筑波校內(nèi)考真題附詳解2013數(shù)學解答

解答

limSn（4n2

（1，1，1）（1，1 0≦t≦ n（a+b+c）1（2）

c） n n c）

c1ab+c）1（2）n1 （A?11 （A?11 ?11解説參 A±1（ 1?11

1（ 1

22（11

1のと

111

2?

100 最大値

?

?⑴1⑴

2倍角?3倍角のによ2cos3tcos2t+cost）2（4cos3t3cost）（2cos2t1）+cost｝18cos3t4cos2t4cost+1

Isin2ntcostdtとおくIsin2ntsin 8cos3t4cos2t+4cost+1

nt

7irより7irすなわち4ir7

（4n2 sin2ntsint2ncos2ntcosよってcos4icos（r cos3i

よって

また，積→和?半角のによ2cos3icosi

k

4n2

（Cは積分定數(shù)cos4icos3i+2cos2icosi+1

k1k2?（i）cosi2cos3i+2cos2i

4n21

k1sinkrsinkrsin（k1）rsink12cos3icos2i+cosi）+cosi+11+cosi2?（i）ゆえに，r

4n2 +2ncoskrcos2knrcos（k1）rcosk2n1

7のとき，⑵2?（i（1+cosi）1+cosi7 cosr＞0より，①の両辺を1+cosi（＞0）7

sinkr sink1r（）coskr（ cos（k1）r（1）k（） ?（1）kcoskr（1）kて2?（i）1すなわち2?（i）10

4n2k+12n

｝cosk1｝k1

，x2cos

は3次方程式fx）0

（1）4n21cos2n 2n2nt

r r

lim limr

r?t

n→∞

4n2

k1r≦t≦krにおい kが偶數(shù)のと

lim1n→∞

16

sin

?cosよって，0≦t≦rの範囲で，Cの概形は下図のようになる 1?4?1? 1(nが奇數(shù)のとき 1 1 r 點Pは正三角形ABCの重心であるか （1，1r

1r

(nが偶數(shù)のとき QPの延長と円板Dの周との交點をPPR：QR1：2f（rt）f（t）?（rt）sin（ 21OP+21であるから，Cnの2≦t≦rのときのグラフは，0≦t≦

21，1，1）（1，1 nSn2=1n2

k||

（ 3よって，點Rのz座標が233 3 k

0≦t≦⑴

2

2n（1）k1sin2ntcos1

CQztの1 2n k1 t＞01Sn2

cos2n 2n

tn≧2

2n（n r 1

1，Sn2

?

よっ ?6

2（

+1 4n2

2tan

また 1（1，1，2） （4n24②において 3であるから，③は 1のときも成りつ

?6求める線分をEFEF2EH2?PE2PH2cos

4n?4n?cosr

?2PQ?QHtan sin

sinr

線分EFをz軸のま

nわりに回転してできる図 cn c）の面積をS（t）とする nS（t）r?OE2r?

［1］T

q1+q

r（OE2r?r r ⑶

（a2+b2+c2）+｛（bc）2+（c+（ab）2よって，a+b+cは奇數(shù)であるので，T1［2］kS（t）1r（2t3t2よって，

?q?は正の奇數(shù)であ … Vとすると⑵0≦t2

2k+1

2

3

221 32t3t2

22

（b2k+1

+（

2 rt2t3

2 a1a，b1b，c1c bncn…①

k2（a+b+c）2? cnan anbn①，②， すなわち 數(shù)列｛Pnは初項a+b+c，公 2の等比數(shù)列であるかPn（a+b+c）（2）n1（a+b1c（12）

ゆえに，q2k+1+q2k+2このことと（＊）を合わせて考えると，Tk+1（正の奇數(shù)正の偶數(shù)）（正の奇數(shù)）となり，Tk+1も正の奇數(shù)であるといえる。 ac ca）a2+bc ab+bd（a+b+c）1

c c 01

bc+d（④よりan+bn+cn（a+b+c）（2）n1また，①よ an+1

1a2+bc0 b（a+d）1c（a+d）1 bc+d20

よって，n≧2nana（a+b+c）?（2）kc）3a1aとなるから，これはn 1のときも成り立つ。3 c）

②③として（bc（ad）②より，a+d—0bc bc①④としてa2d2 （a+d（ad）a+d—0よ a ad⑤を①に代入し ab0 （⑤，⑥，⑦よりabc （0 1このときA（0 となり，これは 00 1ゆえに，A2

01

原點Oからa2+bc0 b（a+d）0 1…⑩ bc+d20…?⑨+⑩として（bc（ad）a+d—0よりb+c b?を⑧に代入してa2b2 b±a⑧?としてa2d2 da?，?を⑨に代入して±2a2a2＞0より2a2 a±

mx+?16m2+9…③にひいた垂線の足をHと ?1?2は原點に関して d12?|?16m2+9? m2+9?? ￠?より c±??よりda

また，?2の方程式は，?1⊥?2より，m—0mてm 1に置き換えたものであるmmよって，④においてm 1に置き換えm ?A±1（ 1

2?9m+16…⑤?（? （0A4

1） 1）（ 01

m0のとき，?2，?2x±4d2すなわち

1 1

ゆえに，⑤はm0（ 24（16m2+9）（A+A2+A3EAA2A3+EOS

m2+1 （A+A2+…+A8+8…（A821

⑶よりよってSd1

?100d1?100A+A2+A3+EAA2+A3E2E+A）（1

（1101

ここで，（d1）2tとおくとS?100tt2?（t50）2+502 4 m2+1 0

0±1 1 ?

2 7

111

m2≧0より36≦t＜64⑥