回歸分析、方差分析、統(tǒng)計優(yōu)化

概率統(tǒng)計數(shù)學(xué)模型新鄉(xiāng)學(xué)院1、保險儲備策略問題某企業(yè)每年耗用某種材料3650件，每日平均耗用10件，材料單價10元，一次訂購費(fèi)每件25元，每件年儲存費(fèi)2元，每件缺貨一次費(fèi)用4元，平均交貨期10天，交貨期內(nèi)不同耗用量X的概率分布如下表所示，試求使用平均費(fèi)用達(dá)到最小的訂貨量、訂購次數(shù)及含有保險儲量的最佳訂貨點。

Xi80859095100105110115120125130Pi0.010.020.050.150.250.200.150.100.040.020.01/*數(shù)學(xué)建模步驟:(1)問題分析及模型的建立:

a、求最佳訂貨量及訂貨次數(shù);b、求最佳訂貨點和保險儲備量(2)模型的Matlab實現(xiàn)方法*/(1)問題分析及模型的建立名詞解釋：保險儲備是指企業(yè)在經(jīng)濟(jì)活動中，按照某一經(jīng)濟(jì)訂貨批量，在訂貨點發(fā)出訂貨單后，如果需求增大或送貨延遲，就會發(fā)生缺貨或供貨中斷。為防止由此造成的損失，需要多儲備一些存貨以備應(yīng)急之需，稱為保險儲備。這些存貨在正常情況下不動用，只有當(dāng)存貨過量使用或送貨延遲時才使用。假設(shè)：a、求最佳訂貨量及訂貨次數(shù)貨物訂貨量Q=RT記任意時刻t的庫存量為q(t),則有：q(t+△t)=q(t)-R△t,0≤t<T解得q(t)=RT-Rt由以上可得：每天的平均費(fèi)為：最佳訂貨量Q*及訂貨次數(shù)，歸結(jié)為求訂貨周期T使C（T）最小b、求最佳訂貨點和保險儲備量訂貨點：S=LR+B當(dāng)庫存量降到S時應(yīng)訂貨，訂貨期內(nèi)發(fā)生缺貨則采取缺貨不供應(yīng)處理方式。設(shè)：因此得年度缺貨費(fèi)為N*C3E（Y），保險儲備費(fèi)為C2B，總費(fèi)用為：T=N*C3E（Y）+C2（S-LR）求T最小，即由min{N*C3E（Y）+C2（S-LR）}確定S*、B*。

小結(jié):模型的建立1定義：C1=25元/次，C2=2元/年，C3=4元/件×次，U=10元/件，D=3650件/年，R=10件/天，L=10天。2定義：Q=RT3定義：S=LR+B用枚舉法求S*使min{N*C3E（Y）+C2（S-LR）}再由B*=S*-LR確定，最后求得：Q*，N*，S*，B*（2）模型的Matlab實現(xiàn)方法命令：min(X)—求向量的最小值實現(xiàn)方法：在Matlab中編輯M函數(shù)文件，已知數(shù)據(jù)：h=10;n=12,g=4;l=10;d=10;B=0:5:30;E=1:7;C=1:7;H=1:7;T=1:7;X=80:5:130Q=1:11;P=[0.01,0.02,0.05,0.15,0.25,0.20,0.15,0.10,0.04,0.02,0.01];fori=1:7s=l*d+B(i);forj=1:11ifX(j)>sQ(j)=X(j)-s;elseQ(j)=0;endendQ;E(i)=Q*P’;C(i)=n*g*E(i);H(i)=h*B(i);T(i)=C(i)+H(i);endE,C,R,T;Mint=min(T’);運(yùn)算結(jié)果為：E=（5.60003.0001.40000.550000.20000.500)C=268.800144.00067.20026.4009.6002.4000H=050100150200250300T=26.800194.000167.200176.400209.600252.400300.00minT=167.2000,B*=10,S*=10.結(jié)果：（1）不采用儲存策略，缺貨費(fèi)用較多；（2）保存較多的庫存量，儲備費(fèi)用較多；（3）建立合理的保險儲備量，則企業(yè)的年度平均費(fèi)用最少.2、回歸分析—商品銷量與價格的關(guān)系某廠生產(chǎn)的一種電器的銷量y與競爭對手的價格x1和本廠的價格x2有關(guān)，下表是該商品在10個城市的銷售記錄，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立y與x1、x2的關(guān)系式。若某市本廠產(chǎn)品銷價160元，競爭對手銷價170元，預(yù)測商品在該市的銷量.x1/元120140190130155175125145180150X2/元10011090150210150250270300250y/個10210012077469326696585（1）模型的建立將(x1,y)和(x2,y)各10個點繪成散點圖，可以看出y與x2有比較明顯的線性關(guān)系，而y與x1之間的關(guān)系則難以確定，用回歸分析進(jìn)行研究(plot(x,y,’:r+’))回歸分析的類型:最簡單形式:y=b0+b1x多元形式:y=b0+b1x1+b2x2+‥‥‥+bmxm更一般形式:(多元線性回歸的標(biāo)準(zhǔn)形)y=b0+b1f1(x)+b2f2(x)+‥‥‥+bmfm(x)其中m≥2,x=(x1,x2,‥‥‥,xm),fj是已知函數(shù)b=(b0,b1,‥‥‥,bm)為回歸系數(shù)在回歸分析中自變量x=(x1,x2,‥‥‥,xm)是影響變量y的主要因素,是能夠被控制和觀察的,且還受到隨機(jī)因素干擾,可以合理假設(shè)這種干擾服叢正態(tài)分布,模型記為:其中σ未知,現(xiàn)在得到n個獨立觀察數(shù)據(jù)(yi,xi1,xi2,…xim),i=1、2、…、n),n>m由模型得:記則回歸模型的矩陣形式為：由以上分析，對于商品銷售量與價格的回歸模型為：(2)模型在Matlab中的實現(xiàn)方法命令形式：b=regress(Y,X)/*求解多元線性回歸*/[b,bint,r,rint,stays]=regress(Y,X,alpha)實現(xiàn)方法：X1=[120140190130155175125145180150];X2=[10011090150210150250270300250];Y=[10210012077469326696585];X=[ones(10,1)x1’x2’];[b,bint,r,rint,stays]=regress(Y’,X,alpha)3、單因素方差分析—廣告宣傳對產(chǎn)品銷售量的影響某公司為了研究三種內(nèi)容的廣告宣傳對某種洗衣機(jī)銷售量的影響，進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查，經(jīng)過廣泛宣傳后，按寄回的廣告上的訂購計算，一年四個季度的銷售量統(tǒng)計如下表所示：季度廣告類型A1A2A31163184206217619819131701792184185190224其中A1是強(qiáng)調(diào)運(yùn)輸方便性的廣告；A2是強(qiáng)調(diào)節(jié)省能源的經(jīng)濟(jì)廣告；A3是強(qiáng)調(diào)噪音低的優(yōu)良廣告.試問哪一種類型的廣告促進(jìn)洗衣機(jī)銷量增加所起的宣傳效果最好？(1)問題分析及模型的建立單因素方差分析：若只考慮一個因素對實驗指標(biāo)的影響，而用方差進(jìn)行分析，這種這種方法稱為單因素方差分析。方差分析的主要目的是通過實驗數(shù)據(jù)分析推斷因素A對實驗指標(biāo)影響是否顯著，即當(dāng)因素A取不同水平的實驗指標(biāo)有無顯著差異。假設(shè)檢驗的因子有m種水平，X1，X2，…，Xm是m個相互獨立的正態(tài)總體，分別服從于N（μi，σ2），i=1,2,…,m；另外，xij（i=1,2,…,m；j=1,2…ni,)是抽得的分別服從于正態(tài)分布的簡單隨機(jī)樣本。單因素方差分析模型是：xij=μi+εij

εij

～N(0，σ2)對于上述模型中所提出的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題，提出假設(shè)檢驗：H0:μ1=μ2=…=

μm定義其中Q1為內(nèi)差平方和，Q1是反映數(shù)據(jù)xij在抽樣過程中產(chǎn)生總的程度的一個評價指標(biāo)。Q2是各組平均值與總平均值的離差平方和。通過Q2取值的大小可以反映原假設(shè)H0是否成立構(gòu)造F檢驗統(tǒng)計量為：∽F(m-1，n-m)檢驗方法：給定顯著水平α，當(dāng)F>Fα(m-1,n-m)時，則拒絕H0，其方差分析表如下所示：方差來源平方和自由度方差F值因子Q2m-1s22=Q2/(m-1)s22/s12誤差Q1n-ms12=Q1/(n-m)總和QN-1s22=Q/(n-1)方差分析一般用的顯著性水平是：取α=0.01、0.05概念解釋：洗衣機(jī)銷售是一個試驗指標(biāo)，新聞廣告是影響試驗指標(biāo)的一個因素A，三個不同廣告內(nèi)容可以看種不同狀態(tài)，稱為水平，記為A1，A2，A3，該試驗是一個單因子三水平的試驗。試驗分析：I、雖然用同一種廣告，但在同一年里不同季度的銷售量不同，分析原因可以認(rèn)為是由于其他隨機(jī)原因造成。II、不同的新聞廣告引起洗衣機(jī)銷售量的不同，可能是廣告內(nèi)容的不同所致，也可能是其他隨機(jī)因素所致。III、由于存在其他隨機(jī)因素，為了便于簡化與可操作性，假設(shè)這些隨機(jī)因素對洗衣機(jī)銷售量的影響是次要的，并且假設(shè)三種廣告類型為三種不同的總體，由于經(jīng)常遇到的是正態(tài)總體，因此，假定它們分別是方差相同的正態(tài)總體。所以該問題是一個單因素方差分析模型。(2)模型求解及Matlab中的實現(xiàn)方法單因素方差分析anova1():命令形式：p=anova1(X)其中X為m×n階的矩陣。功能：返回p=P{F>Fα(m-1,n-1)},當(dāng)p>α?xí)r，表示接收H0。模型求解命令：fm=[163184206；176198191；170179218；185190224]；anova1(fm).其運(yùn)算結(jié)果為：ans=0.0039(p值）其方差分析表如下：SourceSSdfMSFProb>FColums2668.1721334.0810.930.0039Error1098.59122.06Total3766.6711由計算結(jié)果知p=0.0039<α=0.05，故拒絕H0。查表可求得F0.05(2,9)=4.26<F=10.93,所以拒絕H0認(rèn)為不同類型的廣告內(nèi)容對洗衣機(jī)銷售有顯著影響。最好廣告形式的確定方法：定義αi稱為第i個水平對試驗結(jié)果的效應(yīng)值，αi反映第i個水平因子對試驗指標(biāo)作用的大小。根據(jù)上述計算可知，廣告內(nèi)容對洗衣機(jī)銷量有顯著影響，因此計算出各水平效應(yīng)值如下：效應(yīng)值α3最大，說明廣告A3引起的洗衣機(jī)銷量最多，即廣告A3對洗衣機(jī)銷量所起的宣傳效果最好。4、統(tǒng)計優(yōu)化設(shè)計—車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方，其開口半徑為36mm，深度為21.6mm。經(jīng)過車燈的焦點，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻