高考中的線性規(guī)劃問(wèn)題

精品文檔-下載后可編輯高考中的線性規(guī)劃問(wèn)題線性規(guī)劃問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，其基本解題策略是定區(qū)域、化函數(shù)、找最值.近年來(lái)，高考中的線性規(guī)劃問(wèn)題更趨靈活多樣，更加深刻的考查學(xué)生解決綜合性問(wèn)題的能力

1.常規(guī)問(wèn)題

例1（2022?山東）設(shè)變量x，y滿足約束條件x+2y≥2，

2x+y≤4，

4x-y≥-1，則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的取值范圍是（）

A.[-32，6]B.[-32，-1]

C.[-1，6]D.[-6，32]

解析作出不等式組表示的可行域，如圖1陰影部分所示，作直線3x-y=0，并向上、下平移，由圖可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z=3x-y取最大值；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z=3x-y取最小值.由x+2y=2，

2x+y=4，解得A（2，0）；由2x+y=4，

4x-y=-1，解得B（12，3）.

所以zmax=3×2-0=6，zmin=3×12-3=-32.所以z=3x-y的取值范圍是[-32，6].

2.非線性目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題

例2（2022?廣東）已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組0≤x≤2，

y≤2，

x≤2y給定.若M（x，y）為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）則z=OM?OA的最大值為（）.

A.42B.32C.4D.3

解析如圖2作出區(qū)域D，目標(biāo)函數(shù)z=2x+y過(guò)點(diǎn)B（2，2）時(shí)取最大值，故z的最大值為2×2+2=4，

故選C.

例3（2022?北京）設(shè)不等式組0≤x≤2，

0≤y≤2表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）.

A.π4B.π-22C.π6D.4-π4

解析如圖3所示，正方形OABC及其內(nèi)部是不等式組所表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域.因此滿足條件的概率是4-π4.

3.含參的線性規(guī)劃問(wèn)題

例4（2022?湖南）設(shè)m>1，在約束條件y≥x，

y≤mx，

x+y≤1下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為.

解析目標(biāo)函數(shù)z=x+my可變?yōu)閥=-

1mx+zm.

因?yàn)閙>1，所以-1

如圖4，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1m+1，mm+1）時(shí)取最大值，

所以1m+1+mm+11，得1

4.平面區(qū)域問(wèn)題

例5（2022安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足

|OA|=|OB|=OA?OB=2，則點(diǎn)集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是（）.

A.22B.23C.42D.43

解析若A，B，C三點(diǎn)共線，P是線外一點(diǎn)，則PA=λPB+μPC，其中λ+μ=1.

在本題中，OA?OB=|OA||OB|cosθ=4cosθ=2θ=π3.

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），B（1，3）.則當(dāng)λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1時(shí)，P在三角形OAB內(nèi)（含邊界）.

根據(jù)對(duì)稱性，所求區(qū)域的面積S=4×三角形OAB的面積=43.

A.2aB.12aC.4aD.4a

解析如果用常規(guī)方法，顯然比較麻煩，有點(diǎn)“小題大做”了.由于直線的位置沒(méi)有特殊要求，因此可選取一個(gè)特殊位置，在此位置處求1p+1q的值即可.

考慮特殊位置PQOF時(shí)，|PF|=|FQ|=12a.所以1p+1q=2a+2a=4a.故選C.

由于高考選擇題的選項(xiàng)已知，求解方法靈活，考查知識(shí)覆蓋面大，內(nèi)涵豐富，出題角度廣，題目形式多樣等特點(diǎn)，要求考生在考場(chǎng)上快速?zèng)Q策，穩(wěn)找解題突破口，準(zhǔn)確快速求解.小