圓的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及典型例題

圓的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及典型例題輔導(dǎo)學(xué)案：圓的基本性質(zhì)一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.圓的定義及有關(guān)概念圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形。圓的一些相關(guān)概念包括弦、直徑、弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓、弦心距、等圓、同圓、同心圓等。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。2.平面內(nèi)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的半徑為r，同一平面內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離為d，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以分為在圓外、在圓上和在圓內(nèi)三種情況。二、例題解析例1：如圖，在Rt△ABC中，直角邊AB=3，BC=4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫圓，則點(diǎn)E在圓A的內(nèi)部，點(diǎn)F在圓A的上方。例2：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓O的半徑為5，圓心O的坐標(biāo)為(-1,-1)，點(diǎn)P(3,-4)。判斷點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系。例3：下列說法中，正確的是：直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是直徑；半徑相等的兩個(gè)半圓是等??；一條弦把圓分成兩段弧中，至少有一段優(yōu)弧。例4：有下列四個(gè)命題：直徑相等的兩個(gè)圓是等圓；長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??；圓中最大的弦是通過圓心的弦；一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧不可能是等弧。其中真命題是直徑相等的兩個(gè)圓是等圓。三、垂徑定理及應(yīng)用垂徑定理指出，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。平分弦的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。垂徑定理最重要的應(yīng)用是通過勾股定理來解決有關(guān)弦、半徑、弦心距等問題。例1：下列語句中正確的是：相等的圓心角所對(duì)的弧相等；相等的弧所對(duì)的弦相等；平分弦的直徑垂直于弦；弦的垂直平分線必過圓心。例2：過圓內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為10cm，最短弦長(zhǎng)為8cm，那么OM的長(zhǎng)為9cm。例3：如圖所示，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，小圓的弦AB的延長(zhǎng)線交大圓于C，若AB=6，BC=1，則與圓環(huán)的面積是π(26-3)。例4：在半徑為5厘米的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長(zhǎng)為8厘米，另一條弦長(zhǎng)為6厘米，則兩弦之間的距離為1厘米。例5、矩形ABCD與圓心在AB上的⊙O交于點(diǎn)G、B、F、E，已知GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，求EF的長(zhǎng)度。解：根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到AG=CD=BC=8cm，因此，OD=4cm，OE=3cm。根據(jù)圓上兩點(diǎn)間的距離公式，可以得到EF=2OE=6cm。例6、如圖所示，是直徑為650mm的圓柱形輸油管的橫截面，已知油面寬AB=600mm，求油面的最大深度。解：根據(jù)圓柱體橫截面的性質(zhì)，可以得到油面的形狀為一個(gè)半徑為325mm的半圓。設(shè)油面的最大深度為h，則根據(jù)勾股定理，可以得到h^2+325^2=600^2，解得h=475mm。例7、如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于M，且M是半徑OB的中點(diǎn)，CD=8cm，求直徑AB的長(zhǎng)。解：根據(jù)垂徑定理，可以得到MC=MD=4cm。由于M是半徑OB的中點(diǎn)，因此OB=2MC=2MD=8cm。根據(jù)勾股定理，可以得到AB=2OB=16cm。例8、工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小圓孔的寬口，已知鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度為多少毫米。解：根據(jù)圖中所示的三角形，可以得到AB=2×AC=2×√(10^2-8^2)=12mm。例9、把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=16厘米，則球的半徑為8厘米。解：根據(jù)圖中所示的三角形，可以得到球心到長(zhǎng)方體邊的距離為8厘米，因此球的半徑為8厘米。例1、下圖中BOD的度數(shù)是150度。例2、已知：如圖，AB、DE是⊙O的直徑，AC∥DE，交⊙O于點(diǎn)C，證明：BE=CE。解：由于AC∥DE，因此∠CDE=∠CAE。又因?yàn)锳B、DE是⊙O的直徑，因此∠CDE=90度，∠CAE=90度，因此ACDE是一個(gè)矩形。根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到BE=CE。例3、如圖，已知⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E，弧AC的度數(shù)為60°，弧BD的度數(shù)為100°，求∠AEC的度數(shù)。解：根據(jù)圓周角定理，可以得到∠AOC=2×60°=120度，∠BOD=2×100°=200度。由于AB、CD是弦，因此∠AEB=∠CED=90度。根據(jù)角度和為180度的性質(zhì)，可以得到∠AEC=360度-120度-200度-90度-90度=60度。例4、如圖所示，A、B、C、D是圓上的點(diǎn)，已知∠C=30度，∠B=40度，求∠1的度數(shù)。解：根據(jù)圓周角定理，可以得到∠ACB=2×30度=60度，∠ADB=2×40度=80度。由于AB、CD是弦，因此∠ABC=∠ADC=90度。根據(jù)角度和為180度的性質(zhì)，可以得到∠1=360度-60度-80度-90度-90度=40度。例1、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6cm的正三角形ABC木塊，點(diǎn)P是邊CA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，繩長(zhǎng)AP為15cm。握住點(diǎn)P，拉直細(xì)繩，把它緊緊纏繞在三角形ABC木塊上（纏繞時(shí)木塊不動(dòng)），則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為15cm+6πcm。例2、如圖所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，將矩形ABCD在直線l上按順時(shí)針方向不滑動(dòng)的每秒轉(zhuǎn)動(dòng)90度，轉(zhuǎn)動(dòng)3秒后停止，則頂點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng)為16+12πcm。例3、這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池，其形狀類似于一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)半圓柱。中間可供滑行的部分是一個(gè)半徑為4米的半圓，其邊緣AB和CD的長(zhǎng)度均為20米，點(diǎn)E位于CD上，且CE的長(zhǎng)度為2米。如果一個(gè)滑板愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，他所滑行的最短距離約為多少米。例4、如圖所示，五邊形ABCDE的每個(gè)頂點(diǎn)都有一個(gè)半徑為1的圓。將這些圓連接起來，形成了五個(gè)扇形。求這些扇形的面積之和（陰影部分）。例5、小麗自己動(dòng)手做了一頂圓錐形的圣誕帽，母線長(zhǎng)為30厘米，底面半徑為10厘米。她想在