概率論例題自由度線性代數(shù)中借用術語_第1頁
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文檔簡介

自由度是由線性代數(shù)中借用的術語。定義1.

若存在一組不全為零的常數(shù)

C1、C2、…、Cn使得

C1X1+C2X2+…+CnXn=0，則稱變量

X1、X2、…、Xn

之間存在一個約束條件。定義2.

若存在

k

個約束條件Ci1X1+Ci2X2+…+CinXn=0，

i=1，2，…，k其中系數(shù)矩陣(Cij

)kn

的秩為k

，且對于任何m(k≤m

)個約束：Ci1

'

X1+Ci2'

X2+…+Cin'

Xn=0，

i=1，2，…，m矩陣(

Cij')mn

的秩總不大于

k

，則稱變量

X1、X2、…、Xn

之間存在

k

個獨立的線性約束條件。易知，

X1、X2、…、Xn

中只有

(

n-k

)

個獨立變量。定義3.

若在平方和

∑X

2

中，

X

、X

、…、X

之間存i

1

2

n在著k

個獨立的線性約束條件，則稱平方和∑X

2

的i自由度為n-k

(即其中獨立變量為n-k

個)。#的容量為n

的樣本，求下列統(tǒng)計量的概率分布：例統(tǒng)計量的分布(之一)設

X1，X2，…

，Xn

是來自正態(tài)總體X~N(

,

2)解iini

1i

1nY

1

2.1

n1.

X

X

X

2

2~

N(n

,

n

2

)niii

11.

X

~

N(

,

2

)

X

nii

1

2~

N(0,1)

2.~

2

(n)

X

i

X

1n

ni

2X

~

N(

,

)n

i

1故ii

12~

2

(n)

2n故

Y

1

X

例 查表計算概率P{

1.58

X

1.96}

?P{6.262

2

(15)

24.996}

?

P{

1.58

X

1.96}

P{X

1.96}

P{X

1.58}

P{X

1.96}

1

P{X

1.58}

(1.96)

[1

(1.58)]

0.975

(1

0.943)

0.918若X

~

N

(0,1)若

2

~

2

(15)解：1.

X

~

N(0,1)

P{

2

(15)

6.262}

P{

2

(15)

24.996}

0.975

0.05

0.925注意：查表時應注意分布表的定義與查法！2.

2

~

2

(15)

P{6.262

2

(15)

24.996}0.005

20.9752

(15)

6.262

(15)

24.996例 統(tǒng)計量的分布(之二)設X1，X2，…，Xn+m

是來自正態(tài)總體X~N(0,

2)的容量為n+m的樣本，求下列統(tǒng)計量的概率分布：23.1

1Z2XXnmX2i2in

n

mi

n

1

i

i

1n

m

i

12.

Z

1.

Y

解1.~

N

(0,1)且所有

Xi

相互獨立(i

1,2,...,

n

m)

Xi

Xni2i

X

2

i

1n

m

i

1~

2

(n

m)

1

2故

Y

從而有2~

t(m)V

mUXnminX

Z

n

mi

n

1

i

i

13.U

~

N

(0,1)

U

2

~

2

(1)

ninin

2

~

N

(0,1)~

N

(0,

n

2

)

U

Xi

1i

12.

因

XU與V相互獨立

i

X

2~

2

(m

)，

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