)相切，其切點為A(α，﹣sinα），α∈（π，）．…由于f′（x）=﹣cosx，x∈（π,），所以,﹣cosα=，即α=tanα．…故選D，12．對于函數(shù)f（x)、g（x）和區(qū)間D，如果存在x0∈D,使得|f（x0）﹣g（x0）｜≤1，則稱x0是函數(shù)f（x）與g(x)在區(qū)間D上的“互相接近點”．現(xiàn)給出兩個函數(shù)：①f（x）=x2，g（x)=2x﹣2;②，g(x)=x+2；③f（x）=e﹣x+1,；④f（x)=lnx，g（x）=x．則在區(qū)間（0,+∞）上存在唯一“互相接近點”的是（）A．①② B．③④ C．②③ D．①④【考點】3O:函數(shù)的圖象．【分析】分別求出｜f(x）﹣g（x）|的最小值即可判斷出“互相接近點”的個數(shù)．【解答】解：對于①，f(x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=(x﹣1）2+1≥1，令｜（x﹣1）2+1｜≤1得x=1．∴f（x）與g(x）在（0，+∞)上有唯一“互相接近點”．對于②，g（x）﹣f（x）=x﹣+2=(﹣）2+≥，∴f(x)與g（x）在(0，+∞）上沒有“互相接近點”．對于③,f（x）﹣g（x）=e﹣x+1+＞1+＞1，∴f(x）與g（x）在（0，+∞）上沒有“互相接近點”．對于④，令y=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx,則y′=1﹣，∴當0＜x＜1時，y′＜0，當x＞1時，y′＞0，∴y=x﹣lnx在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞)上單調(diào)遞增，∴當x=1時，y取得極小值即最小值1，∴f(x)與g（x）在（0，+∞）上有唯一“互相接近點”．故選D．二、填空題（每題5分，滿分20分,將答案填在答題紙上)13．已知函數(shù)f（x）=x2+2xf’（1），則f’（1）﹣2．【考點】63：導數(shù)的運算．【分析】求導,當x=1時，可得f′（1）=2+2f’（1），即可求得f’（1）的值．【解答】解：f(x）=x2+2xf’（1），則f′（x）=2x+2f'(1)，∴f′（1)=2+2f’(1），解得:f’(1）=﹣2，f’（1)=﹣2,故答案為：﹣2．14．與直線2x﹣6y+1=0垂直,且與曲線f（x）=x3+3x2﹣1相切的直線方程是3x+y+2=0．【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】設(shè)所求的直線方程為y=﹣3x+m，切點為（n,n3+3n2﹣1），根據(jù)函數(shù)在切點處的導數(shù)即為切線的斜率,求出n值，可得切點的坐標，用點斜式求得切線的方程．【解答】解:設(shè)所求的直線方程為y=﹣3x+m，切點為（n，n3+3n2﹣1）則由題意可得3n2+6n=﹣3，∴n=﹣1，故切點為（﹣1，1），代入切線方程y=﹣3x+m可得m=﹣2，故設(shè)所求的直線方程為3x+y+2=0．故答案為：3x+y+2=0．15．函數(shù)f（x)=x3﹣x2+ax﹣5在區(qū)間[﹣1,2]上不單調(diào),則實數(shù)a的范圍為是（﹣3，1)．【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求導函數(shù)，先考慮其反面，再求結(jié)論的補集即可得到結(jié)論．【解答】解：求導函數(shù)可得：f′（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，如果函數(shù)f（x）=x3﹣x2+ax﹣5在區(qū)間［﹣1,2]上單調(diào)，那么a﹣1≥0或f′(﹣1）=3+a≤0且f′（2)=a≤0∴a≥1或a≤﹣3于是滿足條件的實數(shù)a的范圍為（﹣3，1）故答案為：（﹣3，1)16．設(shè)函數(shù)y=f（x)在（﹣∞,+∞）內(nèi)有意義．對于給定的正數(shù)k,已知函數(shù),取函數(shù)f(x）=3﹣x﹣e﹣x．若對任意的x∈（﹣∞，+∞），恒有f1（x）=f（x）,則k的最小值為2．【考點】6E:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】根據(jù)新定義的函數(shù)建立fk(x）與f（x）之間的關(guān)系，通過二者相等得出實數(shù)k滿足的條件，利用導數(shù)或者函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值,進而求出k的范圍,進一步得出所要的結(jié)果．【解答】解:由題意可得出k≥f(x）最大值，由于f′（x)=﹣1+e﹣x,令f′(x)=0,e﹣x=1=e0解出﹣x=0，即x=0，當x＞0時，f′(x）＜0,f(x)單調(diào)遞減,當x＜0時，f′（x)＞0,f（x）單調(diào)遞增．故當x=0時，f（x）取到最大值f(0）=3﹣1=2．故當k≥1時，恒有fk（x）=f（x）．因此K的最小值是2．故答案為：2．三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx(x∈R）,已知g（x)=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)．（Ⅰ)求b，c的值．(Ⅱ）求g(x）的單調(diào)區(qū)間與極值．【考點】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】(1)根據(jù)g(x)=f(x）﹣f'（x）是奇函數(shù)，且f'（x）=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值．(2）對g(x）進行求導，g'（x)＞0時的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，g’（x）＜0時的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間．g'（x）=0時的x函數(shù)g（x)取到極值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x)=3x2+2bx+c．從而g（x）=f（x)﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3)x2+（c﹣2b）x﹣c是一個奇函數(shù),所以g（0）=0得c=0，由奇函數(shù)定義得b=3;（Ⅱ）由（Ⅰ)知g（x)=x3﹣6x，從而g'(x)=3x2﹣6，當g’（x）＞0時，x＜﹣或x＞，當g'（x）＜0時，﹣＜x＜，由此可知,的單調(diào)遞增區(qū)間;的單調(diào)遞減區(qū)間；g(x）在x=時取得極大值，極大值為，g(x）在x=時取得極小值,極小值為．18．已知在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，且AB=2，AD=4,BC=1，側(cè)棱AA1=4．（1）若E為AA1上一點,試確定E點的位置，使EB∥平面A1CD；（2）在（1)的條件下，求二面角E﹣BD﹣A的余弦值．【考點】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1)以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能求出當E點的坐標為（0，0，3），時，EB∥平面A1CD．（2）連接ED,BD,AA1求出平面ABD的一個法向量和平面BED的一個法向量，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣A的余弦值．【解答】解：（1）當時,EB∥平面A1CD．如圖，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，連接EB，則A（0，0，0），B（2，0,0）,D（0，4，0），C（2，1,0）,A1（0，0，4）．設(shè)E（0，0,z）,則，,．∵平面A1CD，∴不妨設(shè)，∴（﹣2，0，z）=x(﹣2,﹣1，4)+y（﹣2，3，0）．∴，解得z=3．所以當E點的坐標為（0，0，3),時,EB∥平面A1CD．（2）連接ED，BD,AA1⊥平面ABD，∴向量為平面ABD的一個法向量．設(shè)平面BED的一個法向量為，而,，∴，解得．∴==．所以二面角E﹣BD﹣A的余弦值為．19．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x（單位:cm）滿足關(guān)系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x)的表達式．（Ⅱ)隔熱層修建多厚時，總費用f（x)達到最小，并求最小值．【考點】5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】(I）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位:萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系:C（x）=，若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40,進而得到．建造費用為C1（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x）,我們不難得到f（x)的表達式．（II)由（1）中所求的f（x）的表達式,我們利用導數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f(x)的最小值．【解答】解：（Ⅰ)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造費用為C1(x）=6x，最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為(Ⅱ），令f’(x）=0，即．解得x=5，（舍去)．當0＜x＜5時,f′（x）＜0，當5＜x＜10時,f′(x)＞0，故x=5是f（x)的最小值點,對應(yīng)的最小值為．當隔熱層修建5cm厚時,總費用達到最小值為70萬元．20．已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，（a∈R）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點;（2）若a=4，方程f（x)﹣m=0有三個不同的根，求m的取值范圍．【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；51:函數(shù)的零點；6C：函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】(1)對已知函數(shù)進行求導,令導數(shù)等于0，求出極值點，討論極值點的大小，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點；（2)把a=4代入f（x），根據(jù)方程f(x）﹣m=0有三個不同的根，即f（x)=m，有三個解,說明m處在f（x)的最大值和最小值之間，從而進行求解；【解答】解：(1）f′(x）=2x+﹣(a+2）=，令f′（x)=0得x=1或,當≤0即a≤0時,x∈（0,1），遞增區(qū)間為（1，+∞）；極小值點為1,無極大值點，當0＜＜1即0＜a＜2時，x∈（0，）時,f′(x)＞0；x∈（，1）時,f′（x）＜0;x∈（1,+∞)時，f′（x）＞0;∴f(x)的減區(qū)間為：（，1），遞增區(qū)間為(0，)和(1,+∞）；極小值點為1，極大值點為；當＞1即a＞2時，x∈(0，1)時，f′（x)＞0;x∈（1,)時，f′（x）＜0；x∈（，+∞)時，f′（x）＞0，∴f（x）的遞減區(qū)間為（1，），遞增區(qū)間（0，1）和（,+∞)；極小值點，極大值點為1;當=1時，即a=2時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增，無減區(qū)間,無極值點．（2)當a=4時，f（x）﹣m=0即f（x）=m，由（1）可知，x∈（0，1)時,f（x)遞增，x∈(1，2）時，f（x)遞減，x∈（2，+∞）時，f(x)遞增；極大值f（1)=﹣5，極小值f(2）=4ln2﹣8，要使f(x）﹣m=0有三個不同的根，則4ln2﹣8＜m＜﹣5；21．已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在［1，2］上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）令g（x）=f（x)﹣x2，是否存在實數(shù)a，當x∈（0,e］(e是自然常數(shù))時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【考點】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】（1）由函數(shù)f（x）在[1,2］上是減函數(shù)得在［1，2]上恒成立，即有h（x）=2x2+ax﹣1≤0成立求解．(2）先假設(shè)存在實數(shù)a，求導得=，a在系數(shù)位置對它進行討論，結(jié)合x∈（0，e］分當a≤0時，當時,當時三種情況進行．【解答】解：(1)在[1，2］上恒成立，令h（x)=2x2+ax﹣1，有得，得（2）假設(shè)存在實數(shù)a,使g（x）=ax﹣lnx（x∈(0，e]）有