新教材高中人教B版數(shù)學(xué)選擇性課后落實4-1-3獨立性與條件概率的關(guān)系

課后素養(yǎng)落實(十二)獨立性與條件概率的關(guān)系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列事件中，A，B是相互獨立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”B．袋中有2白、2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”A[把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故A項是相互獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A．]2．若0＜P(A)＜1，且P(B|A)＝P(B)．若P(eq\o(A,\s\up7(－))，P(B|eq\o(A,\s\up7(－))，則P(AB)等于()A．0.12B．0.8C．0.32D[由P(B|A)＝P(B)可知事件A，B相互獨立，∴P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝P(B)＝0.2，又P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝0.6，∴P(A)＝0.4，所以P(AB)＝P(A)P(B×0.2＝0.08．故選D．]3．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，則eq\f(2,3)表示()A．2個球不都是紅球的概率B．2個球都是紅球的概率C．至少有1個紅球的概率D．2個球中恰有1個紅球的概率C[分別記從甲、乙袋中摸出一個紅球為事件A，B，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A，B相互獨立，所以1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)．根據(jù)互斥事件可知C正確．]4．甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊每局勝的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)A[問題等價為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝eq\f(1,2)；第二類，需比賽2局，第一局甲負，第二局甲贏，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)．故甲隊獲得冠軍的概率為P1＋P2＝eq\f(3,4)．]5．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(3,4)C[設(shè)按照順時針跳的概率為p，則逆時針方向跳的概率為2p，則p＋2p＝3p＝1，解得p＝eq\f(1,3)，即按照順時針跳的概率為eq\f(1,3)，則逆時針方向跳的概率為eq\f(2,3)，若青蛙在A葉上，則跳3次之后停在A葉上，則滿足3次逆時針或者3次順時針，①若先按逆時針開始從A→B，則對應(yīng)的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，②若先按順時針開始從A→C，則對應(yīng)的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，則概率為eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(9,27)＝eq\f(1,3)，故選：C．]二、填空題6．在甲盒內(nèi)的200個螺桿中有160個是A型，在乙盒內(nèi)的240個螺母中有180個是A型．若從甲、乙兩盒內(nèi)各取一個，則能配成A型螺栓的概率為________．eq\f(3,5)[“從200個螺桿中，任取一個是A型”記為事件B．“從240個螺母中任取一個是A型”記為事件C，則P(B)＝eq\f(C\o\al(1,160),C\o\al(1,200))，P(C)＝eq\f(C\o\al(1,180),C\o\al(1,240))．∴P(B∩C)＝P(B)·P(C)＝eq\f(C\o\al(1,160),C\o\al(1,200))·eq\f(C\o\al(1,180),C\o\al(1,240))＝eq\f(3,5)．]7．甲、乙兩個袋子中有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個紅球、2個白球，乙袋裝有1個紅球、5個白球，現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各抽取1個球，則取出的兩個球都是紅球的概率為________．eq\f(1,9)[由題意知，“從甲袋中取出紅球”和“從乙袋中取出紅球”兩個事件相互獨立，且從甲袋中取出紅球的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，從乙袋中取出紅球的概率為eq\f(1,6)，所以所求事件的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)．]8．臺風(fēng)在危害人類的同時，也在保護人類．臺風(fēng)給人類送來了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對均衡．甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風(fēng)，在同一時刻，甲、乙、，各衛(wèi)星間相互獨立，則在同一時刻至少有兩顆預(yù)報準確的是________．0.902[設(shè)甲、乙、丙預(yù)報準確依次記為事件A，B，C，不準確記為eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)，則P(A，P(B，P(C，P(eq\x\to(A)，P(eq\x\to(B)，P(eq\x\to(C)，至少兩顆預(yù)報準確的事件有ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC，ABC，這四個事件兩兩互斥且獨立．所以至少兩顆預(yù)報準確的概率為P＝P(A∩B∩eq\x\to(C))＋P(A∩eq\x\to(B)∩C)＋P(eq\x\to(A)∩B∩C)＋P(A∩B∩C)××××××××＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．]三、解答題9．三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，且是互相獨立的．將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，在如圖所示的電路中，求電路不發(fā)生故障的概率．[解]記“三個元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，則P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4)．不發(fā)生故障的事件為(A2∪A3)∩A1，∴不發(fā)生故障的概率為P＝P[(A2∪A3)∩A1]＝[1－P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)]·P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32)．10．在一個選拔節(jié)目中，每個選手都需要進行四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為eq\f(5,6)，eq\f(3,4)，eq\f(5,6)，eq\f(1,3)，且各輪問題能否正確回答互不影響．(1)求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率．[解]設(shè)事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“該選手能正確回答第i輪問題”，則P(A1)＝eq\f(5,6)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(5,6)，P(A4)＝eq\f(1,3)．(1)設(shè)事件B表示“該選手進入第三輪才被淘汰”，則P(B)＝P(A1A2eq\o(A,\s\up7(－))3)＝P(A1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up7(－))3)＝eq\f(5,6)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))＝eq\f(5,48)．(2)設(shè)事件C表示“該選手至多進入第三輪考核”，則P(C)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1＋A1eq\o(A,\s\up7(－))2＋A1A2eq\o(A,\s\up7(－))3)＝P(eq\o(A,\s\up7(－))1)＋P(A1eq\o(A,\s\up7(－))2)＋P(A1A2eq\o(A,\s\up7(－))3)＝1－eq\f(5,6)＋eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(5,6)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))＝eq\f(23,48)．1．(多選題)設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則下列說法正確的是()A．事件A與B發(fā)生的概率相同B．P(A)＝eq\f(1,3)C．P(B)＝eq\f(2,3)D．P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＝eq\f(2,9)ACD[因為事件A，B相互獨立，由P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up7(－)))可得[1－P(A)]P(B)＝P(A)[1－P(B)]，即P(A)＝P(B)．又P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－)))＝P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(eq\o(B,\s\up7(－)))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝eq\f(1,3)，即1－P(A)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3)．∴P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)．結(jié)合選項可知ACD正確，故選ACD．]2．(多選題)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球．則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件BD[由題意知，A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，P(A1)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，P(B|A1)＝eq\f(5,11)，P(B|A2)＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(4,11)，故B，D正確．而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)≠P(B|A1)，所以事件B與事件A1不是相互獨立的，故A，C不正確．]3．已知A，B是相互獨立事件，且P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(2,3)，則P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(B,\s\up7(－)))＝________，P(Aeq\o(B,\s\up7(－)))＝________．eq\f(3,4)eq\f(1,12)[∵A，B是相互獨立事件，∴eq\o(A,\s\up7(－))與eq\o(B,\s\up7(－))也是相互獨立事件，∴P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(B,\s\up7(－)))＝P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)．P(Aeq\o(B,\s\up7(－)))＝P(A)P(eq\o(B,\s\up7(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12)．]4．本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多，某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算)，有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別是eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，兩人租車時間都不會超過四小時．則甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為________．eq\f(5,16)[由題意可知，甲、乙在三小時以上且不超過四個小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，設(shè)甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)．所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為eq\f(5,16)．]紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A，B，C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5．假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立．求：(1)紅隊中有且只有一名隊員獲勝的概率；(2)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率．[解]設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則eq\x\to(D)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對立事件的概率公式知P(eq\x\to(D))＝0.4，P(eq\x\to(E))＝0.5，P(eq\x\to(F))＝0.5．(1)紅隊有且只有一名隊員獲勝的事件有D∩eq\o(\x\to(E))∩eq\x\to(F)，eq\x\to(D)∩E