時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的L

時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的L-K泛函孫欣;高躍【摘要】對(duì)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的研究一直是控制理論中的熱點(diǎn)問(wèn)題.目前，還沒(méi)有統(tǒng)一的穩(wěn)定性條件.原因在于對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)而言，選取的Lyapunov-Krasovskii泛函(簡(jiǎn)稱(chēng)L-K泛函)不同，對(duì)泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)處理的方法不同,那么穩(wěn)定性條件就不同.針對(duì)這一問(wèn)題,研究了時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)L-K泛函的構(gòu)造和對(duì)泛函求導(dǎo)后對(duì)積分項(xiàng)的處理方法.論文主要工作分2方面展開(kāi):首先,構(gòu)造的L-K泛函有雙重積分型、多重積分型、增廣型,以及時(shí)滯分割法構(gòu)造L-K泛函.在研究L-K泛函的構(gòu)造時(shí),充分考慮了區(qū)間時(shí)滯上、下界的信息,得到系統(tǒng)時(shí)滯依賴的穩(wěn)定性條件.其次L-K泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的處理方法，通常采用自由權(quán)矩陣法,Jensen積分不等式和Wirtinger積分不等式方法.較Jensen積分不等式,Wirtinger積分不等式有更小的保守性運(yùn)用不等式的目的在于以線性矩陣不等式的形式(LMI)給出穩(wěn)定性條件,這樣方便利用MATLAB求解.％Thestudyofstabilityconditionoftimevaryingsystemsisafocusincontroltheory.Tillnow,thereisn'tanidenticalstabilitycondition.Thereasonisthatforthetime-delaysystem,iftheselectedLyapunov-Krasovskiifunctional(L-Kfunctional)isdifferentandprocessingoftheintegrationafterderivationonfunctionalisdifferent,thenthestabilityconditionisalsodifferent.Considerationontheissues,theproblemsofthestructureofL-Kfunctionalfortime-varyingdelaysystemandtheprocessingoftheintegraltermafterthefunctionalderivationarestudiedinthispaper.Themainworkisdividedintotwoaspects:Firstly,theL-Kfunctionalisrespectivelyconstructedbydoubleintegral,multi-integral,augmenteddimensionandtime-delaypartitionmethod.Theinformationoftheupperandlowerboundsoftheintervaltime-varyingdelayisfullyconsideredinconstructingofL-Kfunctionaltoobtainstabilityconditionoftime-delaysystem.Secondly,theproblemofprocessingtheintegraltermafterderivationonL-Kfunctionalisaddressed.Generally,therearefreeweightsmatrixmethod,JensenintegralinequalityandWirtingerintegralinequalitymethod.ComparedwithJensenintegralinequality,Wirtingerintegralinequalityiswithlessconservatism.Theaimofapplyingtheinequalitiesistoobtainstabilityconditionintheformoflinearmatrixinequality(LMI),whichisfeasibleviaMATLAB.【期刊名稱(chēng)】《沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》【年(卷)，期】2018(036)006【總頁(yè)數(shù)】6頁(yè)(P510-515)【關(guān)鍵詞】時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng);Lyapunov-Krasovskii泛函Jensen積分不等式;Wirtinger積分不等式【作者】孫欣高躍【作者單位】沈陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽(yáng)110034;沈陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽(yáng)110034【正文語(yǔ)種】中文【中圖分類(lèi)】O2310引言時(shí)滯系統(tǒng)的分析和綜合一直以來(lái)是控制理論和控制工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。自20世紀(jì)70年代Lyapunov泛函引入時(shí)滯系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)以來(lái),Lyapunov方法已經(jīng)成為處理時(shí)滯系統(tǒng)的有利工具。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，構(gòu)造一個(gè)適合的Lyapunov-Krasovskii泛函（簡(jiǎn)稱(chēng)L-K泛函）得到時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件是分析和綜合時(shí)滯系統(tǒng)常采用的方法。一般地，由構(gòu)造的L-K泛函得到的是時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。目前,L-K泛函仍沒(méi)有統(tǒng)一的構(gòu)造方法。在構(gòu)造L-K泛函時(shí)，通常含有積分項(xiàng)，從一重積分、二重積分逐漸發(fā)展為三重積分和四重積分。2010年SUN等［1］提出將三重積分加入到L-K泛函中，有效降低了保守性。同時(shí)，因?qū)Ψe分項(xiàng)的放大而利用的不等式隨之增多，形式不一。Xia等［2］、孫等［3］文獻(xiàn)中，積分項(xiàng)的放大均采用了Jensen積分不等式。文獻(xiàn)［4］提出了Wirtinger積分不等式在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用，相比Jensen積分不等式,Wirtinger積分不等式具有更小的保守性。本文在對(duì)現(xiàn)有時(shí)滯系統(tǒng)研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)L-K泛函的構(gòu)造形式、L-K泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)處理這2方面做以分類(lèi)、對(duì)比與總結(jié)。1構(gòu)造L-K泛函在穩(wěn)定性判據(jù)推導(dǎo)過(guò)程中,需要構(gòu)造一個(gè)合適的L-K泛函來(lái)獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。對(duì)于同一個(gè)時(shí)滯系統(tǒng),L-K泛函的選取也不相同，因此得到的穩(wěn)定性判據(jù)形式不同，結(jié)果的保守性也有差異。本文將針對(duì)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)常用的3類(lèi)泛函進(jìn)行研究。1.1問(wèn)題描述考慮時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1)其中:T(t)為時(shí)變時(shí)滯滿足0<Tm<T(t)<TM,Tm為時(shí)滯下界,tM為時(shí)滯上界,(d為常數(shù));x(t),u(t)是狀態(tài)向量和控制輸入向量；A,Ad,B為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣沖(t)是連續(xù)的向量值初始函數(shù)。1.23類(lèi)常用的L-K泛函對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)而言，常用的L-K泛函包括雙重積分型、三重積分型、四重積分型和增廣型。1.2.1雙重積分型1*泛函文獻(xiàn)［5］針對(duì)區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，選取了如下形式的L-K泛函：其中:Qi>0,Wi>0,R>0,P,Qi,Wi,(i=1,2),R為正定矩陣；x(t)是為狀態(tài)向量。由式(2)可以看出,V3(t)為雙重積分型，對(duì)V3(t)關(guān)于t求導(dǎo)，得(3)注釋1由式(3)可知，對(duì)V3(t)關(guān)于t求導(dǎo)，積分項(xiàng)中出現(xiàn)了二次型和這樣的積分項(xiàng)不具有線性矩陣不等式(LMIS)的形式，不利于利用MATLAB求解。所以,要對(duì)出現(xiàn)的這樣積分項(xiàng)進(jìn)行處理，第2部分將介紹處理方法。1.2.2多重積分型1*泛函針對(duì)雙重積分型L-K泛函時(shí)滯信息有限的問(wèn)題，現(xiàn)已擴(kuò)展到多重積分型，其中包括三重積分型和四重積分型。1)三重積分型1*泛函文獻(xiàn)［1］提出將三重積分加入到L-K泛函中，文獻(xiàn)［6-8］在L-K泛函中也加入了三重積分項(xiàng)，形式如下：⑷其中Ui>0(i=1,2)為正定矩陣。2)四重積分型卜火泛函文獻(xiàn)［9］在L-K泛函中加入四重積分,具體形式如下：⑸其中Zi>0(i=1,2)為正定矩陣。1.2.3增廣型L-K泛函文獻(xiàn)［3］在構(gòu)造L-K泛函時(shí)，對(duì)狀態(tài)向量進(jìn)行擴(kuò)維，得到增廣型。形式如下：V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)其中(6)其中:R,T,Q>0為正定矩陣;P為非奇異矩陣;Y為適維矩陣。這里V4(t)狀態(tài)向量是增廣型。分別對(duì)V3,V4關(guān)于t求導(dǎo)，得當(dāng)和相加時(shí)，積分項(xiàng)正負(fù)相消，沒(méi)有對(duì)積分項(xiàng)進(jìn)行放大,V導(dǎo)數(shù)保持不變，這樣，保守性不會(huì)增加。1.3L-K泛函中時(shí)滯信息的處理在推導(dǎo)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件，構(gòu)造L-K泛函時(shí)，通常要考慮時(shí)變時(shí)滯上下界TM,Tm信息，不僅如此，還將時(shí)變時(shí)滯T(t)的變化區(qū)間［Tm,TM］分割成N(N>2)部分,這種處理方法稱(chēng)為時(shí)滯分割法。根據(jù)情況，時(shí)滯可以進(jìn)行均等分割者考慮一般化情況時(shí)滯還可以進(jìn)行不均等分割。1.3.1時(shí)滯均等分割所謂時(shí)滯均等分割，就是把時(shí)滯變化區(qū)間平均分成若干份?？紤]時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1)汶獻(xiàn)［5］采用時(shí)滯均等分割，利用時(shí)滯上下界TM,Tm信息，引入時(shí)滯中值構(gòu)造泛函。其中其中:Qi>0(i=1,...,4),Tj>0(j=1,2)為正定矩陣?？梢钥吹絍函數(shù)中不僅含有時(shí)滯下限Tm和時(shí)滯上限tM,還有中值T0。取中值的目的在于構(gòu)造L-K泛函時(shí)另夕卜增加了時(shí)滯中值的信息,降低結(jié)論保守性。1.3.2時(shí)滯不均等分割時(shí)滯不均等分割較均等分割更具一般性，可以利用更多時(shí)滯信息，降低結(jié)論保守性。以文獻(xiàn)［9］為例，考慮時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1),運(yùn)用時(shí)滯不均等分割方法構(gòu)造L-K泛函。引入一個(gè)自由參數(shù)Y滿足0<Y<1。變時(shí)滯h(t)滿足hm<h(t)<hM,設(shè)h^=yhm+(1-Y)hM,則有hm<hA<hM。這樣，時(shí)滯區(qū)間被分為兩個(gè)子區(qū)間:［hm,hA］和［h^hM］。hA分別作為2個(gè)子區(qū)間的上(下)界，在這2個(gè)子區(qū)間下，分別構(gòu)造L-K泛函。具體泛函構(gòu)造詳見(jiàn)文獻(xiàn)［9］。2L-K泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的處理方法為了得到時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件，首先構(gòu)造L-K泛函，然后對(duì)泛函求導(dǎo)。在求導(dǎo)過(guò)程中,為保證穩(wěn)定性條件可以表示成線性矩陣不等式的形式，方便利用MATLAB中LMI工具箱求解，需要處理L-K泛函求導(dǎo)后的某些積分項(xiàng)?；蛘哌M(jìn)行恒等變形，例如引入自由權(quán)矩陣;或者進(jìn)行放大，放大過(guò)程中，會(huì)選用不同形式的不等式，如Jensen積分不等式、Wirtinger積分不等式等。運(yùn)用這些不等式時(shí)，相應(yīng)會(huì)產(chǎn)生一定的保守性。2.1自由權(quán)矩陣方法對(duì)泛函L-K求導(dǎo)后,可以通過(guò)增加矩陣變量構(gòu)造恒為零的等式，以減少結(jié)論保守性，這種方法稱(chēng)為自由權(quán)矩陣方法。文獻(xiàn)［5］中，添加了恒為零的等式：自由權(quán)矩陣方法的優(yōu)點(diǎn)在于,它沒(méi)有改變?cè)酱笮?，通過(guò)引入自由矩陣變量，降低結(jié)論保守性。Jensen積分不等式Gu等［10］提出了以下形式的Jensen積分不等式:對(duì)于向量函數(shù)x以及正定矩陣R>0,有積分不等式成立：⑺通過(guò)Jensen積分不等式，可以把不等式左邊積分項(xiàng)含有的二次型轉(zhuǎn)化成不等式右邊2個(gè)向量相乘的形式，從而可以寫(xiě)成線性矩陣不等式的形式。還可以推廣到二重積分或三重積分的情形。(二重Jensen積分不等式)［11］:對(duì)于向量函數(shù)x以及正定矩陣R,以下積分不等式成立:(8)還有許多改進(jìn)的Jensen積分不等式的運(yùn)用，如文獻(xiàn)［3,10-13］。Wirtinger積分不等式Wirtinger積分不等式是傅里葉分析中很著名的不等式,根據(jù)限定條件的不同，分為多種形式。與Jensen積分不等式相比，它具有更小的保守性。Wirtinger積分不等式的運(yùn)用，可見(jiàn)文獻(xiàn)［11,14-17］淇離散形式的運(yùn)用，可見(jiàn)文獻(xiàn)［18-20］。Wirtinger積分不等式［4］:對(duì)任意給定的常矩陣R>0,向量函數(shù)x:［a,b］-Rn,有如下不等式成立:⑼(10)注釋2比較式(7)、式(9),可以看到Wirtinger積分不等式比Jensen積分不等式保守性小。Wirtinger積分不等式還有一些其它形式[11]:對(duì)任意的正定矩陣R>0,向量函數(shù)x:[a,bLRn,有如下不等式成立：其中Wirtinger積分不等式適用于連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)。與連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的是離散時(shí)滯系統(tǒng),那么離散型的Wirtinger不等式[18-19]可以應(yīng)用到離散時(shí)滯系統(tǒng)中，關(guān)于離散型的Wirtinger不等式有如下形式：對(duì)于給定的正定矩陣R>0,非負(fù)整^5a,b,k滿足a<b<k,x(s)^列向量函數(shù),有如下不等式成立:其中對(duì)于一個(gè)給定的正定矩陣和離散向量函數(shù)x:[-h,0]nZ—Rn,有h>1,以下不等式成立:本文研究了時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)L-K泛函的構(gòu)造和泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的處理方法。L-K泛函包括雙重積分型、多重積分型、增廣型以及利用時(shí)滯分割法構(gòu)造L-K泛函。L-K泛函求導(dǎo)后積分項(xiàng)的處理方法，有自由權(quán)矩陣法、Jensen積分不等式和Wirtinger積分不等式方法。較Jensen積分不等式、Wirtinger積分不等式有更小的保守性。參考文獻(xiàn)：【相關(guān)文獻(xiàn)】SUNJ,LIUGP,CHENJ,etal.Improveddelay-range-dependentstabilitycriteriaforlinearsystemswithtime-varyingdelays[J].Automatica,2010,46(2):466-470.XIAYQ,FUMY,SHIP.AnalysisandSynthesisofDynamiealSystemswithTime-Delay[M].Berlin,Heidelberg:Springer,2009:3-16.孫欣.奇異時(shí)滯系統(tǒng)容許性分析與控制[D].沈陽(yáng):東北大學(xué),2010.ALEXANDRElS,FREDERICG.Wirtinger-basedintegralinequality:Applicationtotimedelaysystems[J].Automatica,49(9):2860-2866.李圣濤.幾類(lèi)非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)與應(yīng)用[D].沈陽(yáng):東北大學(xué),2013.張合新.基于時(shí)滯分割法的區(qū)間變時(shí)滯不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定新判據(jù)[J].控制與決策，2014,29(5):907-912.趙占山.一類(lèi)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J].控制與決策,2016,31(11):2090-2094.武斌，王長(zhǎng)龍,徐錦法，等.帶有非線性擾動(dòng)的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則[J].控制理論與應(yīng)用，2017,34(5):692-700.吳玉彬漲合新，惠俊軍，等.區(qū)間變時(shí)滯不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2018,40(4):878-884.GUK.Anintegralinequalityinthestabilityproblemoftime-delaysystems[C]llIEEEConferenceonDecisionandControl.Sydney:IEEE,2000:2805-2810.POOGP,WONL,SEOKYL.Auxiliaryfunction-basedintegralinequlitiesforquadraticfunctionsandtheirapplicationstotime-delaysystems[J].JFranklInst,2015,352:1378-1396.ALEXANDRElS,FREDERICG.Jensen’sandWirtinger’sinequalitiesfortime-delaysystems[J].IFAC,2013,46:343-348.JINHK.FurtherimprovementofJenseninequalityandapplicationtostabilityoftime-delayedsystems[J].Automatica,2016,64:121-125.JIYT,SONGYD,TAO乙StabilityandstabilizationofT-SfuzzysystemswithtimedelayviaWirtinger-baseddoubleintegralinequality[J].Neurocomputing,2018,275:1063-1071.MATTHIEUB,ALEXANDRElS,FR