探析中考題中的分類討論

精品文檔-下載后可編輯探析中考題中的分類討論分類討論，也稱分情況討論，當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，我們就需要對這一問題進(jìn)行必要的分類。將一個(gè)數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合。分類討論是根據(jù)問題的不同情況分類求解，它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法。

一、分類討論應(yīng)遵循的原則

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略.在研究問題時(shí)，要認(rèn)真審題，思考全面，根據(jù)其數(shù)量差異或位置差異進(jìn)行分類。分類討論應(yīng)遵循的原則是1.分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；2.分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行；3.分類應(yīng)當(dāng)不重復(fù)，不遺漏。

例1（2022·杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x-）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，則能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（）

A.2？B.3？C.4？D.5

分析根據(jù)拋物線的解析式可得C（0，-3），表示出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)ABC是等腰三角形，從邊的角度分三種情況進(jìn)行討論，求得k的值，即可求出答案.

解：根據(jù)題意，得C（0，-3）.

令y=0，則k（x+1）（x）=0，得x=-1或x=，

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），則B（，0），

（1）當(dāng)AC=BC時(shí)，=1，可得k=3；

（2）當(dāng)AC=AB時(shí)，

①點(diǎn)B在點(diǎn)A的右面時(shí)，

AC==，則AB=AC=，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），=-1，k=；

②點(diǎn)B在點(diǎn)A的左面時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（--1，0），=--1，k=-；

（3）AB=BC，點(diǎn)B只有可能在A點(diǎn)的右面，得

（+1）2=32+（）2，k=，

當(dāng)所以能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是4條；

故選C.

這道題學(xué)生易丟解，特別是第二種情況還應(yīng)分B點(diǎn)在A點(diǎn)的左面和右面兩種情況，因而做分類討論題一定要做到逐級進(jìn)行，做到不重復(fù)，不遺漏。

二、分類討論的類型

分類討論，一方面可將復(fù)雜的問題分解為若干個(gè)簡單的問題，另一方面恰當(dāng)?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面慮問題的能力，提高周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)。特別是當(dāng)我們所研究的各種對象之間過于復(fù)雜，或涉及范圍比較廣泛時(shí)，可采用分類討論的方進(jìn)行解決，即對部題中的各種情況進(jìn)行分類，或?qū)λ婕暗姆秶M(jìn)行分割，然后分別研究和求解，那么在具體問題中，哪些問題需要分類討論呢？

1.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵需要分類討論

這類問題主要考查學(xué)生對概念的掌握情況，常見的如絕對值，平方根，不等式，方程，函數(shù)等等。只要在平時(shí)牢固把握概念的內(nèi)涵，解決這類問題就會得心應(yīng)手。

例2若|a|=3，=5，則|a+b|=_______。

分析因|a|=3，可得a=3或-3，=|b|，可得b=5或-5，因而分4種情況進(jìn)行討論，（1）a=3，b=3（2）a=3，b=-3（3）a=-3，b=3（4）a=-3，b=-3，易得|a+b|=2或8.

2.問題中的條件需要分類討論。

有些題目的結(jié)論不是單一的，具體的，因而條件的可能性的是多樣的，需要對題目的條件進(jìn)行分類討論，從而解決問題。？

例3如圖，正方形ABCD的邊長是2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端在CD、AD上滑動(dòng)。當(dāng)DM=？時(shí)，ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似。

分析當(dāng)ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，DM可以與BE是對應(yīng)邊，也可以與AB是對應(yīng)邊，所以本題分兩種情況：

（1）當(dāng)DM與BE是對應(yīng)邊時(shí)，

=，即=，DM=

（2）當(dāng)DM與AB是對應(yīng)邊時(shí)，

=，即=，DM=

故DM的長是或

如果題目改成ABE～MDN，則只有一種情況了。

3.問題中的變量需要分類討論。

例4（2022·柳州）如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，∠ABC=60°.若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著ABA方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0≤t

分析BEF中，只要變量BE的長確定了，則BEF就確定了，若要BEF是直角三角形，分兩種情況，（1）∠BFE=90°，（2）∠BEF=90°，當(dāng)∠BEF=90°，變量t存在AB和BA兩種可能。

解：AB是O的直徑，∠ABC=60°，∠C=90°，AB=2BC=4.

（1）當(dāng)∠BFE=90°時(shí)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，BF=×2=1.

在RtBEF中，∠B=60°，BE=2BF=2×1=2，AE=4-2=2.

又AE=2t，2t=2，t=1.

（2）當(dāng)∠BEF=90°時(shí)，

①點(diǎn)E在AB時(shí)，RtBEF時(shí)，BE=BF=，AE=4-=3，2t=3，t=1.75.

②點(diǎn)E在BA時(shí)，t=1.75+=2.25時(shí)，∠BEF=90°.

綜上，t=1或1.75或2.25.

4.形狀，位置的變化需要分類討論。

例5（2022·杭州）如圖，AE切O于點(diǎn)E，AT交O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OBAT于點(diǎn)B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2.

（1）求∠COB的度數(shù)；

（2）求O的半徑R；

（3）點(diǎn)F在O上（FME是劣弧），且EF=5，把OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在O上的三角形嗎？請?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與OBC的周長之比.

分析第（1）（2）求得∠COB=30°，R=5，

（3）把OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)

頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有

三種情況，（1）BC變換到EF（2）OB變換到EF（3）OC變換到EF，

而每一情況又存在兩種可能，因此一共有6種情況。這樣三角形

有6個(gè)，如下圖所示：

周長比易求得為5：1.

分類討論思想是在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和應(yīng)用的過程中形成和發(fā)展的，在知識發(fā)展的各個(gè)階段所反映出不同的層次性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們既要重視數(shù)學(xué)知識應(yīng)用階段的教學(xué)，更要重視形成階段的教學(xué)，把數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練貫穿于教學(xué)始終，充分揭示數(shù)學(xué)思維過程，將“發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)”返璞歸真地教給學(xué)生，幫助他們了解問題的本來面目，恢復(fù)問題的本源。我想，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)追尋的最終目的。

針對訓(xùn)練

1.已知直角三角形兩邊x、y的長滿足，|x2-4|+=0則第三邊長為？。

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別平行x、y軸的兩直線a、b相交于點(diǎn)A（3，4），連接OA，若在直線a上存在點(diǎn)P，使AOP是等腰三角形，那么所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

A.（8，4）

B.（8，4）或（-3，4）

C.（8，4）或（-3，4）或（-2，4）

D.（8，4）或（-3，4）或（-2，4）或

參考答案

1.解：由已知易得x=2，y1=2，y2=3.

（1）若x=2，y=2是三角形兩條直角邊的長，則第三邊長為2，

（2）若x=2，y=3是三角形兩條直角邊的長，則第三邊長為，

（3）若x=2是一直角邊的長，y=3是斜邊，則第三邊長為。