2017-2018學年高中數(shù)學北師大版必修3教學案22分層抽樣與系統(tǒng)抽樣版含解析

2.2分層抽樣與系統(tǒng)抽樣課前口課前口E學列?基穩(wěn)才能摟高預習課本P12?15,思考并完成以下問題分層抽樣的概念是什么？分層抽樣的應用范圍是什么？其抽樣步驟是什么?系統(tǒng)抽樣的概念是什么？系統(tǒng)抽樣的應用范圍是什么？其抽樣步驟是什么?［新知初探］分層抽樣定義：將總體按其屬性特征分成若干類型 (有時稱作層),然后在每個類型中按照所占比例隨機_抽取一定的樣本?這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時也稱為類型抽樣.適用范圍：當總體是由差異明顯的幾部分組成時，往往選用分層抽樣.⑶抽樣步驟：將總體按一定標準進行分層；計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；按各層的個體數(shù)占總體的比例確定各層應抽取的樣本容量；在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或下面講的系統(tǒng)抽樣 ).［點睛］(1)在每層進行抽樣時，大多數(shù)情況下是采用簡單隨機抽樣， 有時也會采用其他方法，這要根據(jù)問題的需要來決定.每個個體被抽到的可能性都是N，與層數(shù)無關.系統(tǒng)抽樣定義：系統(tǒng)抽樣是將總體的個體進行編號，等距分組，按照簡單隨機抽樣抽取第一個樣本，然后按分組的間隔(稱為抽樣距)抽取其他樣本.系統(tǒng)抽樣又叫等距抽樣或機 適用范圍：適用于樣本容量較大， 且個體之間無明顯差異的情況.⑶抽樣步驟：假設要從容量為N的總體中抽取容量為 n的樣本.第一步，編號：先將總體的 N個個體進行編號；第二步，分段：確定分段間隔 k,對編號進行分段，當n能整除N時，k=N;當n不n能整除N時(設整除所得余數(shù)為r),先從總體中隨機剔除(可采用簡單隨機抽樣方法剔除 )rN—r個個體，此時k= ;n第三步：定起始編號：在第一段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號 l(iw町；第四步，抽取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本. 通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(k+l),再加k得到第3個個體編號(2k+I),依次進行下去，直到獲取整個樣本.［點睛］(1)分段間隔k不是自己隨意指定的，而是根據(jù)總體容量和樣本容量計算出來的.確定起始編號后，在此編號的基礎上，加上分段間隔的整數(shù)倍即得抽樣編號［小試身手］TOC\o"1-5"\h\z?判斷正誤.(正確的打“V”，錯誤的打“X” )從標有1?15號的15個球中，任選3個球作樣本，按從小號到大號排列，隨機選擇起點i(1<iw5),然后選標號為i,i+5,i+10的球入樣，是系統(tǒng)抽樣.( )某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品進行檢驗，是分層抽樣. ( )為調查某商場的顧客滿意度，規(guī)定在商場出口隨機抽一人進行詢問，直到調查到事先規(guī)定的調查人數(shù)為止，是分層抽樣. ( )在報告廳對與會聽眾進行調查，通知每排 (每排人數(shù)相同)座位號為14的聽眾留下座談，是分層抽樣.( )答案：(1)2 (2)X(3)X(4)X?某商場想通過檢驗發(fā)票的 2%來快速估計每月的銷售總量，采取如下辦法：從第一本50張的發(fā)票存根中隨機抽出 1張，如第15張，將所有的發(fā)票存根疊放在一起，然后按順序依次抽取第 65張，第115張，第165張，，，發(fā)票上的銷售額組成一個調查樣本，這種抽樣的方法是( )A?簡單隨機抽樣 B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣 D.抽簽法解析：選B由題意知分段間隔 k=50,第一段的發(fā)票編號分別為 1,2,3,,,50,抽取的號碼是15,即1=15,抽出的發(fā)票中任意相鄰兩張的間隔相同，故為系統(tǒng)抽樣.3?某集團有老年職工 270人，中年職工540人，青年職工810人?為了更好地調查他

解析：由于健康情況與年齡密切相關，不同年齡的人群其健康情況會有明顯的差異,們的健康情況，需從所有職工中抽取一個容量為36們的健康情況，需從所有職工中抽取一個容量為36的樣本，應采用的抽樣方法是因此采用分層抽樣的方法較合適?故填分層抽樣.答案：分層抽樣課堂講練設計丫舉一能通類題［典例］(1)某學校有男、女學生各500名，為了解男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取 100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是()A.抽簽法 B.隨機數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法(2)某家電視臺在因特網(wǎng)上征集某電視節(jié)目現(xiàn)場參與的觀眾， 報名的總人數(shù)為12000人，分別來自4個城區(qū)，其中東城區(qū)2400人，西城區(qū)4600人，南城區(qū)3800人，北城區(qū)1200人，從中抽取60人參加現(xiàn)場的節(jié)目，應當如何抽?。繉懗龀槿∵^程.［解析］(1)顯然男、女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面存在明顯差異，應當分層抽取，故宜采用分層抽樣.答案：D(2)解：采用分層抽樣的方式抽取參加現(xiàn)場節(jié)目的觀眾，步驟如下：第一步分層.按城區(qū)分為四層：東城區(qū)、西城區(qū)、南城區(qū)、北城區(qū).第二步確定抽樣比.樣本容量n=60,總體容量N=12000,故抽樣比k=n二二；60二N12000_丄=200.第三步按比例確定每層抽取個體數(shù). 在東城區(qū)抽取2400X±=12(人)，在西城區(qū)抽200111取4600X200=23(人)，在南城區(qū)抽取3800X亦=19(人)，在北城區(qū)抽取1200X亦=6(人).第四步在各層分別用簡單隨機抽樣法抽取樣本.將各城區(qū)抽取的觀眾合在一起組成樣本.(1)如果總體中的個體有差異時，就用分層抽樣抽取樣本，用分層抽樣抽取樣本時，要把性質、結構相同的個體，組成一層.⑵每層中所抽取的個體數(shù)應按各層個體數(shù)在總體中所占的比例抽取，也就是各層抽取

的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即抽樣比=樣體容量.的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即抽樣比=樣體容量.這樣抽取能使所得到的樣本［活學活用］1某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品， 數(shù)量分別為120件，80件，60件.為了解它們的產(chǎn)品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為 n的樣本進行調查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了 3件，貝Un=( )A.9B.10D.13解析：選D由分層抽樣可得n120+B.10D.13解析：選D由分層抽樣可得n120+80+60，解得n=13.2.某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向， 擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為 300的樣本進行調查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為 4：5:5:6,則應從一年級本科生中抽取 300X300X解析：由分層抽樣的方法可得，從一年級本科生中抽取學生人數(shù)為60.答案：60［典例］某單位共有在崗職工［典例］時，決定抽取10%的工人進行調查，如何采用系統(tǒng)抽樣完成這一抽樣?［解］第一步由題意知，應抽取在崗職工 62人作為樣本，即分成62組，由于624的商是10,余數(shù)是4，所以每組有10人，還剩4人?這時，抽樣距是10;第二步 用隨機數(shù)法從這些職工中抽取 4人，不進行調查；第三步 將余下的在崗職工620人進行編號，編號分別為 000,001,002,…，6佃；第四步在第一組000,001,002,…，009這10個編號中，隨機選定一個起始編號?每間隔10抽取一個編號，共抽 62個編號，這樣就抽取了容量為 62的一個樣本.當總體容量不能被樣本容量整除時，可以先從總體中隨機剔除幾個個體?但要注意的是剔除過程必須是隨機的，也就是總體中的每個個體被剔除的機會均等，易V除幾個個體后使總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除.［活學活用］1.要從已編號(1?61)的61枚最新研制的某型導彈中隨機抽取 6枚來進行發(fā)射試驗,用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的 6枚導彈的編號可能是( )5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53C.1,2,3,4,5,6 D.16,25,34,43,52,61解析：選B先用簡單隨機抽樣剔除 1個個體，再重新編號抽取，則間隔應為 10,故B正確.2?某校高中三年級的 295名學生已經(jīng)編號為 1,2,3,,,295，為了了解學生的學習情況，要按1:5的比例抽取一個樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，請寫出抽樣過程.解：按1:5的比例抽樣.295^5=59.第一步，把295名學生分成59組，每組5人.第一組是編號為 1?5的5名學生，第二組是編號為6?10的5名學生，依次類推，第 59組是編號為291?295的5名學生.第二步，采用簡單隨機抽樣，從第一組的 5名學生中隨機抽取1名，不妨設其編號為k(1<kw5).第三步，從以后各段中依次抽取編號為 k+5i(i=1,2,3,,,58)的學生，再加上從第一段中抽取的編號為k的學生，得到一個容量為59的樣本.￥抽樣方法的綜合應用［典例］為了考察某學校的教學水平，現(xiàn)抽取這個學校高三年級的部分學生本學年的考試成績進行考察?為了全面反映實際情況，采取以下三種方式進行抽查 (已知該學校高三年級共有20個教學班，并且每個班內的學生按隨機方式編好了學號，假定高三年級每班學生人數(shù)都相同):從全年級20個班中任意抽取一個班，再從該班任意抽取 20人，考察他們的學習成績；每個班都抽取1人，共計20人，考察這20個學生的成績；把學生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別，從中共抽取 100名學生進行考察(已知若按成績分，該校高三1000名學生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人).根據(jù)上面的敘述，回答下列問題：上面三種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？按每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？上面三種抽取方式中，各自采用何種抽樣方法？試分別寫出上面三種抽取方式抽取樣本的步驟.比較以上三種方式，哪種方式更好地考察出學校的教學水平？［解］(1)上面三種抽取方式中，其總體都是高三全體學生本學年的考試成績， 個體都是指高三年級每個學生本學年的考試成績.其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的 20名學生本學年的考試成績，樣本容量為20;第二種抽取方式中樣本為所抽取的 20名學生本學年的考試成績，樣本容量為 20;第三種抽取方式中樣本為所抽取的 100名學生本學年的考試成績，樣本容量為100.(2)①采用的是簡單隨機抽樣法； ②采用的是系統(tǒng)抽樣法和簡單隨機抽樣法； ③采用的是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法.⑶①的抽樣步驟如下：第一步，在這20個班中用抽簽法任意抽取一個班.第二步，從這個班中按學號用隨機數(shù)法或抽簽法抽取 20名學生，考察其考試成績.的抽樣步驟如下：第一步，在第一個班中，用簡單隨機抽樣法抽取某一學生，記其學號為 a.第二步，在其余的19個班中，選取學號為a的學生，共計20人.的抽樣步驟如下：第一步，分層.由于按成績分，其中優(yōu)秀生共 150人，良好生共600人，普通生共250人，故在抽取樣本時，應把全體學生分成三層.第二步，確定各個層抽取的人數(shù).由于樣本容量與總體的個體數(shù)的比為 100:1000=1:10,故在每層抽取的個體數(shù)依次為 150,零，250，即15,60,25.第三步，按層分別抽取.在優(yōu)秀生中用簡單隨機抽樣法抽取 15人；在良好生中用簡單隨機抽樣法抽取60人；在普通生中用簡單隨機抽樣法抽取 25人.(4)由于總體容量較大，且個體差異大，故第三種方式(分層抽樣)能較好地考察出學校的教學水平.(1)三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的機會均等從總體中逐個抽取X總體中的個體數(shù)較多，且無明顯差異系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成若干部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣總體中的個體數(shù)較少，且無明顯差異分層抽樣將總體分成互不交叉的層，分層進行抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成

（2）如何抽取樣本，直接關系到對總體估計的準確程度，因此，抽樣時要保證每一個個體都可能被抽到，且每一個個體被抽到的機會是均等的，滿足這樣條件的抽樣才是隨機抽樣.［活學活用］某中學舉行了為期3天的新世紀體育運動會，同時進行全校精神文明擂臺賽?為了解這次活動在全校師生中產(chǎn)生的影響，分別在全校 500名教職員工、3000名初中生、4000名高中生中做問卷調查.（1）如果要在所有答卷中抽出 150份用于評估.應如何抽取才能得到比較客觀的評價結論，請詳細敘述抽樣過程？⑵如果要在所有答卷中抽出 120份用于評估?應如何運用系統(tǒng)抽樣的方法從 4000名高中生的答卷中抽取64份樣本，請詳細敘述抽樣過程？解：（1）由于這次活動對教職員工、初中生和高中生產(chǎn)生的影響不會相同，所以應當采取分層抽樣的方法進行抽樣.因為樣本容量為150,總體個數(shù)為500因為樣本容量為150,總體個數(shù)為500+3000+4000=7500,則抽樣比為150=17500—50111所以有500X=10,3000X=60,4000X =80,50 50 50所以在教職員工、初中生、高中生的答卷中抽取的個體數(shù)分別是 10,60,80.分層抽樣的步驟是：第一步，分層：分為教職員工、初中生、高中生，共三層.第二步，確定每層抽取個體的個數(shù)：在教職員工、初中生、高中生的答卷中抽取的個體數(shù)分別是10,60,80.第三步，各層分別按簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本 （具體抽樣過程見后面的敘述）.第四步，綜合每層抽樣，組成樣本.這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評價結論.其中，第一層（教職員工）500份答卷中選10份，由于制作500個號簽費時費力，且難以保證攪拌均勻，不適合采用抽簽法，采用隨機數(shù)表法、系統(tǒng)抽樣的方法均可.法一：（隨機數(shù)表法）步驟：編號，將500份答卷都編上號碼：000,001,002,,,499;在隨機數(shù)表上隨機選取一個起始位置；規(guī)定讀數(shù)方向.如向右連續(xù)取數(shù)字，以 3個數(shù)為一組，如果讀取的三位數(shù)大于 499,則去掉，如果遇到相同號碼則只取一個，這樣一直到取滿 10個號碼為止.法二：（系統(tǒng)抽樣法）步驟：①將這500名教職員工的答卷編號為1,2,3，,，500；按1?50,51?100,101?150,, ,451?500分成十組，每組50個編號；在第一組中運用抽簽法隨機選擇一個編號 （步驟略），比如所選號碼為17，則其他各組號碼分別為67,117,167,217,267,317,367,417,467.獲取樣本：將上述10個號碼代表的答卷取出作為樣本.第二層（初中生）3000份答卷選60份．要制作3000個號簽，費時費力，因此更不適合抽簽法.可以采用隨機數(shù)表法或系統(tǒng)抽樣的方法（具體步驟略）.第三層（高中生）亦是如此.（2）由于4000-64=62.5不是整數(shù)，則應先使用簡單隨機抽樣從 4000名學生中隨機剔除32個個體，再將剩余的3968個個體進行編號：1,2，,，3968，然后將整體分為64個部分，其中每個部分中含有62個個體，如第1部分個體的編號為1,2，,，62，從中隨機抽取一個號碼，如若抽取的是 23，則從第23號開始，每隔62個抽取一個，這樣得到容量為64的樣本：23,85,147,209,271,333,395,457，,，3929.課石生級訓練，步步提升能力課石生級訓練，步步提升能力［層級一學業(yè)水平達標］1某學校高一、高二、高三學生分別有 280人、320人、400人?為了解各年級學生的課余時間安排，擬從全體學生中抽取 100人進行調查，則宜采用的抽樣方法是 （ ）A.抽簽法 B.隨機數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法答案：D要完成下列兩項調查：①從某社區(qū) 125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶調查社會購買力的某項指標；②從某中學的 15名藝術特長生中選出3人調查學習負擔情況.宜采用的抽樣方法依次為 （ ）A.①簡單隨機抽樣法，②系統(tǒng)抽樣法①分層抽樣法，②簡單隨機抽樣法C.①系統(tǒng)抽樣法，②分層抽樣法D.①②都用分層抽樣法解析：選B①各層間差距較大，宜用分層抽樣；②總體較少，宜用簡單隨機抽樣.40種、40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為 20的樣本進行食品安全檢測，若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是B.5解析:10選C抽取的植物油類食品種數(shù)為40+解析:10選C抽取的植物油類食品種數(shù)為40+10+30+20X20=2（種），抽取的果蔬類食品種數(shù)為2040+10+30+20X20=4（種），故抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6.某班級有52名學生，現(xiàn)將學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為 4的樣本，已知6號，32號，45號學生在樣本中，那么在樣本中還有一個學生的編號是 號.解析：由52=13，知抽樣間隔為13,抽取的編號依次為6,19,32,45，故還有一個學生的4編號為19.答案：19［層級二應試能力達標］某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調查，將840人按1,2,,,840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間［481,720］的人數(shù)為（ ）

42組，每組20人，區(qū)間[481,720]C42組，每組20人，區(qū)間[481,720]解析：選B依據(jù)系統(tǒng)抽樣為等距抽樣的特點，分包含25組到36組，每組抽1人，則抽到的人數(shù)為12.為了調查某產(chǎn)品的銷售情況，銷售部門從下屬的 92家銷售連鎖店中抽取 30家了解情況?若用系統(tǒng)抽樣法，則抽樣間隔和隨機剔除的個體數(shù)分別為 （ ）B.2,3AB.2,32,30 D.30,2解析：選A因為92H30不是整數(shù)，因此必須先剔除部分個體數(shù)，因為 92=30X3+2,故剔除2個即可，而間隔為3.3?交通管理部門為了解機動車駕駛員 （簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調查?假設四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)為 N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人?若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為 12,21,25,43，則這四個社TOC\o"1-5"\h\z區(qū)駕駛員的總人數(shù)N為（ ）A.101B.808C.1212D.2012解析：選B由題意知抽樣比為警，而四個社區(qū)一共抽取的駕駛員人數(shù)為 12+21+2596+43=訕，故有96=晉，解得n=808.TOC\o"1-5"\h\z4.用系統(tǒng)抽樣法（按等距離的規(guī)則）要從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生從1?160編號.按編號順序平均分成20組（1?8號，9?16號，，，153?160號），若第16組應抽出的號碼為125,則第一組中按此抽樣方法確定的號碼是（）C.4 D.3解析：選B設第一組確定的號碼為a，則a+15X8=125,二a=5..某公司生產(chǎn)的三種型號的家用轎車，產(chǎn)量分別是 1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為 46的樣本進行檢驗，那么這三種型號的轎車依次應取 輛、 輛和 輛.解析：三種型號的轎車的產(chǎn)量比是 1200:6000:2000=3:15：5,所以三種型號的轎車分別抽取的輛數(shù)是23X46=6（輛），2|x46=30（輛）,2^X46=10（輛）.答案：630 10.某校有老師200人，男學生1200人，女學生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為 n的樣本.已知從女生中抽取 80人，則n= .解析：因為80:1000=8:100，所以n:(200+1200+1000)=8:100，所以n=192.

答案：佃2TOC\o"1-5"\h\z—個總體中有 100個個體，隨機編號為0,1,2,,,99,依編號順序平均分成 10個小組，組號依次為1,2,3,,，10.現(xiàn)抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m,那么在第k組中抽取的號碼個位數(shù)字與m+k的個位數(shù)字相同.若m=6,則在第7組中抽取的號碼是 .解析：?/m=6,k=7,「.m+k=13.二在第7組中抽取的號碼應為 63.答案：63—個總體中的1000個個體編號為0,1,2,,,999，并依次將其分成10組，組號為0,1,2,,,9.要用系統(tǒng)抽樣方法