離散型隨機變量的取值及其含義

離散型隨機變量的取值及其含義基礎訓練題1．下列變量中，不是隨機變量的是A.以射擊手射擊一次命中的環(huán)數 B.標準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度C.拋擲兩顆骰子，所得點數之和 D.某電話總機在時間區(qū)間（0,T）內收到的呼叫次數解：選項B中，水沸騰的溫度是一個確定值，不是隨機變量.選B.10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是A.取到產品的件數B.取到正品的概率 C.取到次品的件數 D.取到次品的概率解：選項A中取到產品的件數是一個常量，不是變量；選項B、D中也是一個定值.而選項C中取到次品的件數可能是0,1,2，是隨機變量.選C.設隨機變量耳是某城市一天之中發(fā)生交通事故的次數；隨機變量n是某城市一天之中的溫12度；隨機變量n是火車站一小時內的游客流動人數，這三個隨機變量中為離散型隨機變量的是3TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"а. n和n b.n c.n和n d.n1 3 2 2 3 3解：交通事故與游客流動的次數均為離散型隨機變量，而在一天之內的溫度是連續(xù)型隨機變量?選A.一個袋中裝有10個紅球，5個白球，從中任取4個球，被取出的求為紅球的個數為X，寫出隨機變量X所有可能的值： .解：因為有10個紅球，故X可能的取值為0,1,2,3,4.5．在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產品中任取3件，以隨機變量X表示其中的一等品件數，則事件｛X=k｝中共有CkC3_k（k=0丄2,3）個基本事件.\o"CurrentDocument"3 7、 'б. 鄭州到武漢的電力化鐵道線上，每隔50m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電力化鐵道線上電線鐵塔的編號為X,則該隨機變量是離散型隨機變量.解：X是離散型隨機變量，因為鐵塔是有限個，其編號從1開始可一一可列舉出來.新知學習隨機變量如果隨機試驗的結果可以用一個隨著試驗結果變化而變化的變量來表示，那么這樣的變量叫做 ，隨機變量常用字母x,y,g,n等表示.離散型隨機變量取值 的隨機變量，稱為離散型隨機變量.答案：隨機變量一一可列舉.注：（1）離散型隨機變量的實質就是用數來表示事件.（2）求離散型隨機變量的步驟：設出隨機變量；弄清試驗可能出現的結果；用數字表示試驗的結果.隨機變量與函數的異同（1）相同點：都是映射.隨機變量是把隨機試驗的結果映射為實數；而函數則把實數映為實數.（1）不同點：（1） 研究對象的不同隨機變量研究的隨機現象；而函數研究的是確定性現象.（ii）三要素不同隨機變量X的定義域為隨機試驗的所有可能結果構成的集合，其值域是隨機變量的所有值構成的集合，對應關系是隨機試驗的所有可能結果的一一列舉；而函數的定義域則是非空數集，對應關系多為解析式、列表、圖象等形式.例題解析例1（離散型隨機變量的判定）判斷下列各個變量是否是隨機變量，若是，是否是離散型隨機變量？（1）某公司信息臺一天接到的咨詢電話個數；（2） 從10張已編號號碼的卡片（從1號到10號）中任取一張，被抽出卡片的號數；（3） 某林場的樹木最高達30m,在此林場中任取一棵樹木的高度；（4） 體積為27cm3的正方體的棱長.技法述要判斷一個隨機變量是否是離散型隨機變量的關鍵是判斷隨機變量的所有取值是否可以一一列出，具體方法如下：（1）明確隨機試驗的所有可能結果；（2）將隨機試驗的結果數量化；（3）確定試驗結果所對應的實數是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，則該隨機變量就是離散型隨機變量，否則不是．解：（1）接到的咨詢電話的個數從小到大一一可列，出現哪一個結果是隨機的，因此是隨機變量，且是離散型隨機變量．（2）被抽取的卡片號數可以一一列出，符號離散型隨機變量的定義，是離散型隨機變量．（3）林場樹木的高度是一個隨機變量，由于樹木個數十分龐大，因此可以認為該隨機變量可以取內的一切值，無法一一列出，不是離散型隨機變量．（4）體積為27cm3的正方體的棱長為3cm，為定值，不是隨機變量.例2（求離散型隨機變量的可能取值）寫出下列隨機變量的可能取值，并說明隨機變量取的值所表示的隨機試驗的結果.（1） 袋中裝有10個紅球和5個白球，從中任取4個球，其中所含紅球的個數為X；（2） 拋擲兩個骰子，所的點數之和為X，所的點數之和為偶數Y.技法述要（1）求離散型隨機變量的可能取值，要設出隨機變量，弄清試驗可能出現的結果，將它們用數字表示出來．（2）掌握隨機變量的取值與它刻畫的隨機試驗的結果的對應關系是理解隨機變量概念的關鍵．解：（1）X的可能取值為0,1,2,3,4.X=k表示取出k個紅球，4-k個白球，其中k=0,1,2,3,4.（2）X的可能取值為2,3,4，..,12.若以（i,力表示拋擲甲、乙兩個骰子后骰子甲得i點且骰子乙得j點，則X=2表示（1,1）；X=3表示（12）,（2,1）；X=4表示（13）,（2,2）,（3,1）；…；X=12表示（6,6）.Y的可能取值為2,4,6,8,10,12.例3（離散型隨機變量的可能取值及其含義）寫出下列隨機變量的可能值，并說明隨機變量的取值表示的事件．（1） 在含有5件次品的200件產品中任意抽取4件，其中次品件數X是一個隨機變量；（2） 一袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數Y是一個隨機變量．技法述要解決此類問題的關鍵是理解清楚隨機變量所有可能的取值及取每一個值時表示的試驗結果，不要漏掉或多取值，同時要找好對應關系.解：（1）隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4.｛X=0｝表示抽取0件次品；｛X=1｝表示抽取1件次品；｛X=2｝表示抽取2件次品；｛X=3｝表示抽取3件次品；｛X=4｝表示抽取4件次品；（2）隨機變量Y的可能取值為0,1,2,3.｛Y=0｝表示取出0個白球，3個黑球；｛Y=1｝表示取出1個白球，2個黑球；｛Y=2｝表示取出2個白球，1個黑球；｛Y=3｝表示取出3個白球，0個黑球.例4（離散型隨機變量函數的取值及苴含義）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，neN）的函數解析式．解：（1）當日需求量n>16時，利潤y=80.當日需求量n<16時，利潤y=10n-80.所以y關于n的函數解析式為y=嚴"一"-15，（neN）./ I80,n>16鞏固訓練如果X是一個離散型隨機變量且Y=aX+b，其中a,b是常數且a豐0，那么Y DA.不一定是隨機變量 B.—定是隨機變量，不一定是離散型隨機變量C.可能是定值 D.—定是離散型隨機變量解：若X是離散型隨機變量，根據函數的性質，則Y必是離散型隨機變量.選D.設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X描述1次試驗的成功次數，則X的值可以是A.2 B.2或1 C.1或0 D.2或1或0解：這里“成功率是失敗率的2倍”是干擾條件，對1次試驗的成功次數沒有影響，故X可能取值有兩種，即0,1.選C.拋擲兩枚骰子，所的點數之和為X，那么X=4表示的隨機試驗結果是A.一枚是3點，一枚是1點 B.兩枚都是2點C.兩枚都是4點 D.一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點解：對選項A，B中表示的隨機試驗的結果，隨機變量均取值4，而D是X=4代表的所有實驗結果.選D.TOC\o"1-5"\h\z拋擲兩顆骰子，設所得點數之和為X，那么X=4表示的隨機試驗結果為 .解：兩次二維表格不難得出，一顆是1點，另一顆是3點，或者兩顆都是2點.5?從標有1?10的10支竹簽中任取2支，設所得2支竹簽上的數字之和為X，那么隨機變量X可能取得的值有 個.解：X可能的取值為3,4,5,6,7,8,9，...，19，共有17個.6．某小組有12位同學，其中恰有5人是長跑愛好者，現最多逐個派出4人去執(zhí)行一項任務，當派到一位長跑愛好者就不再派出了.用X表示派出的人數，則X所有可能的值為 .解:X最少是只派出1人即長跑愛好者,最多是派出的4人都不是長跑愛好者，或第4為是長跑愛好者，故X的所有可能值為1,2,3,4.參考例題1．（用適當的方式揭示離散型隨機變量的取值）一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數為X.（1） 列表說明可能出現的結果與對應的X的值；（2） 若規(guī)定每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結果都加上6分，求最終得分的可能取值．解：（1）X0123結果取得3個黑球2個黑球1個白球1個黑球2個白球2個白球(2)由題意可得，而X可能的取值為0,1,2,3，故Y的可能取值為6,11,16,21．2．一紙箱中裝著標有1，2，3，4，5的5個同樣大小的標簽，現從中隨機抽取3個標簽，以X表示取出標簽的最大號碼，求X的所有可能值，并說明所取值表示的隨機試驗結果．解：X可能的求值為3,4,5.X=3表示取出的是標有1,2,3的3個標簽；X=4表示取出的是標,1,2,4或1,3,4或2,3,4的3個標簽；X=5表示取出的是標有1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5的3個標簽.3．寫出下列隨機變量的可能取值的集合，并說明隨機變量的值所表示的隨機試驗的結果．從一個裝有編號分別為1，2，?，10的10個球(除編號外完全相同)的袋中任取1球，被取出的球的編號為X；一個袋中裝有10個紅球、5個白球，這些球除顏色外完全相同，從中任取4個球，苴中所含紅球的個數為X；(3)投擲兩顆質地均勻的骰子，所得點數之和為X.解：(1)隨機變量X的可能取值的集合為｛1,2,3,,10｝,X=i(i=1,2,3,,10)表示取出i號球.(2)X的可能取值的集合為｛0,12,3,4｝，X=i表示取出i個紅球和4-i個白球，其中i=0,12,3,4.X的可能取值的集合為｛2,3,4,,12｝，若以(i,力表示投擲甲、乙兩顆骰子后骰子甲得i點、骰子乙得j點，則X=2表示(1,1)；X=3表示(12),(2,1)；X=4表示(13),(2,2),(3,1)；…，X=12表示(6,6)?其中i=1,2,3,4,5,6,j=1,2,3,4,5,6.自我測試1.①某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數記為X；每人射擊2次，擊中目標的環(huán)數之和記為X；測量一批電阻，阻值在950口1200Q之間；一個在數軸上隨機運動的質點，它離原點的距離記為X.苴中是離散型隨機變量的是A.①② B.①③ C.①④ D.①②④解：①②中變量所有可能的取值是可以——可列舉出來的，是離散型隨機變量，而③④中的結果不可能——列出，故不是離散型隨機變量.選A.2．袋中裝有大小相同的5個球，分別裝有1，2，3，4，5五個號碼．現在在有放回的條件下依次取出兩個球，設兩個球的號碼之和為隨機變量，則所有可能取值的個數是A．5 B．9 C．10 D．25解：列二維表可知，兩個求的號碼之和可為2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9個.選B.3．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白球為止時，所需要的取球次數為隨機變量X，則X的可能值為A．1,2,,6 B．1,2,,7 C．1,2,,11 D．1,2,3,解：有可能是前6次取到的都是紅球，直到第7次才是白球.選B. … …一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6.現從中隨機取出2個球，以X表示取出的球的最大號碼，則“X=6”表示的試驗結果是 .解：以(i,6)表示試驗的結果，其中i取到的兩個球較小的編號，則X=4表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6).5．一用戶在打電話時忘記了號碼的最后三個數字，只記得最后三個數字兩兩不同，且都大于5，于是他隨機撥最后三個數字(兩兩不同)，設他撥到所要號碼的次數為X，則隨機變量X的可能取值共有個 .解：后三個數字兩兩不同且都大于5的電話號碼共有A3=24種，故X的取值為1,2,3,...,24.46．有4支不同標價的圓珠筆，分別為10元、20元、30元、40元，從中任取兩支，設它們的標價和為X，則隨機變量X的可能取值共有個 .解：列表可知，隨機變量X的取值共有5個，分別為30,40,50,60,70.7．將一顆均勻正四面體的四個表面分別涂上黑、白、紅、藍四種不同的顏色，隨機拋擲這個正四面體，考慮朝下一面的顏色，將所有可能的基本事件用隨機變量表示．解：將事件“朝下一面為黑色”用1表示，即用｛X=1｝表示事件“朝下一面為黑色”，同樣，用｛X=2｝表示事件“朝下一面為白色”，用｛X=3｝表示事件“朝下一面為紅色”，用｛X=4｝表示事件“朝下一面為藍