2023-2024學年北師大版必修第一冊 第一章　2-2　全稱量詞與存在量詞 課件（32張）

激趣誘思在某個城市中有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人.可是,有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀,你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題,如果我們學習了全稱量詞命題與存在量詞命題的知識,就可以通過邏輯進行分析了.知識點撥一、全稱量詞與全稱量詞命題1.全稱量詞命題:在給定集合中,斷言所有元素都具有同一性質的命題叫作全稱量詞命題.2.全稱量詞:在命題中,諸如“所有”“每一個”“任意”“任何”“一切”這樣的詞叫作全稱量詞.用符號“?”表示,讀作“對任意的”.名師點析

1.全稱量詞命題表示的數量可能是無限的,也可能是有限的,由題目而定.2.一個全稱量詞命題可以包含多個變量,如“?x,y∈R,x2+y2≥0”.3.有時全稱量詞是省略的,理解時需要把它補充出來.如:“正方形是矩形”應理解為“所有的正方形是矩形”.微練習給出下列命題:①有的素數是偶數;②在平面內與同一直線所成角相等的兩條直線平行;③存在一個三角形三個內角都相等;④對于實數a,b,|a-1|+|b-1|>0.其中是全稱量詞命題的為

,是存在量詞命題的為

,真命題為

.(填序號)

答案②④

①③

①③二、存在量詞與存在量詞命題1.存在量詞命題:(一個存在量詞命題可以包含多個變量,如“?a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”.)在給定集合中,斷言某些元素具有一種性質的命題叫作存在量詞命題.2.存在量詞:在命題中,諸如“有些”“有一個”“存在”這樣的詞叫作存在量詞.用符號“?”表示,讀作“存在”.名師點析

1.含有存在量詞的命題,不管包含的程度多大,都是存在量詞命題.2.有些命題中雖然沒有寫出存在量詞,但其意義具備“存在”“有一個”等特征的命題都是存在量詞命題.微思考如何判斷存在量詞命題與全稱量詞命題的真假?提示(1)存在量詞命題的真假判斷①要判定存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x,使p(x)成立即可.②要判定一個存在量詞命題是假命題,需對集合M中的任意一個元素x,證明p(x)都不成立.(2)全稱量詞命題的真假判斷①要判定全稱量詞命題“?x∈M,r(x)”是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明r(x)成立;②要判定全稱量詞命題“?x∈M,r(x)”是假命題,只需舉出一個反例,即在集合M中找到一個元素x0,使得r(x0)不成立,那么這個全稱量詞命題就是假命題.三、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定1.全稱量詞命題的否定全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.對于全稱量詞命題p:?x∈M,x具有性質p(x),通常把它的否定表示為?x∈M,x不具有性質p(x).2.存在量詞命題的否定存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.對于存在量詞命題p:?x∈M,x具有性質p(x),通常把它的否定表示為?x∈M,x不具有性質p(x).名師點析

1.含有一個量詞的命題與它的否定真假相反.所以當其中一個命題的真假不易判斷時,可通過判斷另一個命題的真假來得到.2.含有一個量詞的命題的否定,是在否定結論p(x)的同時,改變量詞的屬性,即將全稱量詞改為存在量詞,將存在量詞改為全稱量詞.3.常見詞語的否定原詞語所有的存在任意的是都是等于大于否定存在有所有的某些個不是不都是不等于不大于微練習(1)命題“存在一個三角形,內角和不等于180°”的否定為(

)A.存在一個三角形的內角和等于180°B.所有三角形的內角和都等于180°C.所有三角形的內角和都不等于180°D.很多三角形的內角和不等于180°(2)(2021湖北鄂州高一期末)命題“?x≥0,x2-x≥0”的否定是(

)A.?x<0,x2-x<0B.?x>0,x2-x<0C.?x≥0,x2-x≥0D.?x≥0,x2-x<0(3)命題“?x∈Z,4x-1是奇數”的否定是

.

答案(1)B

(2)D

(3)?x∈Z,4x-1不是奇數課堂篇探究學習探究一全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析例1判斷下列語句是否為全稱量詞命題或存在量詞命題.(1)有些素數的和仍是素數;(2)自然數的平方是正數.解因為(1)含有存在量詞,所以命題(1)為存在量詞命題;又因為“自然數的平方是正數”的實質是“任意一個自然數的平方都是正數”,所以(2)含有全稱量詞,故為全稱量詞命題.綜上所述:(1)為存在量詞命題,(2)為全稱量詞命題.反思感悟

判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路

變式訓練

1下列命題中,是全稱量詞命題的是

,是存在量詞命題的是

.(填序號)

①正方形的四條邊相等;②有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正數的平方根不等于0;④至少有一個正整數是偶數.答案①②③

④探究二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷例2判斷下列命題的真假.(1)?x∈Z,x3<1;(2)存在一個四邊形不是平行四邊形;(3)在平面直角坐標系中,任意有序實數對(x,y)都對應一點P;(4)?x∈N,x2>0.解(1)這是存在量詞命題.因為-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命題.(2)這是存在量詞命題.是真命題,如梯形是四邊形,不是平行四邊形.(3)這是全稱量詞命題.由有序實數對與平面直角坐標系中的點的對應關系知,它是真命題.(4)這是全稱量詞命題.因為0∈N,02=0,所以命題“?x∈N,x2>0”是假命題.反思感悟

判斷全稱量詞命題和存在量詞命題真假的方法(1)要判斷一個全稱量詞命題為真,必須對在給定集合的每一個元素x,使命題p(x)為真;但要判斷一個全稱量詞命題為假時,只需在給定的集合中找到一個元素x,使命題p(x)為假.(2)要判斷一個存在量詞命題為真,只要在給定的集合中找到一個元素x,使命題p(x)為真;要判斷一個存在量詞命題為假,必須對在給定集合的每一個元素x,使命題p(x)為假.

探究三集合中元素的特性及其應用

解(1)命題p的否定“存在正數x,使

≤x-1”.(2)命題q的否定“存在一個三角形有兩個或兩個以上的外接圓或沒有外接圓”.(3)命題r的否定“所有三角形的內角和都小于或等于180°”.(4)命題s的否定“所有的素數都不是奇數”.反思感悟

1.一般地,寫含有一個量詞的命題的否定,首先要明確這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并找到量詞及相應結論,然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞,存在量詞改成全稱量詞,同時否定結論,即得其否定.2.對于省略量詞的命題,應先挖掘命題中隱含的量詞,改寫成含量詞的完整形式,再寫出命題的否定.變式訓練

3寫出下列命題的否定,并判斷其真假.(1)p:?x∈R,x2-x+≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:?x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一個實數x,使x3+1=0.∴命題p的否定是假命題.(2)命題q的否定“至少存在一個正方形不是矩形”,是假命題.(3)命題r的否定“?x∈R,x2+3x+7>0”,是真命題.∴命題r的否定是真命題.(4)命題s的否定“對任意實數x,使x3+1≠0”,是假命題.∵當x=-1時,x3+1=0,∴命題s的否定是假命題.探究四根據命題的真假求參數的取值范圍例4已知命題“?x∈R,x2+ax+1≥0”是假命題,求實數a的取值范圍.分析若全稱量詞命題為假命題,通常轉化為其否定形式——存在量詞命題為真命題來解決;同理,若存在量詞命題為假命題,通常轉化為其否定形式——全稱量詞命題為真命題來解決.解因為全稱量詞命題“?x∈R,x2+ax+1≥0”的否定是“?x∈R,x2+ax+1<0”.由“命題真,其否定假;命題假,其否定真”可知,這個否定形式的命題是真命題.由于y=x2+ax+1的圖象是開口向上的拋物線,借助一元二次函數的圖象易知Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.所以實數a的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞).反思感悟

求解含有量詞的命題中參數范圍的策略(1)對于全稱量詞命題“?x∈M,a>y(或a<y)”為真的問題,實質就是不等式恒成立問題,通常轉化為求函數y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin).(2)對于存在量詞命題“?x∈M,a>y(或a<y)”為真的問題,實質就是不等式能成立問題,通常轉化為求函數y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax).延伸探究(1)若本例中的“假命題”改為“真命題”,求實數a的取值范圍.(2)若本例中的“?x∈R”改為“?x>0”,求實數a的取值范圍.解(1)由題意知Δ≤0,則a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以實數a的取值范圍為[-2,2].(2)因為全稱量詞命題“?x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式為:“?x>0,x2+ax+1<0”.由“命題真,其否定假;命題假,其否定真”可知,這個否定形式的命題是真命題.由于y=x2+ax+1的圖象是開口向上的拋物線,解得a<-2,所以實數a的取值范圍是(-∞,-2).素養(yǎng)形成哥德巴赫猜想1742年,哥德巴赫給歐拉的信中提出了以下猜想:任一大于2的整數都可寫成三個素數之和.但是哥德巴赫自己無法證明它,于是就寫信請教赫赫有名的大數學家歐拉幫忙證明,然而一直到死,歐拉也無法證明.如今數學界已經不使用“1也是素數”這個規(guī)定,哥德巴赫猜想的現代陳述為:任一大于5的整數都可寫成三個素數之和.(n>5:當n為偶數,n=2+(n-2),n-2也是偶數,可以分解為兩個素數的和;當n為奇數,n=3+(n-3),n-3也是偶數,可以分解為兩個素數的和.)歐拉在回信中也提出另一等價版本,即任一大于2的偶數都可寫成兩個素數之和.把命題“任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a的個數與另一個素因子不超過b的個數之和”記作“a+b”.1966年陳景潤證明了“1+2”成立,即“任一充分大的偶