差分方程模型的理論和方法

#=1k=06(n)=|則Z(8(n))=^8(k)z-k=(1=1k=0I0,n豐0k=0u(n)二;0,貝0z(u(n))=藝u(k)z-k=Sz-k=z,|z〉1,I0,k<0z一1TOC\o"1-5"\h\zk=0k=0設(shè)f(n)=an，則Z(an)=Sakz-k=—z—,|z|>a,a>0,z一ak=0⑷設(shè)f(n)=厶則Z(+)=S1z-k=e：,|z|>0

~n!n!k'!k=0第二節(jié)差分方程常用解法與性質(zhì)分析1、常系數(shù)線性差分方程的解方程ax+ax+...+ax=b(n)(8)其中a,a,...,a為常數(shù)，稱方程(8)為常系數(shù)線性方程。01k又稱方程ax+ax+...+ax=0(9)為方程(8)對應(yīng)的齊次方程。如果(9)有形如x=Xn的解，帶入方程中可得：nakk+akk-1+...+a九+a=0(10)01k-1k如果能求出(10)的根，則可以得到(9)的解。稱方程(10)為方程(如果能求出(10)的根，則可以得到(9)的解?；窘Y(jié)果如下：(1)若(10)有k個不同的實(shí)根，則(9)有通解：x=ckn+ckn+...+ckn，若(10)有m重根k，則通解中有構(gòu)成項(xiàng)：(c-+c-n+...+c-nm-1)kn12m若(10)有一對單復(fù)根k=a±i卩，令：k=pe±g，p=v-'a2+p2,甲=arctan卩，則(9)的通解中有構(gòu)成項(xiàng)：acpncos申n+cpnsin申n若有m重復(fù)根：X=a±i卩，九二pe土訓(xùn)，則(9)的通項(xiàng)中有構(gòu)成項(xiàng)：(c+cn+...+cnm-i)pncos申n+(c+cn+...+cnm-1)pnsin申n12mm+1m+22m綜上所述，由于方程(10)恰有k個根，從而構(gòu)成方程(9)的通解中必有k個獨(dú)立的任意常數(shù)。通解可記為：xn如果能得到方程(8)的一個特解：x*，則(8)必有通解：nx二x+x*(11)nnn(8)的特解可通過待定系數(shù)法來確定。例如：如果b(n)二bnp(n),p(n)為n的多項(xiàng)式，則當(dāng)b不是特征根時，可設(shè)成形如bnq(n)形式的特解，其中q(n)為m次多項(xiàng)式；如果b是r重根時，可設(shè)特解：bnnrq(n)，將其代入(8)中確定出系數(shù)即m可。2、差分方程的z變換解法對差分方程兩邊關(guān)于x取Z變換，利用x的Z變換F(z)來表示出x的Z變換，然后通過解代數(shù)方程求出F(z)，并把F(z)在z=0的卞軍析圓環(huán)域中展開成洛朗級數(shù)，其系數(shù)就是所要求的xn例1設(shè)差分方程x+3x+2x二0,x二0,x二1，求xn+2n+1n01n解：解法1：特征萬程為九2+3九+2二0，有根：九=-1,九=-2

12

故：x二c(-1)n+c(-2)n為方程的解。由條件x二0,x二1得：x二(-1)n—(-2)n解法2：設(shè)F(z)=Z(x),方程兩邊取變換可得：n1z2(F(z)-x-x.)+3z(F(z)-x)+2F(z)=001z0由條件x二0,x二1得F(z)=z—01z2+3z+2由F(z)在|z|>2中解析，有1111F(z)二z([-2)二[-2z+1z+21+-1+-二藝(-1)k1-送(-1)2k=送(-1)k(1-2k)z-kk=0zkk=0zkk=0zz所以，x二(-1)n-(-2)nn3、二階線性差分方程組設(shè)z(n)二(蔦)，A=(ab)，形成向量方程組ycdnz(n+1)=Az(n)(12)貝Uz(n+1)=Anz(1)(13)(13)即為(12)的解。為了具體求出解(13)，需要求出An，這可以用高等代數(shù)的方法計算。常用的方法有：如果A為正規(guī)矩陣，則A必可相似于對角矩陣，對角線上的元素就是A的特征值，相似變換矩陣由A的特征向量構(gòu)成：A=p-1Ap,An=p-1Anp,Az(n+1)=(p-1Anp)z(1)。將A分解成A=gq/,,g，耳為列An=(g.q/)n=g.q/.gy\/..gy\=(gn-1.A從而，z(n+1)=Anz(1)=(g/n)n-1.Az(1)(3)或者將A相似于約旦標(biāo)準(zhǔn)形的形式，通過討論A的特征值的性態(tài)，找出An的內(nèi)在構(gòu)造規(guī)律，進(jìn)而分析解z(n)的變化規(guī)律，獲得它的基本性質(zhì)。4、關(guān)于差分方程穩(wěn)定性的幾個結(jié)果k階常系數(shù)線性差分方程(8)的解穩(wěn)定的充分必要條件是它對應(yīng)的特征方程(10)所有的特征根九,i=l,2...k滿足卜」<1TOC\o"1-5"\h\zii一階非線性差分方程x1=f(x)(14)n+1n(14)的平衡點(diǎn)x-由方程x-=f(x-)決定，將f(x)在點(diǎn)x處展開為泰勒形式：nf(x)=f/(x-)(x-x-)+f(x-)(15)nn故有：f/(X)<1時，(14)的解X是穩(wěn)定的，f/(x)>1時，方程(14)的平衡點(diǎn)-是不穩(wěn)定的。第三節(jié)差分方程建模舉例差分方程建模方法的思想與與一般數(shù)學(xué)建模的思想是一致的，也需要經(jīng)歷背景分析、確定目標(biāo)、預(yù)想結(jié)果、引入必要的數(shù)值表示（變量、常量、函數(shù)、積分、導(dǎo)數(shù)、差分、取最等）概念和記號、幾何形式（事物形狀、過程軌跡、坐標(biāo)系統(tǒng)等），也就是說要把事物的性態(tài)、結(jié)構(gòu)、過程、成分等用數(shù)學(xué)概念、原理、方法來表現(xiàn)、分析、求解。當(dāng)然，由于差分方程的特殊性，首先應(yīng)當(dāng)把系統(tǒng)或過程進(jìn)行特別分解，形成表現(xiàn)整個系統(tǒng)的各個部分的離散取值形式，或形成變化運(yùn)動過程的時間或距離的分化而得到離散變量。然后通過內(nèi)在的機(jī)理分析，找出變量所能滿足的平衡關(guān)系、增量或減量關(guān)系及規(guī)律，從而得到差分方程。另外，有時有可能通過多個離散變量的關(guān)系得到我們關(guān)心的變量的關(guān)系，這實(shí)際上建立的是離散向量方程，它有著非常重要的意義。有時還需要找出決定變量的初始條件。有時還需要將問題適當(dāng)分成幾個子部分，分別求解。模型1種群生態(tài)學(xué)中的蟲口模型：在種群生態(tài)學(xué)中，考慮像蠶、蟬這種類型的昆蟲數(shù)目的變化，他的變化規(guī)律是：每年夏季這種昆蟲成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成一個蟲子。建立數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)蟲子數(shù)目的變化規(guī)律。模型假設(shè)與模型建立：假設(shè)第n年的蟲口數(shù)目為P，每年n一個成蟲平均產(chǎn)卵c個（這個假設(shè)有點(diǎn)粗糙，應(yīng)當(dāng)考慮更具體的產(chǎn)卵分布狀況），則有：P二cP，這是一種簡單模型；n+1n如果進(jìn)一步分析，由于成蟲之間會有爭斗以及傳染病、天敵等的威脅，第n+1年的成蟲數(shù)會減少，如果考慮減少的主要原因是蟲子之間的兩兩爭斗，由于蟲子配對數(shù)為p（p-1）?1p2，故減少數(shù)應(yīng)當(dāng)與它成正比，從而有：nn2nP=cP一bP2n+1nn這個模型可化成：x=Xx（1-x），這是一階非線性差分方程。這個模型的解的穩(wěn)定性可以用相應(yīng)一階差分方程的判斷方法，即（14）式來獲得。如果還考慮其它的影響成蟲孵卵及成活的因素的定量關(guān)系，這個模型在此基礎(chǔ)上仍可進(jìn)一步改進(jìn)，更加符合實(shí)際情形。這種關(guān)系一方面可以通過機(jī)理分析，確定減少量與影響因素的定量關(guān)系，另一方面也可以用統(tǒng)計的方法來線性估計影響程度?；蛘哌€可以用影響曲線的方法來直觀表現(xiàn)影響的比例關(guān)系、周期關(guān)系、增量關(guān)系等等。模型2具周期性的運(yùn)動過程的差分方程模型建立差分方程描述振動臺上的乒乓球垂直運(yùn)動的方程，即把運(yùn)動過程中的某些離散變化取值的變量的變化規(guī)律表現(xiàn)出來。假設(shè)：乒乓球與振動臺之間的振動恢復(fù)系數(shù)為a,a<1振動臺臺面的上下位移是一卩sinc~t，乒乓球初始時刻在離臺面垂直距離為H處為自由落體運(yùn)動0<<H。又假設(shè)t為第j次碰撞時刻，第j次碰撞前的速度為—u(t)，碰撞后的速度為v(t)。假設(shè)u(t)二v(t)。振動臺臺面的運(yùn)動速度為‘TOC\o"1-5"\h\zj+1jc(t)=(—BsinCt)=—BcosCt；又耳記t,v———――，貝U有：dtg2v(t)~2C~vt—t—j+i，.?.C(t—t)—j，j+1jgj+1jg..Q.—Q.—v(3.1)另外，由碰撞規(guī)律分析可知：v—C(t)—a(—u+C(t))j+1j+1j+1j+1該式經(jīng)簡化處理后可得：v—av—ycos(Q+v)(3.2)由(i)和(2)式聯(lián)立可得二階介差分非線性方程組Q—Q—vj+1jjv—av—ycos(Q+v)

j+1jjj模型3蛛網(wǎng)模型

1）經(jīng)濟(jì)背景與問題：在自由市場經(jīng)濟(jì)中，有些商品的生產(chǎn)、銷售呈現(xiàn)明顯的周期性。農(nóng)業(yè)產(chǎn)品往往如此，在工業(yè)生產(chǎn)中，許多商品的生產(chǎn)銷售是有周期性的，表現(xiàn)在：商品的投資、銷售價格、產(chǎn)量、銷售量在一定時期內(nèi)是穩(wěn)定的，因而整個某個較長的時期內(nèi)這些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)表現(xiàn)為離散變量的形式。在這些因素中，我們更關(guān)心的是商品的銷售價格與生產(chǎn)產(chǎn)量這兩個指標(biāo)，它們是整個經(jīng)營過程中的核心因素，要想搞好經(jīng)營，取得良好的經(jīng)濟(jì)效益，就必須把握好這兩個因素的規(guī)律，作好計劃。試分析市場經(jīng)濟(jì)中經(jīng)營者根據(jù)市場經(jīng)濟(jì)的規(guī)律，如何建立數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)和分析市場趨勢的。2）模型假設(shè)與模型建立將市場演變模式劃分為若干段，用自然數(shù)n來表示；設(shè)第n個時段商品的數(shù)量為x，價格為y，n=l,2???.；由于價格與產(chǎn)量緊密相關(guān)，因此可以用一個確定的關(guān)系來表現(xiàn)：即設(shè)有y二f（x）（3.3）這就是需求函數(shù)，f是單調(diào)減少的對應(yīng)關(guān)系；又假設(shè)下一期的產(chǎn)量x*是決策者根據(jù)這期的價格決定的，即：設(shè)x二h（y），h是單調(diào)增加的對應(yīng)關(guān)系，從而，有關(guān)系：y二g（從而，有關(guān)系：y二g（x）（3.4）g也是單調(diào)增加的對應(yīng)關(guān)系因此可以建立差分方程：x=h[f(x)]（3.5）n±1yn二f[h(y)]（3.6）這就是兩個差分方程。屬一階非線性差分方程。（3）模型的幾何表現(xiàn)與分析。為了表現(xiàn)出兩個變量x和y的變化過程，我們可以借助已有的函數(shù)f和g，通過對應(yīng)關(guān)系的幾何表現(xiàn)把點(diǎn)列（x,y），和（x,y）在坐標(biāo)系中描繪出來，進(jìn)而分析它們的變化規(guī)律、趨勢、找穩(wěn)定點(diǎn)等一樣的折線，這個圖形被稱作為蛛網(wǎng)模型?？梢栽O(shè)想，這種形式可作為差分方程分析與求解的重要手段，它的主要數(shù)學(xué)技術(shù)是：圖形的描繪，曲線上點(diǎn)列的描繪(設(shè)法由前一個點(diǎn)的一個坐標(biāo)分量來算出下一個點(diǎn)的一個坐標(biāo)分量，并確認(rèn)它在哪條曲線上，就可以畫出這個點(diǎn)；有時或者可由前兩個點(diǎn)決定下一個點(diǎn)的一個坐標(biāo)分量)，也就是通過直觀、幾何形式，把我們關(guān)心的變量的所有可能取值表示出來。這里采用的方法是，引入兩條曲線，因?yàn)樵谇€上如果知道了一個分量，就可以作出另一個分量?？梢妿缀涡问奖硎居嘘P(guān)系的變量是既方便又有意義的。y易見：如果點(diǎn)列—-——POxp(X,y),p(x,y),p(x,y),p(x,y)最后收斂于點(diǎn)p，貝Ux'二x\y'^y，并且p'就是兩條曲線的交點(diǎn)，從而穩(wěn)定的。這也表明，市場在長期運(yùn)行之后會保持一種穩(wěn)定的狀態(tài)，說明市場處于飽和狀態(tài)。要想進(jìn)一步發(fā)展就必須打破這種平衡，在決策機(jī)制和方法上有所改進(jìn)。幾何上的進(jìn)一步分析表明，如果曲線y二f(x),和y二g(x)在交點(diǎn)pI處切線的斜率的絕對值記為：k,k，貝當(dāng)k<k時，p是穩(wěn)定的；fg0當(dāng)k>k時，p是不穩(wěn)定的。(4)模型的差分方程分析設(shè)點(diǎn)p0(x0,y0)滿足：y0二f(x0),x0二h(y)，在p點(diǎn)附近取函數(shù)f(x),h(x)的一階近似：0TOC\o"1-5"\h\zy=y—a(x—x),a>0,(3.7)n0n0x=x+P(y—y),P>0,(3.8)n+10n0合并兩式可得：x=—apx+(1+ap)x,n=1,2,(3.9)n+1n0

這是關(guān)于x的一階線性差分方程。當(dāng)然它是原來方程的近似模型。作為數(shù)學(xué)模型，本來就是客觀實(shí)際問題的近似模擬，現(xiàn)在為了處理方便，適當(dāng)取用其近似形式是合理的。其中，7為f在p點(diǎn)處的切線斜率；丄為g(X)在p點(diǎn)處切線的0B0斜率。方程(3.9)遞推可得：x=(―aP)nx+[1—(―aP)n]xn+l10所以，p0點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是：卜0|<1,即:這個結(jié)論與蛛網(wǎng)模型的分析結(jié)果是一致的4)模型推廣如果決策時考慮到x與n+1(3.10)1a<—Py,ynn+1y+y)―nn+1)2這時數(shù)學(xué)模型為：y=f(x)nn(y+yx=g(—nn+1n+1&2對此模型仍用線性近似關(guān)系可得y0=f(x0)00(y+yx=g(-°0X二g(n+1則有：再結(jié)合(3.7)可得：都有關(guān)系，則可假設(shè)(3.11)).首先求出平衡點(diǎn)，即解方程x:n+102.P(..x—x=(yn+1022I=g(yo)P=g(y)+(y+y-2y)nn-10+yn+1一2y0)即：特征方程為x-x二P(y-a(xn+10202x+aPx+aPx=(1+aP)n+1n-1n-12x+aPx+aPx=(1+aP)n+2n+1n2尢2+apl+ap=0-x)+y-a(x-x)-2y)00n-100x0(3.12)-aP+J(aP)2一8aP特征根為：X=二1,24所以：aP>8時，X<-aP<-2，此時解不穩(wěn)定。24

r寧’則ap<2時'apr寧’則ap<2時'ap<九1,21,2從而解是穩(wěn)定的。這個條件比原來的模型解的穩(wěn)定性條件放寬了。說明決策水平提高了。進(jìn)一步來看，對這個模型還可以進(jìn)行進(jìn)一步的分析：考慮下一年的產(chǎn)量時，還可以近三年的價格來決定，例如：設(shè)2），X二h(兒+^1+^2)，；另外還可以考慮引入投資額2），n+13n有關(guān)的離散方程關(guān)系。模型4人口的控制與預(yù)測模型背景分析：人口數(shù)量的發(fā)展變化規(guī)律及特性可以用偏微分方程的理論形式來表現(xiàn)和模擬。但在實(shí)際應(yīng)用中不是很方便，需要建立離散化的模型，以便于分析、應(yīng)用。人口數(shù)量的變化取決于諸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性別比、人口基數(shù)等。試建立離散數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)人口數(shù)量的變化規(guī)律。模型假設(shè)：以年為時間單位記錄人口數(shù)量，年齡取周歲。設(shè)這個地區(qū)最大年齡為m歲第t年為i歲的人數(shù)為x(t),i二l,2m;t二0,1,2,，這個數(shù)量指標(biāo)是整個問題分析、表現(xiàn)的目標(biāo)和載體，我們的目的就是找出這些變量的變化規(guī)律、內(nèi)在的普遍聯(lián)系。設(shè)第t年為i歲的人口平均死亡率為d(t)，即這一年中i歲人i口中死亡數(shù)與基數(shù)之比：d(t)=X(t)一Xi+1(t+ix(t)即：x(t+1)二(1-d(t))x(t),i二i,2,...,m—1;t二0,1,2,...設(shè)第『年i歲女性的生育率：即每位女性平均生育嬰兒數(shù)為b(t)，[i,i]為生育區(qū)間。k(t)為第t年i歲人口的女性比i12i(占全部i歲人口數(shù))由此可知：第t年出生的人數(shù)為：f(t)仝b(t)k(t)x(t)iii記第t年嬰兒的死亡率為d(t)，則x(t)二(1-d(t))f(t)00000

(6)設(shè)h(t)二bi(t)二，它表示i歲女性總生育率，‘ib(t)B(t)ii=i則b(t)=0(t)h(t),如果假設(shè)t年后女性出生率保持不變，則ii0(t)=b(t)+b(t)+...+b(t)ii+1Z2..=b(t)+b(t+1)+...+b(t+i—i)ii+1i21可見，0(t)表示每位婦女一生中平均生育的嬰兒數(shù)，稱之為總和生育率。它反映了人口變化的基本因素。模型建立：根據(jù)上面的假設(shè)x(t+1)=(1-d(t))x(t)100=(1-d(t))(1-d(t))f(t)TOC\o"1-5"\h\z000=(1-d(t))(1-d(t))ii2b(t)k(t)x(t)000iiii=i1=(1-d(t))(1-d(t))0(t)ii2h(t)k(t)x(t)000iiii=i1=卩(t憶b/(t)x(t)iix(t+1)=(1-d(t))x(t)221x(t+1)二(1-d(t))x(t)mm-1m-1為了全面系統(tǒng)地反映一個時期內(nèi)人口數(shù)量的狀況令x(t)二[x(t),x(t),...,x(t)]/12A(t)=01A(t)=01-d(t)10001-d(t)20...0...0...1-dm-1(t)mxn00b(t)...b(t)...000i0...i0...0B(t)=000...0...0000...0...0000...0...0則此向量x(t)滿足方程：x(t+1)=A(t)x(t)+p(t)B(t)x(t)即：x(t+1)二(A(t)+p(t)B(t))x(t)(3.13)這是一階差分方程其中P(t)是可控變量’x(t)是狀態(tài)變量’并且關(guān)于p(t)和x(t)都是線性的，故稱其為雙線性方程。模型分析：在穩(wěn)定的社會環(huán)境下，死亡率、生育模式、女性比例、嬰兒存活率是可以假設(shè)為不變的，故A(t)二A,B(t)=B為常數(shù)矩陣。從而，x(t+1)=(A+p(t).B)x(t)(3.14)只要總生育率p(t)確定下來，則人口的變化規(guī)律就可以確定下來。為了更全面地反映人口的有關(guān)信息，下面再引入一些重要的指標(biāo)：人口總數(shù)：N(t)=蘭x(t)ii=0人口平均年齡：R(t)=丄￡i.x(t)TOC\o"1-5"\h\zN(t)ii=0平均壽命：S(t)=瓦exp[-Xd(t)]，這里假定從第t年分析，如ij=0i=0果以后每年的死亡率是不變的，即：d(t)=d(t+1)=...ii+1則為d(t)表示t年出生的人活到第j+1年期間的死亡率，這i

i=0

也表明其壽命為j歲，j=l,2???m而exp(-工d(t))表示壽命。i通過求出x(t)的變化規(guī)律，就可以對上面引入的3個指標(biāo)進(jìn)行更具體的分析，從而對人口的分布狀況、變化趨勢、總體特征等有科學(xué)的認(rèn)識和把握。具體求解分析這里不再進(jìn)行。模型5線性時間離散彌漫網(wǎng)絡(luò)模型引言：一個國家在一定時間段內(nèi)的財富依賴于許多因素，不同國家的相互交流是重要的方面。建立數(shù)學(xué)模型，表現(xiàn)國家財富的變化與國家間財富的流動之間的關(guān)系。模型假設(shè)：設(shè)有n個國家，用u(t)表示在時期t"0,1,2,...｝的財富。假設(shè)只考慮這些國家之間僅僅兩兩國家之間有交流關(guān)系。并且假設(shè)財富流動的系數(shù)是丫。模型的建立：國家間的財富關(guān)系應(yīng)當(dāng)滿足u(t+1)-u(t)=y(u(t)-u(t))+y(u(t)-u(t))121n1u(t+1)-u(t)=y(u(t)-u(t))+y(u(t)-u(t))21232TOC\o"1-5"\h\zu(+1)—u(t)=丫(u(t)一u(t))+y(u(t)一u(t))

n-1n-1n-2n-1nn-1u(t+1)—u(t)=y(u(t)—u(t))+y(u(t)—u(t))

nn1nn-1n用矩陣形式表示：1-1令u(t)=(u(t),u(t),……,u(t))/表示時期t各個國家的財富狀態(tài);22-10n0..0-1-12-10..000-12-1..00TOC\o"1-5"\h\z2.-10000..12-1-1000.0-12(3.10)則有：u(t+1)=(I-yA)u(t)(3.10)n

(3.11)耳記A=I—yA，貝Uu(t)=Au(0)(3.11)nnn模型計算與分析：AnA~的特征值為n對應(yīng)的特征向量為計算可知A的特征值為；九k)=4sin2竺AnA~的特征值為n對應(yīng)的特征向量為nk兀1一丫入(k)=1-4ysm2——nV(k)=(V(k),,V(k))/1<k<n1n其中1.2km兀.2km兀、其中v(k)=(cos+sin)mnnn為討論方便起見，引入如下記號：九(n)=0,V(n)=—^(1,1,...,1)/n九(0)=九(n),V(0)=—(1,1,...1)/,n則有：n為偶數(shù)時：nnnn0=X(0)=k(n)<...<k(k)=k(n-k)<...<k(2-1)=“2+1)<...<九(2)=九(”-2)=4,n為奇數(shù)時：zni1x=X(zni1x=X(2)<40=尢(0)=X(n)<...<尢(k)=X(n-k)<...<X(2)記：V為由v(k),v(n-k)張成的子空間，k則:u(0)=￡'<V(k),u(0)>V(k)k=0tv(k)nu(t)=Au(0)=藝<V(k),u(0)tv(k)nk=0=藝(1一九(k)Y)t<V(k),u(0)>V(k)k=o=2工(1一九(k)Y)t<?,u(0)k=0a)sVt由此式進(jìn)一步分析可以獲得：當(dāng)t時，u(t)的漸進(jìn)變化狀態(tài)規(guī)律(略)。模型6金融問題的差分方程模型1、設(shè)現(xiàn)有一筆p萬元的商業(yè)貸款，如果貸款期是n年，年利率是r,今采用月還款的方式逐月償還，建立數(shù)學(xué)模型計算每月的還款數(shù)是多少？模型分析：在整個還款過程中，每月還款數(shù)是固定的，而待還款數(shù)是變化的，找出這個變量的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵。模型假設(shè)：設(shè)貸款后第k個月后的欠款數(shù)是A元，月還款為km元，月貸款利息為r二-1。2模型建立：關(guān)于離散變量A，考慮差分關(guān)系有：kA+rA二A+m，TOC\o"1-5"\h\zkkk+1即卩：A=(1+r)A—m(3」5)這里已知有：A二100000,A二0024模型求解：令B二A—A，則B二B(1+r)二B(1+r)k—1kkk—1kk—11A=A+B+B+...+Bk012k=A+B[1+(1+r)+...+(1+r)k—1]01m=A(1+r)k—[(1+r)k—1],k=0,1,2,…0r這就是差分方程(3.15)的解。把已知數(shù)據(jù)A,r代入A=0中，可以求出月還款額m。例如：°12nA=10000,r=0.0052125,n=2時，可以求出：m=444.356元。0模型的進(jìn)一步拓廣分析：拓廣分析包括條件的改變、目標(biāo)的改變、某些特殊結(jié)果等。如果令a=a，則a=m，并且kr當(dāng)a=m時，總有a=m，即表明：每月只還上了利息。只0rkr有當(dāng)A<m時，欠款余額逐步減少，并最終還上貸款。0r2、養(yǎng)老保險模型問題：養(yǎng)老保險是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案供以選擇，分析保險品種的實(shí)際投資價值。也就是說，分析如果已知所交保費(fèi)和保險收入，按年或按月計算實(shí)際的利率是多少？也就是說，保險公司需要用你的保費(fèi)實(shí)際獲得至少多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險收益？模型舉例分析：假設(shè)每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男子若25歲起投保，屆時養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起保，屆時月養(yǎng)老金1056元；試求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責(zé)任，每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實(shí)際收益率。模型假設(shè)：這應(yīng)當(dāng)是一個過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時是確定的。整個過程可以按月進(jìn)行劃分，因?yàn)榻毁M(fèi)是按月進(jìn)行的。假設(shè)投保人到第k月止所交保費(fèi)及收益的累計總額為F，每月收益率為r，用p、q分別表示60歲之前和之后每月交費(fèi)數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險費(fèi)的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。模型建立：在整個過程中，離散變量F的變化規(guī)律滿足：k'F=F(1+r)+p,k二0,1,...,N-1<k+1k，F(xiàn)二F(1+r)-q,k二NMk+1k在這里F實(shí)際上表示從保險人開始交納保險費(fèi)以后，保險人帳戶上的資金數(shù)值，我們關(guān)心的是，在第M個月時，F(xiàn)能否為非負(fù)數(shù)？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負(fù)數(shù)，則表明保險公司出現(xiàn)虧損。當(dāng)為零時，表明保險公司最后一無所有，表明所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的實(shí)際收益。從這個分析來看，引入變量F，很好地刻畫了整個過程中資金的變化關(guān)系，特別是引入收益率r，雖然它不是我們所求的保險人的收益率，但是從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對象：保險公司的經(jīng)營效益，以此作為整個過程中各種量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。模型計算：以25歲起保為例。假設(shè)男性平均壽命為75歲，則有p=20,q=2282;N=420,M=600，初始值為F二0，我們可以0F二F(1+r)k+p[(1+r)k-1],k二0,1,2,..,N得到：k0rF=F('1+r)k-n-纟[(1+r)k-n-1],k二N+1,...,MkNr在上面兩式中，分別取k二N,和k=M并利用F=0可以求出：M(1+r)m一(1+—)(1+r)M-N+—=0pp利用數(shù)學(xué)軟件或利用牛頓法通過變成求出方程的跟為：r二0.00485同樣方法可以求出：35歲和45歲起保所獲得的月利率分別為r二0.00461,r二0.00413練習(xí)題：1、金融公司支付基金的流動模型：某金融機(jī)構(gòu)設(shè)立一筆總額為S540萬的基金，分開放置位于A城和B城的兩個公司，基金在平時可以使用，但每周末結(jié)算時必須確?？傤~仍為S540萬。經(jīng)過一段時間運(yùn)行，每過一周，A城公司有10%的基金流動到B城公司，而B城公司則有12%的基金流動到A城公司。開始時，A城公司基金額為S260萬，B城公司為S280萬。試建立差分方程模型分析：兩公司的基金數(shù)額變化趨勢如何？進(jìn)一步要求，如果金融專家認(rèn)為每個公司的支付基金不能少于S220萬，那么是否需要在什么時間將基金做專門調(diào)動來避免這種情況？2、某保險公司推出與養(yǎng)老結(jié)合的人壽保險計劃，其中介紹的例子為：如果40歲的男性投保人每年交保險費(fèi)1540元，交費(fèi)期20歲至60歲，則在他生存期間，45歲時（投保滿5年）可獲返還補(bǔ)貼4000元，50歲時（投保滿10年）可獲返還補(bǔ)貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補(bǔ)貼。另外，在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20000元。試建立差分方程模型分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費(fèi)所獲得的實(shí)際年利率是多少？而壽命若為74歲時，實(shí)際年利率又是多少？3、Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型已知一種昆蟲每兩周產(chǎn)卵一次，六周以后死亡（給除了變化過程的基本規(guī)律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個。假設(shè)每個卵發(fā)育成2周齡成蟲的概率