人教A版（2023）必修第一冊《4.5.2 用二分法求方程的近似解》提升訓練(含解析)

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一、單選題（本大題共13小題，共65分）

1.（5分）函數(shù)f（x）=2x-x2的一個零點所在的區(qū)間為（）

A.（-1，0）B.（1，0）C.（1，2）D.（2，3）

2.（5分）在用“二分法“求函數(shù)零點近似值時，第一次所取的區(qū)間是，則第三次所取的區(qū)間可能是

A.B.

C.D.

3.（5分）函數(shù)的零點為，

A.B.C.D.

4.（5分）f（x）=3x+3x-8，則函數(shù)f（x）的零點落在區(qū)間（）參考數(shù)據(jù)：31.25≈3.9，31.5≈5.2．

A.（1，1.25）B.（1.25，1.5）

C.（1.5，2）D.不能確定

5.（5分）設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)有零點的區(qū)間是

A.B.C.D.

6.（5分）方程的解所在區(qū)間是

A.B.C.D.

7.（5分）用二分法求方程的近似解，求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如表所示：

則當精確度為時，方程的近似解可取為

A.

B.

C.

D.

8.（5分）函數(shù)f（x）=lnx+x-3的零點所在區(qū)間為（）

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）

9.（5分）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：

那么函數(shù)的一個零點近似值精確度為為

A.B.C.D.

10.（5分）設(shè)，用二分法求方程在上的近似解的過程中取區(qū)間中點，那么下一個有根區(qū)間為

A.B.

C.或D.不能確定

11.（5分）用二分法求函數(shù)f（x）=x3+5的零點可以取的初始區(qū)間是（）

A.[-2，1]B.[-1，0]C.[0，1]D.[1，2]

12.（5分）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則用二分法判斷含有零點的區(qū)間為

A.B.C.D.

13.（5分）函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間為

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）用二分法求函數(shù)f（x）=3x-x-4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：

f（1.6000）≈0.200f（1.5875）≈0.133f（1.5750）≈0.067f（1.5625）≈0.003f（1.5562）≈-0.029f（1.5500）≈-0.060

據(jù)此，可得方程f（x）=0的一個近似解（精確到0．Ol）為____．

15.（5分）設(shè)x0是方程8-x=lgx的解，且x0∈（k，k+1）（k∈Z），則k=____．

16.（5分）用“二分法”求方程2x+3x-7=0在區(qū)間[1，3]內(nèi)的根，取區(qū)間的中點為x0=2，那么下一個有根的區(qū)間是____．

17.（5分）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的近似解，驗證，給定精度為，需將區(qū)間等

分______次．

18.（5分）用“二分法”求方程，在區(qū)間內(nèi)的實根，取區(qū)間中點為，那么下一個有根的區(qū)間是______．

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

19.（12分）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且有一個零點.

19-1.求實數(shù)a的取值范圍；

19-2.若，用二分法求方程f(x)＝0在區(qū)間上的根.

20.（12分）借助信息技術(shù)，用二分法求：

方程的最大的根精確度為；

函數(shù)和交點的橫坐標精確度為．

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=lox+x-b（a＞0，且a≠1）．當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)f（x）的零點∈（n，n+1），n∈N*，求n的值．

22.（12分）以下是用二分法求方程的一個近似解精確度的不完整的過程，請補充完整，并寫出結(jié)論．

設(shè)函數(shù)，其圖象在上是連續(xù)不斷的一條曲線．

先求值：________，________，________，________.

所以在區(qū)間________內(nèi)存在零點，填表：

區(qū)間中點的符號區(qū)間長度

23.（12分）利用計算器，求方程的近似解．精確到

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：∵f（-1）=-

1

2

＜0，

f（0）=1＞0，

f（1）=1＞0，

f（2）=0，

f（3）=-1＜0，

∴f（-1）f（0）＜0，

∴函數(shù)的零點在（-1，0）區(qū)間上，

故選：A．

2.【答案】D;

【解析】解：第一次所取的區(qū)間是，

第二次所取的區(qū)間可能為，；

第三次所取的區(qū)間可能為，，，

故選D．

由第一次所取的區(qū)間是，取該區(qū)間的中點，可求出第二次所取的區(qū)間，利用同樣的方法即可求得第三次所取的區(qū)間．

該題考查的是二分法求函數(shù)的近似區(qū)間的問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了二分法解答問題的規(guī)律、數(shù)據(jù)的分析和處理能力．屬基礎(chǔ)題．

3.【答案】B;

【解析】解：，，

的存在零點．

在定義域上單調(diào)遞增，

的存在唯一的零點．

故選：．

分別求出和并判斷符號，再由函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)唯一零點所在的區(qū)間．

這道題主要考查函數(shù)零點存在性的判斷方法的應用，要判斷個數(shù)需要判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】B;

【解析】解：：因為f（1）=3+2-8=1＞0，

f（1.25）=31.25+3×1.25-8≈3.9+3.75-8=-0.35＜0，

f（1.5）=31.5+3×1.5-8≈5.2+4.5-8=1.7＞0，

f（2）=32+3×2-8=7＞0，

所以根據(jù)根的存在性定理可知函數(shù)的零點落在區(qū)間（1.25，1.5）．

故選：B．

5.【答案】D;

【解析】解：由，可得，，

根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)有零點的區(qū)間是，

故選：．

由題意求得，，根據(jù)函數(shù)零點的判定定理得出結(jié)論．

此題主要考查函數(shù)零點的判定定理的應用，判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】D;

【解析】解：設(shè)，在上單調(diào)遞增．

，

根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理得出：的零點在區(qū)間內(nèi)

方程的解所在的區(qū)間為，

故選：．

判斷，在上單調(diào)遞增．根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理得出答案．

該題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點的判斷，方程解所在的區(qū)間，屬于中檔題，但是難度不大，常規(guī)題目．

7.【答案】C;

【解析】

該題考查了函數(shù)的零點存在定理應用及二分法的應用，屬于基礎(chǔ)題．

由二分法及函數(shù)零點存在定理判斷即可．

解：由表格可得，

函數(shù)的零點在之間；

結(jié)合選項可知，

方程的近似解可取為精確度為可以是；

故選：．

8.【答案】C;

【解析】解：∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)

f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0

∴f（2）f（3）＜0，根據(jù)零點存在性定理，可得函數(shù)f（x）=lnx+x-3的零點所在區(qū)間為（2，3）

故選C

9.【答案】B;

【解析】

此題主要考查二分法求方程的近似解，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合函數(shù)零點存在性定理及二分法求解即可.

解：易知在上單調(diào)遞增，

由表格得，且，

函數(shù)零點在，

一個近似值為

故選

10.【答案】A;

【解析】

此題主要考查了函數(shù)的零點，理解函數(shù)零點的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．

根據(jù)，，，及函數(shù)零點的判定方法即可求出下一個有根的區(qū)間．

解：，

，

，

，

的下一個有根的區(qū)間為

故選

11.【答案】A;

【解析】解：二分法求變號零點時所取初始區(qū)間[a，b]，應滿足使f（a）f（b）＜0．

由于本題中函數(shù)f（x）=+5，由于f（-2）=-3，f（1）=6，顯然滿足f（-2）f（1）＜0，

故函數(shù)f（x）=+5的零點可以取的初始區(qū)間是[-2，1]，

故選A．

12.【答案】C;

【解析】

此題主要考查二分法，零點存在性定理，屬于中檔題.

分別代入和，可判斷出零點在該范圍內(nèi)，再根據(jù)二分法結(jié)合對數(shù)運算即可.

解：

，，

，

因此，函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，

故選

13.【答案】C;

【解析】解：，，

，，

函數(shù)的零點在內(nèi)，

故選：．

將，，代入函數(shù)的表達式，結(jié)合零點的判定定理，得出答案．

該題考查了函數(shù)的零點的判定定理，是一道基礎(chǔ)題．

14.【答案】1.56;

【解析】解：由題意知，f（1.5625）=0.003＞0，f（1.5562）=-0.029＜0，

∴函數(shù)f（x）=3x-x-4的一個零點在區(qū)間（1.5625，1.5562）上，

故函數(shù)的零點的近似值（精確到0.01）為1.56，可得方程3x-x-4=0的一個近似解（精確到0.01）為1.56，

故答案為：1.56．

15.【答案】7;

【解析】解：因為方程8-x=lgx的解就是函數(shù)f（x）=8-x-lgx的零點，

又因為f（1）=7＞0，g（2）=6-lg2＞0f（3）=5-lg3＞0，f（4）=4-lg4＞0，f（5）=3-lg5＞0，f（6）=2-lg6＞0，

f（7）=1-lg7＞0，f（8）=-lg8＜0．

故方程的根在區(qū)間（7，8）內(nèi)，即k=7．

故答案為：7．

16.【答案】（1，2）;

【解析】解：設(shè)f（x）=2x+3x-7，

f（1）=2+3-7＜0，f（3）=10＞0，

f（2）=3＞0，

f（x）零點所在的區(qū)間為（1，2）

∴方程2x+3x-7=0有根的區(qū)間是（1，2），

故答案為：（1，2）．

17.【答案】5;

【解析】解：開區(qū)間的長度等于，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過此操作后，

區(qū)間長度變?yōu)?，用二分法求函?shù)在區(qū)間上近似解，要求精確度為，

，

解得，

故答案為：．

原來區(qū)間的長度等于，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過此操作后，區(qū)間長度變?yōu)椋么诵畔⑦M行判斷

該題考查用二分法求函數(shù)的近似零點的過程，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄祟}是一道基礎(chǔ)題

18.【答案】[2，2.5];

【解析】解：設(shè)，

，，

，

零點所在的區(qū)間為，

方程有根的區(qū)間是，

故答案為．

方程的實根就是對應函數(shù)的零點，由，知，零點所在的區(qū)間為．

該題考查用二分法求方程的根所在的區(qū)間的方法，方程的實根就是對應函數(shù)的零點，函數(shù)在區(qū)間上存在零點的條件是

函數(shù)在區(qū)間的端點處的函數(shù)值異號．

19.【答案】若，則，與題意不符.

由題意得，(2分)

即或

，實數(shù)a的取值范圍為(5分)

;若，則，

，，(7分)

函數(shù)的零點在上，又，

方程在區(qū)間上的根為(10分);

【解析】略

20.【答案】解：（1）令f（x）=2-4-3x+1

則該函數(shù)的部分對應值表為

x-2-101234

f（x）-25-21-4-510181

因為三次方程最多有3個實根，所以函數(shù)f（x）最多有三個零點，且分別應在區(qū)間（-1，0）、（0，1）和區(qū)間（2，3）內(nèi)，這說明方程2-4-3x+1=0的最大的根應在區(qū)間（2，3）內(nèi)．

由下面的表格：

區(qū)間區(qū)間長度區(qū)間中點區(qū)間中點的函數(shù)值的符號

（2，3）12.5-

（2.5，3）0.52.75+

（2.5，2.75）0.252.625+

（2.5，2.625）0.1252.5625+

（2.5，2.5625）0.06252.53125+

（2.5，2，53125）0.031252.515625-

（2.515625，2.53125）0.0156252.5234375+

（2.515625，2.5234375）0.0078125

由于|2.5234375-2.515625|=0.0078125＜0.01，

所以原方程的最大根約為2.5234375．

（2）交點的橫坐標即為方程1gx=的根，由圖象可知兩函數(shù)只有一個交點，

令f（x）=1gx-．因為f（1）=-1，f（2）≈-0.2＜0，f（3）≈0.14＞0，

于是可知，交點在（2，3）內(nèi)．

區(qū)間中點f（中點）

（2，3）2.5-0.002

（2.5，3）2.750.04

（2.5，2.75）2.6250.02

（2.5，2.625）2.5625

（2.5，2.5625）

|2.5-2.5625|≈0.06＜0.1，

∴交點的橫坐標為x≈2.5．;

【解析】

根據(jù)三次方程最多有個實根先分析三個實根的大體位置，結(jié)合零點存在定理分析出最大的實根在區(qū)間內(nèi)，再由二分法，結(jié)合精確度得到最大根的估計值，令，即得方程，再令，用二分法求得交點的橫坐標約為．

該題考查的知識點是二方法求函數(shù)的近似解，本題運算量大，必須借助計算器才能完成，熟練掌握二分法的步驟及零點存在定理，是解答的關(guān)鍵．

21.【答案】解：設(shè)函數(shù)y=lox，m=-x+b

根據(jù)2＜a＜3＜b＜4，

對于函數(shù)y=lox在x=2時，一定得到一個值小于1，

在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，判斷兩個函數(shù)的圖形的交點在（2，3）之間，

∴函數(shù)f（x）的零點∈（n，n+1）時，n=2．;

【解析】把要求零點的函數(shù)，變成兩個基本初等函數(shù)，根據(jù)所給的a，b的值，可以判斷兩個函數(shù)的交點的所在的位置，同所給的區(qū)間進行比較，得到n的值

22.【答案】解：；；；；

填表如下：

區(qū)間中點的符號區(qū)間長度

，

原方程的近似解可取為;

【解析】此題主要考查了二分法求方程的近似解的過程，屬于基礎(chǔ)題．

由函數(shù)與在上都是增函數(shù)可知在上是單調(diào)遞增的，求函數(shù)值，從而得到在區(qū)間內(nèi)存在零點，利用二分法完成表格后下結(jié)論即可．

23.【答案】解：設(shè)f（x）=-6x+7，

∵f（1）=2＞0，f（2）=-1＜0，

∴方程-6x+7=0有一根在（1，2）內(nèi)，設(shè)為，

∵f（1.5）=0.25＞0，∴1.5＜＜2，

又∵f（）=f（1.75）=-0.4375＜0，∴1.5＜＜1.75，

如此繼續(xù)下