實(shí)際問題與反比例函數(shù)(一)

17．2實(shí)際問題與反比例函數(shù)從容說課在本章的第17．1節(jié)討論了反比例函數(shù)的某些應(yīng)用，在這些實(shí)際應(yīng)用中，課本注意用函數(shù)觀點(diǎn)來處理問題或?qū)栴}的解決用函數(shù)做出某種解釋，用以加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，并突出知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系．而本節(jié)的主要內(nèi)容是讓學(xué)生逐步形成用函數(shù)的觀點(diǎn)處理問題意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法．教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過程，關(guān)注對(duì)問題的分析過程．用函數(shù)的觀點(diǎn)處理實(shí)際問題的關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步提出明確的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)注意分析的過程，即將實(shí)際問題置于已有的知識(shí)背景之中，用數(shù)學(xué)知識(shí)重新理解（這是什么？可以看成什么？），讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光考察實(shí)際問題，同時(shí)，在解決問題的過程中，要充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．此外，在解決問題時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系以及知識(shí)的綜合運(yùn)用．17．2實(shí)際問題與反比例函數(shù)（一）教學(xué)時(shí)間第四課時(shí)三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1．能靈活列反比例函數(shù)表達(dá)式解決一些實(shí)際問題．2．能綜合利用幾何、方程、反比例函數(shù)的知識(shí)解決一些實(shí)際問題．二、過程與方法1．經(jīng)歷分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而解決問題．2．體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決問題的能力．三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1．積極參與交流，并積極發(fā)表意見．2．體驗(yàn)反比例函數(shù)是有效地描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題和進(jìn)行交流的重要工具．教學(xué)重點(diǎn)掌握從實(shí)際問題中建構(gòu)反比例函數(shù)模型．教學(xué)難點(diǎn)從實(shí)際問題中尋找變量之間的關(guān)系．關(guān)鍵是充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析實(shí)際情況，建立函數(shù)模型，教學(xué)時(shí)注意分析過程，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．教具準(zhǔn)備

1．教師準(zhǔn)備：課件（課本有關(guān)市煤氣公司在地下修建煤氣儲(chǔ)存室等）．2．學(xué)生準(zhǔn)備：（1）復(fù)習(xí)已學(xué)過的反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)；（2）預(yù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，嘗試收集有關(guān)本節(jié)課的情境資料．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課活動(dòng)1問題：某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地，為了安全，迅速通過這片濕地，他們沿著前進(jìn)路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨時(shí)通道，從而順利完成了任務(wù)的情境．（1）請(qǐng)你解釋他們這樣的做的道理．

（2）當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S（m2）的變化，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p（Pa）將如何變化？（3）如果人和木板對(duì)濕地的壓力合計(jì)600N，那么？①用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？②當(dāng)木板面積為0.2m③如果要求壓強(qiáng)不超過6000Pa，木板面積至少要多大？④在直角坐標(biāo)系中，作出相應(yīng)的函數(shù)圖象．⑤請(qǐng)利用圖象對(duì)（2）（3）作出直觀解釋，并與同伴交流．設(shè)計(jì)意圖：展示反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用情況，激發(fā)學(xué)生的求知欲和濃厚的學(xué)習(xí)興趣．師生行為：學(xué)生分四個(gè)小組進(jìn)行探討、交流．領(lǐng)會(huì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)意義，體會(huì)數(shù)與形的統(tǒng)一．教師可以引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問題．在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生：①能靈活列反比例函數(shù)表達(dá)式解決一些實(shí)際問題；②能積極地與小組成員合作交流；③是否有強(qiáng)烈的求知欲．生：在物理中，我們?cè)鴮W(xué)過，當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S的增大，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)p將減小．生：在（3）中，①p=（S>0）p是S的反比例函數(shù)；②當(dāng)S=0.2m2時(shí)，p=3000Pa；③如果要求壓強(qiáng)不超過6000Pa，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，木板面積至少0.1m師：從此活動(dòng)中，我們可以發(fā)現(xiàn)，生活中存在著大量的反比例函數(shù)的現(xiàn)實(shí)．從這節(jié)課開始我們就來學(xué)習(xí)“17．2實(shí)際問題與反比例函數(shù)”，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有了反比例函數(shù)，很多實(shí)際問題解決起來會(huì)很方便．二、講授新課活動(dòng)2【例1】市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為10m的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室．（1）儲(chǔ)存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500m（3）當(dāng)施工隊(duì)按（2）中的計(jì)劃挖進(jìn)到地下15m時(shí)，碰上了堅(jiān)硬的巖石，為了節(jié)約建設(shè)資金，公司臨時(shí)改變計(jì)劃把儲(chǔ)存室的深改為15m，相應(yīng)的，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要（保留兩位小數(shù)）．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)反比例函數(shù)是有效地描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題和進(jìn)行交流的重要工具，此活動(dòng)讓學(xué)生從實(shí)際問題中尋找變量之間的關(guān)系．而關(guān)鍵是充分運(yùn)用反比例函數(shù)分析實(shí)際情況，建立函數(shù)模型，并且利用函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題．師生行為：先由學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組內(nèi)合作交流，教師和學(xué)生最后合作完成此活動(dòng)．在此活動(dòng)中，教師有重點(diǎn)關(guān)注：①能否從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型；②能否利用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題中的現(xiàn)象；③能否積極主動(dòng)的闡述自己的見解．

生：我們知道圓柱的容積是底面積×深度，而現(xiàn)在容積一定為104m3．所以S·變形就可得到底面積S與其深度d的函數(shù)關(guān)系，即S=．所以儲(chǔ)存室的底面積S是其深度d的反比例函數(shù)．生：根據(jù)函數(shù)S=，我們知道給出一個(gè)d的值就有唯一的S的值和它相對(duì)應(yīng)，反過來，知道S的一個(gè)值，也可求出d的值．題中告訴我們“公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500m2，即S=500m2，”施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向下挖進(jìn)多深，實(shí)際就是求當(dāng)S=500m時(shí)，d=？m．根據(jù)S=得500=，解得d=20．即施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向下挖進(jìn)20米．生：當(dāng)施工隊(duì)按（2）中的計(jì)劃挖進(jìn)到地下15m時(shí)，碰上了堅(jiān)硬的巖石．為了節(jié)約建設(shè)資金，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為15m，即d=15m，相應(yīng)的儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要；即當(dāng)d=15m，S=？m2呢？根據(jù)S=，把d=15代入此式子，得S=≈．當(dāng)儲(chǔ)存室的深為15m時(shí)，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為666.67m2師：大家完成的很好．當(dāng)我們把這個(gè)“煤氣公司修建地下煤氣儲(chǔ)存室”的問題轉(zhuǎn)化成反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，后面的問題就變成了已知函數(shù)值求相應(yīng)自變量的值或已知自變量的值求相應(yīng)的函數(shù)值，借助于方程，問題變得迎刃而解．三、鞏固提高活動(dòng)3練習(xí)：如右圖，某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為1升（1升＝1立方分米）的圓錐形漏斗．（1）漏斗口的面積S與漏斗的深d有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）如果漏斗口的面積為100厘米2，則漏斗的深為多少？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)反比例函數(shù)是有效地描述現(xiàn)實(shí)世界的重要手段，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題和進(jìn)行交流的重要工具，更進(jìn)一步激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望．師生行為：由兩位學(xué)生板演，其余學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師可巡視學(xué)生完成情況，對(duì)“學(xué)困生”要提供一定的幫助，此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：①學(xué)生能否順利建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；②學(xué)生能否積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的樂趣；③學(xué)生能否注意到單位問題．生：解：（1）根據(jù)圓錐體的體積公式，我們可以設(shè)漏斗口的面積為Scm2，漏斗的深為dcm，則容積為1升=1立方分米=1000立方厘米．所以，S·d=1000，S=．（2）根據(jù)題意把S=100cm2代入S=中，得100=．d=30（cm）．所以如果漏斗口的面積為100cm2，則漏斗的深為30cm活動(dòng)4練習(xí)：（1）已知某矩形的面積為20cm2，（2）當(dāng)矩形的長為12cm時(shí)，求寬為多少？當(dāng)矩形的寬為4cm，求其長為多少？

（3）如果要求矩形的長不小于8cm，其寬至多要多少？設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)從實(shí)際問題中建立函數(shù)模型的過程，即將實(shí)際問題置于已有的知識(shí)背景之中，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)重新理解這是什么？可以看成什么？師生行為：由學(xué)生獨(dú)立完成，教師根據(jù)學(xué)生完成情況及時(shí)給予評(píng)價(jià)．生：解：（1）根據(jù)矩形的面積公式，我們可以得到20=xy．所以y=，即長y與寬x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=．（2）當(dāng)矩形的長為12cm時(shí)求寬為多少？即求當(dāng)y=12cm時(shí)，x=？cm，則把y=12cm代入y=中得12=，解得x=（cm）．當(dāng)矩形的寬為4cm，求長為多少？即當(dāng)x=4cm時(shí)，y=？cm，則把x=4cm代入y=中，y==5（cm）．所以當(dāng)矩形的長為12cm時(shí)，寬為cm；當(dāng)矩形的寬為4cm時(shí)，其長為5cm．（3）y=此反比例函數(shù)在第一象限y隨x的增大而減小，如果矩形的長不小于8cm，即y≥8cm，所以≥8cm，因?yàn)閤>0，所以20≥8x，x≤（cm）．即寬至多是cm．四、課時(shí)小結(jié)本節(jié)課是用函數(shù)的觀點(diǎn)處理實(shí)際問題，并且是蘊(yùn)含著體積、面積這樣的實(shí)際問題，而解決這些問題，關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問題，將實(shí)際問題置于已有的知識(shí)背景之中，用數(shù)學(xué)知識(shí)重新解釋這是什么？可以是什么？逐步形成考察實(shí)際問題的能力，在解決問題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合的思想．板書設(shè)計(jì)活動(dòng)與探究如果等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一次函數(shù)y=x-7的圖象上，頂點(diǎn)C、D在這個(gè)反比例函數(shù)為y=的圖象上，兩底AD、BC平行于y軸，點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)分別為a和a+2，求a的值．過程：組織學(xué)生分小組進(jìn)行交流，而此問題最關(guān)鍵的是數(shù)形結(jié)合．結(jié)果：∵點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為a和a+2，∴可得A（a，a-7），B（a+2，a-4），C（a+2，），D（a，）．∵AB=CD，∴22+32=22+（-）2．即-=±3①由-=3得a2+2a+8=0，方程無解；由-=-3，得a2+2a-8=0，∴a=-4，a=2．經(jīng)檢驗(yàn)a=-4，a=2均為所求的值．備課資料：達(dá)·芬奇巧解數(shù)學(xué)難題還記得尺規(guī)作圖三大難題嗎？它們的背景十分簡單，而作圖卻極其困難．解決三大難題的過程中，許多人破除了限用尺規(guī)作圖的禁令，從而得到了許多作法．歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的繪畫大師達(dá)·芬奇（LeonardodaVinci，1452～1519）就給出了化圓為方問題的一種巧妙作法．所謂“化圓為方”問題是指，求作一正方形，使它的面積等于一個(gè)已知圓的面積．達(dá)·芬奇的作法如下：1．取一個(gè)底面與已知圓相等的圓柱，其高為底面半徑的一半．將圓柱放例，在紙面上滾動(dòng)一周產(chǎn)生一個(gè)矩形（圓柱側(cè)面展開圖）．2．將此矩形化為與它面積相等的正方形．想一想，這樣作出的正方形符合要求嗎？怎樣將一個(gè)矩形化為面積相等的正方形呢？假設(shè)已知圓的半徑為r，則反比例函數(shù)y=圖象上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積一定等于r2．你能利用這個(gè)圖象作出面積等于r2的矩形嗎？能作出面積等于r2的正方形嗎？請(qǐng)你試一試．參考練習(xí)1．由物理學(xué)知識(shí)知道，在力F（N）的作用下，物體會(huì)在力F的方向上發(fā)生位移s（m），力F所做的功W（J）滿足：W=Fs．當(dāng)W為定值時(shí)，F(xiàn)與s之間的函數(shù)圖象