清華版數(shù)字電子

第二章邏輯代數(shù)基礎2.1概述基本概念

在數(shù)字電路中，主要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，因此數(shù)字電路又稱邏輯電路，其研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)或開關代數(shù)）。邏輯變量：用字母表示，取值只有0和1。此時，0和1不再表示數(shù)量的大小，只代表兩種不同的狀態(tài)。2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算

與（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示開關A合上，A=0表示開關A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路代表了三種不同的因果關系：電路狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮S1S2燈電源１．與運算

(1)與邏輯:只有當決定某一事件的條件全部具備時，這一事件才會發(fā)生。這種因果關系稱為與邏輯關系。與邏輯舉例

邏輯真值表ABL001010110001與邏輯舉例狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮邏輯表達式與邏輯：L=A·Ｂ=AB

與邏輯符號ABL&ABL電路狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合亮合合斷亮合亮

２、或運算只要在決定某一事件的各種條件中，有一個或幾個條件具備時，這一事件就會發(fā)生。這種因果關系稱為或邏輯關系。S1燈電源S2或邏輯舉例邏輯真值表ABL001010110111或邏輯舉例狀態(tài)表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮邏輯表達式或邏輯：L=A+Ｂ

或邏輯符號ABLBL≥1A非邏輯舉例狀態(tài)表A燈斷開亮閉合滅

3.非運算事件發(fā)生的條件具備時，事件不會發(fā)生；事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。這種因果關系稱為非邏輯關系。非邏輯舉例非邏輯符號邏輯表達式:L=A非邏輯真值表AL0110非邏輯舉例狀態(tài)表A燈斷開亮閉合滅A1LAL兩輸入變量與非

邏輯真值表ABL001010111110ABLAB&L與非邏輯符號4.幾種常用復合邏輯運算與非邏輯表達式L=A·B1)與非運算兩輸入變量或非

邏輯真值表ABL001010111000B≥1AABLL或非邏輯符號2)或非運算L=A+B或非邏輯表達式

3)異或邏輯若兩個輸入變量的值相異，輸出為1，否則為0。異或邏輯真值表ABL000101011110BAL=1ABL異或邏輯符號異或邏輯表達式L=AB+AB=A

B

4)同或運算

若兩個輸入變量的值相同，輸出為1，否則為0。同或邏輯真值表ABL001010111001B=ALABL同或邏輯邏輯符號同或邏輯表達式L=AB+=A

B

2.3.1基本公式

2.3.2常用公式2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式根據(jù)與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式序號公式序號公式10

1′

=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A證明方法：推演真值表公式（17）的證明（公式推演法）：公式（17）的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序號公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′公式證明：2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理

------在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。應用舉例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)應用舉例：式（8）2.4.2反演定理

-------對任一邏輯式

變換順序先括號，然后乘，最后加不屬于單個變量的上的反號保留不變應用舉例：2.4.3對偶定理對偶定理：如果兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等對偶式：2.5.1邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,······)

------若以邏輯變量為輸入，運算結果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。因此輸入/輸出之間是一種函數(shù)關系。注：在二值邏輯中， 輸入/輸出都只有兩種取值0/1。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.5.2邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉換真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應的取值將輸入變量所有的取值下對應的輸出值找出來，列成表格，即可得到真值表例：ABCY00000010010001101000101111011111真值表舉重裁判電路邏輯式

將輸入/輸出之間的邏輯關系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。邏輯式：例：邏輯圖用邏輯圖形符號表示邏輯運算關系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應。邏輯圖：例：波形圖

將輸入變量所有可能取值與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。ABCYooootttt卡諾圖EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)VerilogHDL EDIF DTIF。。。

真值表邏輯式：1.找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。2.每組輸入變量取值對應一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。3.將這些乘積項相加即得Y。4.把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表各種表現(xiàn)形式的相互轉換：例：奇偶判別函數(shù)的真值表（判斷1的個數(shù)的奇偶）A=0,B=1,C=1使A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使ABC′=1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以Y=?ABCY00000010010001111000101111011110邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。邏輯式邏輯圖2.從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯運算式。

波形圖真值表

1.從波形圖中找出每個時間段內(nèi)輸入變量與函數(shù)輸出的取值，然后將這些輸入、輸出取值對應列表，就得到了真值表。

2.將真值表中所有的輸入變量與對應的輸出變量取值依次排列畫成以時間為橫軸的波形，就得到了所求的波形圖。例：ABCYoooottttABC0000010100110010111011101100101Y真值表最小項m：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。對于n變量函數(shù)有2n個最小項2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標準形式

最小項之和最大項之積

最小項舉例：兩變量A,B的最小項三變量A,B,C的最小項最小項的編號：最小項取值對應編號ABC十進制數(shù)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1。任何兩個最小項之積為0。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。

------相鄰：僅一個變量不同的最小項如邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：1.將給定的邏輯函數(shù)式化成若干乘積項之和的形式2.利用將每個乘積項中缺少的因子補全。例：2.6邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的最簡形式

在與或邏輯函數(shù)式中，包含的乘積項已經(jīng)最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。2.6.1公式化簡法反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

1）并項法例：2）吸收法例：3）消去法例：4）取消法例：5）配項法例：F=AˊBC+(A+B′)C

F=ABD+AB′CD′+AC′DE+A

練習：2.6.2卡諾圖化簡法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.N變量最小項的卡諾圖

以2n個小方塊分別代表n變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。

表示最小項的卡諾圖4變量的卡諾圖二變量卡諾圖三變量的卡諾圖五變量的卡諾圖1.將函數(shù)表示為最小項之和的形式。2.在卡諾圖上與這些最小項對應的位置上添入1，其余地方添0。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)例：用卡諾圖化簡函數(shù)原理：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。

在用卡諾圖表示邏輯函數(shù)時，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子四個相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子化簡步驟：

------用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

------找出可合并的最小項

------化簡后的乘積項相加 （項數(shù)最少，每項因子最少）

用卡諾圖化簡函數(shù)卡諾圖化簡的的原則化簡后的乘積項應包含函數(shù)式的所有最小項，即覆蓋圖中所有的1。乘積項的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少。每個乘積項因子最少，即圈成的矩形最大。例：

00

01

11

1001ABC例：

00

01

11

100011111101ABC例：

00

01

11

100011111101ABC例：化簡結果不唯一例：0001111000011110ABCD例：00011110001001011001111111101111ABCD2.7具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡

2.7.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關項在邏輯函數(shù)中，對輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項稱為約束項例如A，B，C表示電機的正轉，反轉和停止的命令，A=1正轉，B=1反轉，C=1停止，電機的工作狀態(tài)的邏輯函數(shù)可以寫成：約束項ABC取值只能是100，010，001不能為000，011，101，110，111邏輯函數(shù)中的無關項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關項。在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項例如電機的電路設計成當ABC中出現(xiàn)兩個以上1或者全為0時，電機自動斷電停止，Y1,Y2,Y3等于1還是等于0已無關緊要，電機已斷電停止。任意項既然可以認為無關項包含于函數(shù)中，也可以不包含在函數(shù)式中，那么在卡諾圖中對應的位置上就可以填入1，也可以是0，為此在卡諾圖中用x表示無關項，在化簡邏輯函數(shù)時既可以認為它是1，也可以是0。2.7.2無關項在化簡邏輯函數(shù)中的應用合理地利用無關項，可得更簡單的化簡結果。加入（或去掉）無關項，應使化簡后的項數(shù)最少，每項因子最少······

從卡諾圖上直觀地看，加入無關項的目的是為矩形圈最大，矩形組合數(shù)最少。0001111000101111101ABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD000111100001x0010x1011x0xx101x0xABCD例：00011110000001011x0111xxxx1010xxABCD第一章習題2.將下列二進制整數(shù)轉化為等值的十進制數(shù)5.將下列二進制整數(shù)轉化為等值的八進制數(shù)和十六進制數(shù)6.將下列十六進制整數(shù)轉化為等值的二進制數(shù)11.寫出下列帶符號位二進制數(shù)的反碼和補碼13.計算下列用補碼表示的二進制數(shù)的代數(shù)和（5）11011101+01001011=00101000110111010100101100101000+（8）11111001+10001000=11111111111110011000100010000001+15.用二進制補碼運算下列各式(7).-12-5-12：原碼：101100，反碼：110011，補碼：110100-5：原碼：100101，反碼：111010，補碼：111011110100111011101111+101111的原碼：110001(8).-16-14-16：原碼：110000，反碼：101111，補碼：110000-14：原碼：101110，反碼：110001，補碼：110010110000110010100010+100010的原碼：111110第二章習題3.已知邏輯函數(shù)Y1和Y2的真值表如下圖所示，寫出

Y1和Y2的邏輯函數(shù)式4.已知邏輯函數(shù)Y1和Y2的真值表如下圖所示，寫出

Y1和Y2的邏輯函數(shù)式6.寫出圖2.6(a),2.6(b)所示的電路的邏輯函數(shù)式7.寫出圖2.7(a),2.7(b)所示的電路的邏輯函數(shù)式10.將下列各函數(shù)式化為最小項之和的形式14.利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式化簡下列各式15.利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式化簡下列各式16.寫出圖2.16中各卡諾圖所表示的邏輯函數(shù)式17.用卡諾圖化簡法化簡以下邏輯函數(shù)00011110000111111111011ABCD000111100011110111111101111ABCD23.將下列具有無關項的邏輯函數(shù)化為最簡的與或邏輯式

00

01

11

10011111XXABC0001111000XX1X01X1111110X1AB