數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示

一、選擇題1．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p、q∈N＋滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165 B．－33C．－30 D．－21[答案]C[解析]∵對(duì)任意p、q∈N＋都有ap＋q＝ap＋aq.∴a10＝a8＋a2＝a4＋a4＋a2＝5a22．已知函數(shù)f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),－n2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)))，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100C．－100 D．10200[答案]B[解析]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，則an＝(－1)n(2n＋1)，a1＋a2＋…＋a100＝－3＋5－7＋9…－199＋201＝2×50＝100.3．(2022·沈陽(yáng)一模)將數(shù)列{3n－1}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，則第100組中的第一個(gè)數(shù)是()A．34950 B．35000C．35010 D．35050[答案]A[解析]由“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組中，各組數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，前99組數(shù)的個(gè)數(shù)共有eq\f(1＋9999,2)＝4950個(gè)，故第100組中的第1個(gè)數(shù)是34950，選A.4．對(duì)于數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]an＋1>|an|，∴－an＋1<an<an＋1，即an＋1－an>0，且an＋an＋1>0，則{an}為遞增數(shù)列，反之若{an}為遞增數(shù)列，an＋1>|an|不一定成立．5．(2022·濟(jì)南統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a為常數(shù))，若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，則實(shí)數(shù)aA．[24,36] B．[27,33]C．{a|27≤a≤33，a∈N＋} D．{a|24≤a≤36，a∈N＋}[答案]A[解析]由于數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)，故由二次函數(shù)知識(shí)，只需≤eq\f(9＋a,6)≤?24≤a≤36即可．6．(2022·上饒一模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2022的值是()A．2022×2022 B．2022×2022C．20222 D．2022×2022[答案]D[解析]解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考慮到所給結(jié)論都是相鄰或相同兩整數(shù)乘積的形式，可變形為：a1＝0×1a2＝1×2a3＝2×3a4＝3×4猜想a2022＝2022×2022，故選D.解法2：an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，…a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.所有等式左右兩邊分別相加(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．∴an－a1＝2eq\f(n－1n－1＋1,2)＝n(n－1)．∴an＝n(n－1)．故a2022＝2022×2022.二、填空題7．(2022·遼寧重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，則a56＝________.[答案]－eq\r(3)[解析]由已知條件可推得a2＝－eq\r(3)，a3＝eq\r(3)，a4＝0，故可知數(shù)列{an}的周期為3，所以a56＝a2＝－eq\r(3).8．(文)已知an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))(n∈N＋)，則在數(shù)列{an}的前30項(xiàng)中，最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是第________項(xiàng)．[答案]109[解析]an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))＝eq\f(n－\r(99)＋\r(99)－\r(98),n－\r(99))＝1＋eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))當(dāng)1≤n≤9時(shí)，eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))<0，an遞減．當(dāng)n≥10時(shí)，eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))>0，an遞減．∴最大項(xiàng)為a10，最小項(xiàng)為a9.(理)(2022·浙江文，17)若數(shù)列{n(n＋4)(eq\f(2,3))n}中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝________.[答案]4[解析]本題考查了求數(shù)列中最大項(xiàng)問(wèn)題，可利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1,an≥an－1))來(lái)求解；由題意可列不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak＋1,ak≥ak－1))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kk＋4\f(2,3)k≥k＋1k＋5\f(2,3)k＋1,kk＋4\f(2,3)k≥k－1k＋3\f(2,3)k－1))化簡(jiǎn)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2≥10,k2－2k－9≤0))解之得eq\r(10)≤k≤1＋eq\r(10)又∵k∈Z，∴k＝4.三、解答題9．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1,4n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始以后各項(xiàng)均小于eq\f(1,1000)？[解析](1)an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－2·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))1＋2＋…＋(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up16(\f(n－1n,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n(n－1)∴an＝(eq\f(1,2))n(n－1)(2)當(dāng)n≤3時(shí)，(n－1)n≤6，an＝(eq\f(1,2))(n－1)n≥eq\f(1,64)當(dāng)n≥4時(shí)，(n－1)n≥10，an＝(eq\f(1,2))(n－1)n≤eq\f(1,1024)所以，從第4項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)均小于eq\f(1,1000).一、選擇題1．(2022·江西理，5)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1 B．9C．10 D．55[答案]A[解析]本題主要考查數(shù)列的求和公式和賦值法．令m＝n＝1，則S1＋S1＝S2，即a1＋a1＝a1＋a2，所以a2＝a1＝1；令n＝1，m＝2，所以S1＋S2＝S3.即a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，則a3＝a1＝a2＝1，…，故a10＝1，故選A.2．(文)若數(shù)列{an}是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列，Tn表示其前n項(xiàng)的積，且T8＝T4，則當(dāng)Tn取最小值時(shí)，n的值等于()A．5 B．6C．7 D．8[答案]B[解析]由T8＝T4，a5a6a7a8＝1，又a5a8＝a6a7＝1，且數(shù)列{an}是正項(xiàng)遞增數(shù)列，所以a5＜a6＜1＜a7(理)數(shù)列{an}中，若an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，a1＝1，則a2022等于()\f(1,6031) \f(1,6034)\f(1,6037) \f(1,6040)[答案]C[解析]∵an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3.∴{eq\f(1,an)}是以an＝1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×3＝3n－2，an＝eq\f(1,3n－2)，∴a2022＝eq\f(1,3×2022－2)＝eq\f(1,6037).二、填空題3．定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝2，公積為5，Tn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積，則T2022＝________.[答案]2·51002[解析]T2022＝a1(a2a3)·(a4a5)…(a2022·a2022)＝2·54．設(shè){an}是正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn滿足：4Sn＝(an－1)(an＋3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.[答案]2n＋1[解析]∵4Sn＝aeq\o\al(2,n)＋2an－3，∴當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1－3.兩式相減得4an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.又∵an>0.∴an－an－1＝2.當(dāng)n＝1時(shí)，由4a1＝aeq\o\al(2,1)＋2a1－3，得a1＝3，故an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.三、解答題5．(2022·湖北理，19(1))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N＋，r∈R，r≠－1)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解析]由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，兩式相減可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra.所以當(dāng)r＝0時(shí)，數(shù)列{an}為：a,0，…，0，…；當(dāng)r≠0，r≠－1時(shí)，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N＋)，于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得eq\f(an＋2,an＋1)＝r＋1(n∈N＋)，∴a2，a3，…，an，…成等比數(shù)列，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝r(r＋1)n－2a綜上，①r≠0且r≠－1時(shí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為②r＝0時(shí)，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝1,0n≥2)).6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為n2＋pn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為3n2－2n.(1)若a10＝b10，求p的值；(2)取數(shù)列{bn}的第1項(xiàng)，第3項(xiàng)，第5項(xiàng)，…，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．[解析](1)由已知，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，bn＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5(n≥2)．∴a10＝19＋p，b10＝55.由a10＝b10，得19＋p＝55.∴p＝36.(2)b1＝S1＝1，滿足bn＝6n－5.∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝6n－5.取{bn}中的奇數(shù)項(xiàng)，所組成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11.∴cn＝12n－11.7．(2022·全國(guó)卷Ⅰ理)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－eq\f(1,an).設(shè)c＝eq\f(5,2)，bn＝eq\f(1,an－2)，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．[解析]本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查分析、歸納、探究和推理論證問(wèn)題的能力，在解題過(guò)程中也滲透了化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查．a(chǎn)n＋1－2＝eq\f(5,2)－eq\f(1,an)－2＝eq\f(an－2,2an)，取倒數(shù)有eq\f(1,an＋1