簡單曲線的極坐標方程市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎市公開課獲獎課件

三

簡單曲線極坐標方程第1頁【自主預習】1.極坐標方程與平面曲線在極坐標系中,方程f(ρ,θ)=0叫做平面曲線C極坐標方程,滿足條件:(1)平面曲線C上任意一點極坐標中___________滿足方程f(ρ,θ)=0.最少有一個第2頁(2)坐標適合方程___________點都在曲線C上.f(ρ,θ)=0第3頁2.圓極坐標方程圓心位置極坐標方程圖形圓心在極點(0，0)ρ=__(0≤θ<2π)圓心在點(r，0)ρ=_________圓心在點(r，)ρ=________(0≤θ<π)r2rcosθ2rsinθ第4頁圓心位置極坐標方程圖形圓心在點(r，π)ρ=__________圓心在點ρ=_________(-π<θ≤0)-2rcosθ-2rsinθ第5頁3.直線極坐標方程(ρ∈R)直線位置極坐標方程圖形過極點,傾斜角為α(1)θ=___(ρ∈R)或θ=______(ρ∈R)(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)απ+α第6頁直線位置極坐標方程圖形過點(a,0),且與極軸垂直________=a

過點且與極軸平行________=a(0<θ<π)ρcosθρsinθ第7頁【即時小測】1.極坐標系中,圓心在極點,半徑為2圓極坐標方程為()A.ρ=2 B.ρ=4C.ρcosθ=1 D.ρsinθ=1第8頁【解析】選A.由圓心在極點,半徑為r圓極坐標方程為ρ=r,得圓心在極點,半徑為r圓極坐標方程為ρ=2.第9頁2.極軸所在直線極坐標方程為________.【解析】如圖,設M(ρ,θ)是極軸所在直線上任意一點,則θ=0(ρ∈R).答案:θ=0(ρ∈R)第10頁【知識探究】探究點曲線極坐標方程1.在極坐標系中,點M(ρ,θ)軌跡方程中一定同時含有ρ,θ嗎?提醒:不一定,如圓心在極點,半徑為1極坐標方程為ρ=1,方程中只含有ρ.第11頁2.怎樣求圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r圓極坐標方程?第12頁提醒:設圓C上任意一點極坐標為M(ρ,θ),如圖,在△OCM中,由余弦定理,得|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM=|CM|2,即ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)=r2.當O,C,M三點共線時,點M極坐標也適合上式,所以圓心為C(ρ0,θ0),半徑為r圓極坐標方程為ρ2+-2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.第13頁【歸納總結(jié)】1.曲線極坐標方程與直角坐標方程在極坐標系中,因為點極坐標表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,θ+2π),(-ρ,θ+π),(-ρ,θ-π)都表示同一點,這與點直角坐標含有唯一性顯著不一樣.所以對于曲線上同一點極坐標各種表示形式,只要求第14頁點極坐標中最少有一個能滿足曲線極坐標方程即可.第15頁2.曲線極坐標方程與直角坐標方程相互轉(zhuǎn)化及應用(1)與點極坐標與直角坐標相互轉(zhuǎn)化一樣,以平面直角坐標系原點O為極點,x軸正半軸為極軸,且在兩坐標系中取相同長度單位.平面內(nèi)曲線(含直線)極坐標方程與直角坐標方程也能夠進行相互轉(zhuǎn)化.第16頁(2)較簡單曲線極坐標方程可直接求,較復雜曲線極坐標方程能夠先求直角坐標方程,然后再轉(zhuǎn)化.尤其提醒:極坐標方程對應曲線形狀往往不易看出,通常是先轉(zhuǎn)化為直角坐標方程,然后再分析形狀.第17頁類型一圓極坐標方程【典例】在極坐標系中,已知圓C圓心為C,半徑為1,求圓C極坐標方程.第18頁【解題探究】求圓極坐標方程時需要注意什么問題?提醒:求圓極坐標方程時需要檢驗特殊點是否適合方程.第19頁【解析】在圓C上任取一點P(ρ,θ),在△POC中,由余弦定理可得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos∠POC,即化簡可得第20頁當O,P,C共線時,此方程也成立,故圓C極坐標方程為第21頁【延伸探究】1.試求圓直角坐標方程.第22頁【解析】圓心極坐標為故直角坐標為又已知圓半徑為1,故圓直角坐標方程為第23頁2.在極坐標系中,試求該圓上點與點距離最大值.第24頁【解析】圓心與點距離

故圓上點與點P距離最大值為第25頁【方法技巧】求圓極坐標方程步驟(1)設圓上任意一點極坐標為M(ρ,θ).(2)在極點、圓心與M組成三角形中利用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ,θ)=0并化簡.(3)驗證極點、圓心與M三點共線時,點M(ρ,θ)極坐標也適合上述極坐標方程.第26頁【賠償訓練】1.在極坐標系中,圓C過極點,且圓心極坐標是(a>0),則圓C極坐標方程是()A.ρ=-2asinθ B.ρ=2asinθC.ρ=-2acosθ D.ρ=2acosθ第27頁【解析】選B.因為圓心極坐標是,化為直角坐標為(0,a),半徑為a,故圓直角坐標方程為x2+(y-a)2=a2,再化為極坐標方程為ρ=2asinθ.第28頁2.(·西安高二檢測)將極坐標方程ρ=2cosθ化成直角坐標方程為________.【解析】由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0第29頁類型二直線極坐標方程【典例】在極坐標系中,求過點(2,π)且與極軸傾斜角為直線極坐標方程.第30頁【解題探究】求直線極坐標方程普通方法是什么?提醒:設出直線上任意一點極坐標(ρ,θ),列出ρ,θ關系式即可.第31頁【解析】令A(2,π),設直線上任意一點P(ρ,θ),在△OAP中,∠APO=θ-,由正弦定理得又因為點A(2,π)適合上式,故所求直線極坐標方程為第32頁【方法技巧】關于直線極坐標方程(1)求直線極坐標方程普通方法.設出直線上任意一點(ρ,θ),利用三角形中定理,如正弦定理、余弦定理等列出ρ,θ關系式,即為直線極坐標方程.第33頁(2)求直線極坐標方程注意事項.①當ρ≥0時,直線上點極角不是常量,所以直線極坐標方程需要轉(zhuǎn)化為兩條射線極坐標方程,所以直線極坐標方程不如直線直角坐標方程唯一且簡便.②當要求了“負極徑”意義,即ρ∈R時,直線極坐標方程就是唯一了.第34頁【變式訓練】1.(·銅陵高二檢測)已知點P極坐標為(1,π),求過點P且垂直于極軸直線極坐標方程.第35頁【解析】點P(1,π)直角坐標為(-1,0),所求直線直角坐標方程為x=-1,化為極坐標方程為ρcosθ=-1.第36頁2.在極坐標系中,求過點且與極軸平行直線方程.【解析】點在直角坐標系下坐標為即(0,2),所以過點(0,2)且與x軸平行直線方程為y=2.即為ρsinθ=2.第37頁類型三直線與圓極坐標方程綜合題【典例】(·衡陽高二檢測)在極坐標系中,曲線C:ρ=2acosθ(a>0),l:,C與l有且僅有一個公共點.(1)求a值.第38頁(2)O為極點,A,B為曲線C上兩點,且∠AOB=,求|OA|+|OB|最大值.第39頁【解題探究】(1)怎樣判斷曲線形狀?提醒:將曲線極坐標方程化為直角坐標方程判斷曲線形狀.第40頁(2)怎樣求|OA|+|OB|最大值?提醒:利用點極坐標以及三角函數(shù)性質(zhì)求最大值.第41頁【解析】(1)由曲線C:ρ=2acosθ(a>0)得ρ2=2aρcosθ,化為直角坐標方程為(x-a)2+y2=a2,直線l:得因為直線與圓有且只有一個公共點,所以d==a,解得a=1,a=-3(舍去).第42頁(2)不妨設A極角為θ,B極角為θ+,當θ=-時,|OA|+|OB|取得最大值2.第43頁【方法技巧】將極坐標方程化為直角坐標方程關鍵因為直線和曲線是滿足某種條件點集合,所以將極坐標方程化為直角坐標方程公式依然用點極坐標化為直角坐標公式y(tǒng)=ρsinθ,x=ρcosθ.第44頁【變式訓練】1.(·衡水高二檢測)在極坐標系中,點到圓ρ=-2cosθ圓心距離為()第45頁【解析】選D.點

直角坐標為(1,-),圓ρ=-2cosθ即ρ2=-2ρcosθ直角坐標方程為(x+1)2+y2=1,所以點(1,-)到圓心(-1,0)距離為.第46頁2.(·北京高考)在極坐標系中,直線ρcosθ-ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A,B兩點,則|AB|=________.第47頁【解析】直線ρcosθ-ρsinθ-1=0可化為x-y-1=0.圓ρ=2cosθ可化為ρ2(cos2θ+sin2θ)=2ρcosθ,x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,所以圓心(1,0),半徑長為1.圓心在直線AB上,所以|AB|=2.答案:2第48頁自我糾錯極坐標方程化為直角坐標方程【典例】(·漳州高二檢測)化極坐標方程ρ2cosθ-ρ=0為直角坐標方程為(