函數(shù)背景下的不等式問題課件

函數(shù)背景下的不等式問題

長沙市十五中高三數(shù)學備課組函數(shù)背景下的不等式問題11.考綱要求*函數(shù)

（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。（2）了解函數(shù)的單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法。（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。（4）理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。（5）理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。 （6）能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題。

1.考綱要求*函數(shù)（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。2*不等式

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明

（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單應用（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。（4）掌握簡單不等式的解法。（5）理解不等式：

*不等式（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明32.函數(shù)與不等式的相依關(guān)系

函數(shù)與不等式的關(guān)系實際上是等與不等的關(guān)系，等與不等的關(guān)系，既對立又統(tǒng)一，相互依存。如含一個未知數(shù)的不等式均可化為f(x)＞0或f(x)＜0的形式，這就是函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值大于零或函數(shù)值小于零，解不等式就是求函數(shù)值對應的x的范圍。對不等式的研究，可以了解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性及函數(shù)圖象的形狀、范圍，同時不等式也是研究函數(shù)極值的重要工具，可以說離開了不等式的研究就認識不了函數(shù)。函數(shù)是高中數(shù)學的基石，高等數(shù)學的靈魂，而不等式是研究函數(shù)的工具，它們是初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的紐帶。所以，它們自然成為高考的重點、熱點，所以高考中長考不衰。2.函數(shù)與不等式的相依關(guān)系函數(shù)與不等式的關(guān)系實43.2004～2005高考試題中解答題函數(shù)與不等式情況的橫向分析3.1考題情況列表分析表Ⅰ（04年）試卷名稱

全國1全國2全國3全國4北京上海天津題號1922191819、2018、1921分值1214121212、1312、1412試卷名稱

重慶湖南浙江福建江蘇廣東遼寧題號20202021222118、20、22分值12121214141212、12、143.2004～2005高考試題中解答題函數(shù)與不等式情況的橫5表Ⅱ(05年)試卷名稱

全國1全國2全國3天津北京理遼寧題號19172220、222022分值12121212、141412試卷名稱

江蘇湖南浙江江西北京（春）題號20無181719、20分值14

141413、13表Ⅱ(05年)試卷名稱全國1全國26表Ⅲ試卷名稱考點提要04`全國1用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間04`全國2用導數(shù)法求函數(shù)的最大值和證明不等式04`全國3有關(guān)函數(shù)與不等式的應用性問題04`全國4求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值04`北京求列車運行誤差中參數(shù)的范圍；有限個正數(shù)的大小比較和不等式的證明04`上海函數(shù)與不等式型的應用性問題；函數(shù)的定義域和參數(shù)的取值范圍04`天津三次函數(shù)的極值和切線的方程04`重慶三次函數(shù)的極值和參數(shù)的取值范圍04`湖南

函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值表Ⅲ試卷名稱704`浙江函數(shù)切線的方程與函數(shù)的最大值04`福建分析分式函數(shù)的單調(diào)性與求不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍04`遼寧解不等式；函數(shù)最值的應用性問題；函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍04`江蘇條件為不等式的不等式的證明04`廣東函數(shù)背景下的解不等式與方程根的判定05`全國1函數(shù)的最值及參數(shù)的取值范圍05`全國2函數(shù)背景下的指數(shù)不等式、絕對值不等式的求解05`全國3利用導數(shù)法求解函數(shù)背景下的不等式問題05`江西函數(shù)背景下求解含參不等式05`浙江二次函數(shù)背景下的解絕對值不等式及求參數(shù)的取值范圍05`北京理抽象函數(shù)背景下的不等式證明05`北京春分式函數(shù)求極值問題05`天津利用導數(shù)法求解函數(shù)背景下的不等式問題05`江蘇求函數(shù)的最值與解不等式05`遼寧利用導數(shù)法求解不等式04`浙江函數(shù)切線的方程與函數(shù)的最大值04`福建分析分式函數(shù)83.2分析與啟示

①在全國04、05年的32份高考試卷中，，有23份考了函數(shù)與不等式的題目占70%，，有9份考了數(shù)列與不等式的題目占30%，同一份試卷中多的出現(xiàn)3道函數(shù)與不等式有04`遼寧，出現(xiàn)2道的有04`北京、04`上海、05`北京、05天津。從題次來看，2004年18道題中排在20題后的有11道，占61%。但在2005年的13道題中排在第17題的有2道，排在第18題的有1道，排在第19題的有2道，排在第20題的有5道，排在第22題的有3題，這說明函數(shù)情景下的不等式問題在高考中有變易的趨勢。我們在應考復習中不宜搞得太難。而數(shù)列與不等式的題目一般在21題與22題。知道了這一點，復習就有了方向。3.2分析與啟示①在全國04、05年的32份高考試9②從試題的題型結(jié)構(gòu)上看，應用題有8道，占25%。05年只有一道函數(shù)與不等式的應用題，設一問的有3道題，占9%，設三問的有6道題（主要出現(xiàn)在全國試卷中），占18%，其余均為2問題，占73%。③從考試內(nèi)容（表Ⅲ）上看，涉及單調(diào)性或最值的有12道題，占38%。求參數(shù)的取值范圍的有10道題，占31%。恒成立問題有2道，占7%，不等式的證明有4道，占13%。幾乎每道題都涉及到了不等式的轉(zhuǎn)化和解不等式，這說明教學中應特別注意解不等式的基本功的訓練，幾種常用證不等式的方法應鞏固加強，恒成立問題的幾種解題方法與解題模式要進行歸納總結(jié)，讓學生對可能出現(xiàn)的問題對之有法，應之有策。②從試題的題型結(jié)構(gòu)上看，應用題有8道，占25%。05年10④從涉及到的函數(shù)形式上看，最多的是以e為底的指、對函數(shù)，有10道題，二次函數(shù)有7道題，分式函數(shù)有7道題，三次函數(shù)有2道題，抽象函數(shù)有4道題，含絕對值的有3道題。這些數(shù)據(jù)表明，因為導數(shù)的加入，以前不太考的超越函數(shù)和三次函數(shù)突然加大了考試的力度而成為一個新的熱點，躍居第一，傳統(tǒng)的二次函數(shù)和分式函數(shù)依然占很大的份額，抽象函數(shù)和含絕對值的函數(shù)在復習時要占一定的比例。

④從涉及到的函數(shù)形式上看，最多的是以e為底的指、對函數(shù)11⑤從整體上看，函數(shù)與不等式在解答題中是考查的重點內(nèi)容，04年較之03年有較大的變化，05`年的試題在04`年的基礎上穩(wěn)中有變，但較之04`年導數(shù)加入高考時的變化要小得多。試卷更加體現(xiàn)初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接性、選拔性。特別值得一提的是，北京這兩年的考題堅持改革創(chuàng)新，題型新穎，一改傳統(tǒng)的應用題模式，更加具高等數(shù)學的語言特征，題目雖然運算量不大，但對思維能力的要求高，給學生留下了較大的探索空間，題目較長，閱讀量大，學生需要認真閱讀理解、分析、搜集、處理多個信息，并提煉、加工，找出數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，對考查學生的創(chuàng)新能力做了新的探索，值得我們在復習中借鑒。

⑤從整體上看，函數(shù)與不等式在解答題中是考查的重點內(nèi)容，124.幾點建議（1）加強對?？己瘮?shù)的模塊訓練，對二次函數(shù)、分式函數(shù)、指、對函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)、分段函數(shù)、恒成立問題及函數(shù)與不等式互相轉(zhuǎn)化的問題進行針對性訓練，可以增強學生考試的應對能力，但不要搞題海戰(zhàn)術(shù)，通過有限的題讓學生掌握解這類題的通法通則。（2）重視導數(shù)在解題中的萬能作用。在高中階段引入導數(shù)，其主要作用是解決切線、極值、單調(diào)性等問題，是每年高考的必考內(nèi)容，利用導數(shù)求解函數(shù)與不等式就顯得必不可少，它可以取代很多初等的求解方法而具有萬能作用。4.幾點建議（1）加強對?？己瘮?shù)的模塊訓練，對二次函數(shù)13（3）函數(shù)與不等式是高中代數(shù)中的重點和難點，復習中首先不宜搞得太難，以免讓學生望而生畏，而應采取螺旋式的復習方法，先易后難，循序漸進，教師講解力求通透，以質(zhì)取勝，一知半解的知識學生是用不動的。（4）加強對文字題的閱讀理解，學生閱讀時第一遍是泛讀，理解大概題意和實際問題的背景，然后才是逐字逐句的推敲，挖掘隱含條件，設自變量，尋找函數(shù)關(guān)系式，建立模型，寫出定義域，再尋找下一步的解題方法。（5）對于不等式的證明問題，首先要訓練學生學會參照目標進行分析、比較，確定證題思路和方法。常用比較法、分析法、綜合法、放縮法、三角換元、反證法、數(shù)學歸納法等，學生要濫熟于心，招之即來，應用自如。（3）函數(shù)與不等式是高中代數(shù)中的重點和難點，復習中首先不145熱點題型舉例例題1：設不等式<0，對于滿足的一切m的值都成立，求x的取值范圍。解一：（主元法）令<0，成立>0，不成立由題意<0<0<<x<x<綜上:5熱點題型舉例例題1：設不等式15解二:(分離系數(shù)法)原不等式可化為:<(1)>0>2<x<1(2)(3)<-2<01<x<綜上:<x<點評：沒有函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)。利用函數(shù)的單調(diào)性解題，這充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在解答數(shù)學問題中的作用。解法二是利用分離系數(shù)的方法，這是解恒成立問題的常規(guī)方法。學生必須掌握好。解二:(分離系數(shù)法)原不等式可化為:<(1)>0>2<16例2：已知函數(shù)f(x)=（a,b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個根為x1=3，x2=4（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）設k＞1,解關(guān)于x的不等式f(x)＜。解：(1)將x1=3，x2=4代入方程求得a=－1,b=2f(x)=(2)不等式即為＜＞0

①1＜k＜2時，②k=2時，③k＞2時，點評：本題以函數(shù)為載體，涉及到了解方程、含參數(shù)的不等式等有關(guān)知識，解題時用到了待定系數(shù)法、方程思想、分類討論，考查了學生多方面的能力。例2：已知函數(shù)f(x)=（a,b為常數(shù)17例3：已知函數(shù)f(x)=，設數(shù)列｛an｝滿足:a1=1,an+1=f(n),設數(shù)列｛bn｝滿足:bn=|an－|,Sn=b1+b2+…+bn,(1)用數(shù)學歸納法證明：；(2)證明：Sn＜證明：（1）當x≥0時，下面用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，，不等式成立。②假設當n=k時，不等式成立，，那么

所以，當n=k+1時，不等式也成立。根據(jù)①和②可知對任意正整數(shù)n，不等式都成立。例3：已知函數(shù)f(x)=18（2）由（1）知，,故對任意正整數(shù)n，點評：本題主要涉及到了函數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學歸納法等基礎知識，這種題型在高考中占有很大的比例，且多為壓軸題。在解題過程中，主要使用轉(zhuǎn)化與化歸的思想。復習以中偏難題為主。（2）由（1）知，19例4：長株潭一體化后，住在一個城市的人到另一個城市上班成為可能，為了方便城市間人員的往來，決定2010年在三個城市間修一條輕軌鐵路，已知長潭相距40Km，株潭相距20Km，有一班車運行時間表規(guī)定：早晨7：00從珠洲出發(fā)，7：15到達湘潭，7：18從湘潭出發(fā)，7：45到達長沙，但在實際運行時有誤差，設運行時以vKm/min勻速行駛。（1）寫出以v為自變量列車到達湘潭、長沙的運行時間誤差之和的函數(shù)關(guān)系式；（2）為確保上班人員正點到達，要求