新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.2.4向量的數(shù)量積課件

6.2.4

向量的數(shù)量積課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過物理中功的實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義.2.會計(jì)算平面向量的數(shù)量積.3.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.4.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.5.加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、兩個向量的夾角與垂直【問題思考】1.如圖,一個物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,其中力、位移分別是矢量還是標(biāo)量?它們的夾角是什么?提示:力、位移都是矢量,夾角為θ.2.填表:兩個向量的夾角與垂直

答案:A二、向量的數(shù)量積【問題思考】1.【問題思考1】中,力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算?決定功大小的量有哪幾個?功是矢量還是標(biāo)量?提示:由物理知識容易得到W=|F||s|cos

θ,決定功的大小的量有力、位移及其夾角,其中功是標(biāo)量.2.填表:兩個非零向量的數(shù)量積

3.特別提醒:(1)“·”是數(shù)量積的運(yùn)算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”;(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量;(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個向量的夾角θ決定:當(dāng)θ是銳角時(shí),數(shù)量積為正;當(dāng)θ是鈍角時(shí),數(shù)量積為負(fù);當(dāng)θ是直角時(shí),數(shù)量積等于零.答案:C三、投影向量【問題思考】1.如圖,已知線段AB和直線l,過線段AB的兩個端點(diǎn)A,B,分別作直線l的垂線,垂足分別為A1,B1,得到線段A1B1,那么線段A1B1叫做什么?提示:線段A1B1叫做線段AB在直線l上的投影線段.2.設(shè)直線AB與直線l的夾角為θ,那么|A1B1|與|AB|,θ之間有怎樣的關(guān)系?提示:|A1B1|=|AB|cos

θ.4.做一做:已知非零向量a與b的夾角為45°,|a|=2,與b方向相同的單位向量為e,向量a在向量b上的投影向量為c,則c=

.四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【問題思考】已知兩個非零向量a,b,θ為a與b的夾角,e為與b方向相同的單位向量.1.根據(jù)數(shù)量積公式,計(jì)算a·e,a·a.提示:a·e=|a||e|cos

θ=|a|cos

θ,a·a=|a||a|cos

0°=|a|2.2.若a·b=0,則a與b有什么關(guān)系?提示:∵a·b=|a||b|cos

θ=0,a≠0,b≠0,∴cos

θ=0,θ=90°,a⊥b.3.當(dāng)θ=0°和180°時(shí),數(shù)量積a·b分別是什么?提示:當(dāng)θ=0°時(shí),a·b=|a|·|b|;當(dāng)θ=180°時(shí),a·b=-|a|·|b|.4.填空:設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.

(2)a⊥b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|.

答案:30°五、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【問題思考】1.根據(jù)實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律,類比得出向量數(shù)量積的運(yùn)算律(如下表),這些結(jié)果正確嗎?提示:除結(jié)合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是錯誤的,其他都是正確的.2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)0·a=0a.(

×

)(2)若a·b=0,則a與b至少有一個為零向量.(

×

)(3)若a·c=b·c(c≠0),則a=b.(

×

)(4)對于任意向量a,都有a·a=|a|2.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

計(jì)算平面向量的數(shù)量積【例1】

已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夾角是120°,a,c的夾角是45°.求:(1)a·b;(2)(a-2b)·(3a+b);分析:根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律進(jìn)行求解.求向量數(shù)量積的一般步驟:(1)運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算律展開、化簡;(2)確定向量的模與夾角;(3)套用數(shù)量積的定義式代入計(jì)算即得.

【變式訓(xùn)練1】

已知|a|=4,|b|=7,且向量a與b的夾角為120°,求(2a+3b)·(3a-2b).解:(2a+3b)·(3a-2b)=6a2-4a·b+9b·a-6b2=6|a|2+5a·b-6|b|2=6×42+5×4×7×cos

120°-6×72=-268.探究二

求投影向量【例2】

已知|a|=4,e為單位向量,它們的夾角為,則向量a在向量e上的投影向量是

;向量e在向量a上的投影向量是

.

向量a在向量b上的投影向量的求法將已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos

θe(e是與b方向相同的單位向量,且

)中計(jì)算即可.【變式訓(xùn)練2】

已知|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為60°,則向量a在向量b上的投影向量是

.

探究三

利用數(shù)量積解決向量的夾角和垂直問題【例3】

(1)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為(

)解析:由題意,得a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即a·b=-2a2,設(shè)a與b的夾角為θ,答案:C(2)已知a,b是兩個非零向量,同時(shí)滿足|a|=|b|=|a-b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角.分析:(1)將已知條件展開變形后利用數(shù)量積的定義求解;(2)可考慮夾角公式和數(shù)形結(jié)合兩種方法求解.解法一:由向量運(yùn)算的幾何意義知a+b,a-b是以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線.解法二:根據(jù)|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60°,且|b|=4|a|,當(dāng)(a+2b)⊥(ka-b)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.解:因?yàn)?a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,所以k|a|2+2(2k-1)|a|2-32|a|2=0,化簡得k+2(2k-1)-32=0,解得1.求平面向量夾角的方法:(1)利用公式

,求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關(guān)系,然后代入求解.(2)求向量的夾角,還可結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.2.非零向量a·b=0?a⊥b是非常重要的性質(zhì),它對于解決平面幾何圖形中的有關(guān)垂直問題十分有效,應(yīng)熟練掌握.探究四

求向量的模根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得

,這是求向量的模的一種方法,即要求一個向量的模,先求這個向量與自身的數(shù)量積(一定非負(fù)),再求它的算術(shù)平方根.對于復(fù)雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算術(shù)平方根即為|a+b|.【變式訓(xùn)練4】

已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因?yàn)閨a+b|=4,所以|a+b|2=16,所以a2+2a·b+b2=16.①因?yàn)閨a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因?yàn)?a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,易

錯

辨

析錯用兩向量的夾角致誤

以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案:B1.在一個平面圖形中求兩個向量的夾角時(shí),切記不能直接將該平面圖形的某個內(nèi)角理解為兩個向量的夾角,必須將兩向量的起點(diǎn)平移到一個點(diǎn)上,根據(jù)向量的方向得出向量的夾角.如△ABC中,

的夾角不是∠B,而是∠B的補(bǔ)角.2.向量的夾角與直線的夾角范圍不同,它們分別是[0,π]和

.3.積累直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的經(jīng)驗(yàn).

答案:-4隨

堂

練

習(xí)答案:C答案:A3.若向量a與b的夾角為6