歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編02集合

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題02集合第二緝1．【2018年山西預(yù)賽】集合M=1,2,?,2018【答案】204626【解析】若將所有的這種數(shù)劃去其尾數(shù)8，剩下的數(shù)就是0,1,2，…，201，共計(jì)劃去202個(gè)8，因此所求的和值為S=10×0+1+2+?+2012．【2018年湖南預(yù)賽】設(shè)集合A={x|x2?3x?10≤0},B={x|m+1≤x≤2m?1}【答案】m≤3【解析】由A∩B=B知，B?A，而A={x|x當(dāng)B=?時(shí)，m+1>2m?1，即m<2，此時(shí)B?A成立.當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m?1，即m≥2，由B?A，得?2≤m+1,解得?3≤m≤3.又m≥2，故得2≤m≤3.綜上，有m≤3.故答案為：m≤33．【2018年福建預(yù)賽】將正偶數(shù)集合2,4,6,?從小到大按第n組有3n?2個(gè)數(shù)進(jìn)行分組：2，【答案】27【解析】設(shè)2018在第n組，由2018為第1009個(gè)正偶數(shù)，根據(jù)題意得i=1n?13i?2<1009≤i=1n4．【2018年全國(guó)】設(shè)集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，則B∩C的元素個(gè)數(shù)為 【答案】24【解析】由條件知，B∩C={2,4,6,?,198}∩1故B∩C的元素個(gè)數(shù)為24.5．【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】設(shè)集合A={1，2，3，…，99}，B={2x|x∈A},C={x|2x∈A}，則B∩C的元素個(gè)數(shù)為 .【答案】24【解析】由條件知，B∩C={2,4,6,?,198}∩1故B∩C的元素個(gè)數(shù)為24.6．【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)集合A={2，0，1，8}，B={2a|a∈A}則A∪B的所有元素之和是 .【答案】31【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}.A∪B的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.7．【2017年山西預(yù)賽】設(shè)M={1,2,?,2017}是前2017個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合,若從M【答案】1677【解析】提示：1而2017×8．【2017年山東預(yù)賽】集合M={1,99,?1,0,25,?36,?91,19,?2,11},記M的所有非空子集為Mi,i=1,2,?,1023,每一個(gè)Mi中的所有元素之積為mi,則i=1【答案】?【解析】提示:設(shè)集合M=aii=110239．【2017年福建預(yù)賽】已知集合A=x∣log2x?1<【答案】?【解析】提示：由log2x由x?a若A∩B=?,則a+2所以A∩B≠?時(shí),a10．【2017年河南預(yù)賽】稱(chēng)所有元素的平方和為奇數(shù)的非空有限數(shù)集為平凡集,若集合A={1,2,3,?,2016,【答案】2【解析】提示：對(duì)于集合{2,3,?,2016,2017},共有真子集22016?1①{2,3②{1}∪M,M相加得A的所有真子集中平凡集的個(gè)數(shù)為2201611．【2017年湖北預(yù)賽】已知非空集合A={x∣m+1≤x≤【答案】2【解析】提示:B={x∣?3≤x≤5},因?yàn)锳12．【2017年四川預(yù)賽】設(shè)集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={(x,y,z)|x,y,z∈M,且9|(x3+y3【答案】243【解析】注意到,當(dāng)x≡1mod當(dāng)x≡2mod當(dāng)x≡0mod于是,對(duì)x∈Z,均有欲使91x3+y3故集合A中元素的個(gè)數(shù)為3313．【2017年廣東預(yù)賽】已知S是正整數(shù)集合的無(wú)窮子集,滿(mǎn)足對(duì)任意a,b,c∈S,abc∈S,將S中的元素按照由小到大的順序排列成的數(shù)列記為a【答案】2【解析】提示:由題意對(duì)任意a,b,c∈S,14．【2017年廣西預(yù)賽】設(shè)a、b,c和d為復(fù)數(shù).若集合S={a,b,c,d}【答案】?【解析】提示:因?yàn)镾={a,b,c,“對(duì)任意x,y∈S必有xy∈所以b15．【2017年浙江預(yù)賽】已知兩個(gè)命題,命題p:函數(shù)fx=logaxx>0單調(diào)遞增;命題q:函數(shù)gx=【答案】?【解析】提示:當(dāng)且僅當(dāng)a>1時(shí),命題當(dāng)且僅當(dāng)?2<a若p∨q為真命題,則a16．【2016年福建預(yù)賽】已知集合A={x|x2?3x+2≤0}，B={x|1【答案】(?【解析】易知，A={x|1≤x≤2}.當(dāng)x∈A時(shí)，1x?3故a>?1從而，a的取值范圍是(?117．【2016年新疆預(yù)賽】設(shè)集合I={1,2,…,n}(n≥3).若I的兩個(gè)非空真子集A、B滿(mǎn)足A∩B=?,A∪B=I,則稱(chēng)A、B為I的一個(gè)劃分.若對(duì)集合I的任一劃分A、B,均有A中或【答案】15【解析】當(dāng)n=14時(shí),取A=1,2易知,A、B中的任意兩數(shù)之和均不為平方數(shù).從而,n=14不符合題意.因而,n<14亦不合題意.現(xiàn)考慮n=15.用反證法.假設(shè)A、B中的任意兩數(shù)之和均不為平方數(shù).不妨設(shè)1∈A，由1+3=2由3+6=3但6+10=42,與因此,n=15符合題意.從而,n的最小值為15.18．【2016年吉林預(yù)賽】某次英語(yǔ)競(jìng)賽后，小明、小樂(lè)和小強(qiáng)分列前三名．老師猜測(cè)：“小明第一名，小樂(lè)不是第一名，小強(qiáng)不是第三名．”結(jié)果老師只猜對(duì)了一個(gè)．由此推斷：前三名依次是_______.【答案】小樂(lè)、小強(qiáng)、小明【解析】若老師的猜測(cè)：小明第一名正確，則小樂(lè)不是第一名也正確，不合題意，據(jù)此可知第一名不是小明；若老師的猜測(cè)：小樂(lè)不是第一名正確，結(jié)合第一名不是小明，則第一名是小強(qiáng)，這樣小強(qiáng)不是第三名也是正確的，不合題意，據(jù)此可知第一名不是小強(qiáng)；據(jù)此可知第一名是小樂(lè)，且小強(qiáng)不是第三名是正確的，故第二名是小強(qiáng)，第三名是小明.檢驗(yàn)老師的說(shuō)法：小明第一名，小樂(lè)不是第一名，小強(qiáng)不是第三名，只有小強(qiáng)不是第三名是正確的，滿(mǎn)足題意.19．【2016年吉林預(yù)賽】某次英語(yǔ)競(jìng)賽后，小明、小樂(lè)和小強(qiáng)分列前三名．老師猜測(cè)：“小明第一名，小樂(lè)不是第一名，小強(qiáng)不是第三名．”結(jié)果老師只猜對(duì)了一個(gè)．由此推斷：前三名依次是_______.【答案】小樂(lè)、小強(qiáng)、小明【解析】若老師的猜測(cè)：小明第一名正確，則小樂(lè)不是第一名也正確，不合題意，據(jù)此可知第一名不是小明；若老師的猜測(cè)：小樂(lè)不是第一名正確，結(jié)合第一名不是小明，則第一名是小強(qiáng)，這樣小強(qiáng)不是第三名也是正確的，不合題意，據(jù)此可知第一名不是小強(qiáng)；據(jù)此可知第一名是小樂(lè)，且小強(qiáng)不是第三名是正確的，故第二名是小強(qiáng)，第三名是小明.檢驗(yàn)老師的說(shuō)法：小明第一名，小樂(lè)不是第一名，小強(qiáng)不是第三名，只有小強(qiáng)不是第三名是正確的，滿(mǎn)足題意.20．【2016年上海預(yù)賽】設(shè)S={1，2，···,11}，對(duì)S的每個(gè)七元子集，將其中七個(gè)數(shù)從小到大排列，取出中間的數(shù)。則所有取出的中間數(shù)的和等于__________?！敬鸢浮?980【解析】S的七元子集共有C11A=aB=其中，11≥12?集合A與B的中間數(shù)分別為a4因此,所有中間數(shù)的和等于C1121．【2016年新疆預(yù)賽】集合A是由1,2,???,50中的40個(gè)元素組成的子集，S為集合A中的所有元素之和，則S的取值個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.【答案】401【解析】注意到，S的最小值為1+2+???+40=820，S的最大值為11+12+???+50=1220.設(shè)集合A中的元素k為使得k+1不是集合A中的元素的最小元素.若S≤1219，則k≠50，把k替換為k+1，得由40個(gè)元素組成的子集B，其和為S+1.從而，S的取值個(gè)數(shù)為1220?820+1=401.22．【2016年新疆預(yù)賽】將集合2x【答案】2064【解析】易知，0≤x<y≤n的x,y組合共有注意到，C11因此，第60個(gè)數(shù)滿(mǎn)足y=11，x=4，即第60個(gè)數(shù)為23．【2016年四川預(yù)賽】對(duì)于任何集合S，用S表示集合S中的元素個(gè)數(shù)，用n（S）表示集合S的子集個(gè)數(shù).若A、B、C為三個(gè)有限集，且滿(mǎn)足（1）A=B=2016；（2）n【答案】2015【解析】由條件知22016+則C=2017顯然，A∪B∪C≤若A∪B∪C=2016，則A=B?C從而，A∪B∪C=于是，A∪B∪C≤2015構(gòu)造：A=1,2B=1,2C=1,2從而A∪B∪C的最大值為2015.24．【2016年遼寧預(yù)賽】記[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).設(shè)集合A=x|【答案】?1,3【解析】若x∈B,則[x]∈{-2,-1,0,1,2}代入集合A得x2經(jīng)檢驗(yàn),只有A∩B={-1,3}25．【2016年江蘇預(yù)賽】已知集合A=x,y【答案】2+【解析】作圖可知，若A?B，則a>0，且點(diǎn)2,1到直線2x+y?3?a=0的距離不小于1，即2?a5≥1?a≥2+526．【2016年湖南預(yù)賽】當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集F滿(mǎn)足條件“若a?、??b∈F，則a+b、a?b、①0為任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域F有非零元素，則2016∈F；③集合P={x|x=3k,k∈Z}為數(shù)域；④有理數(shù)集為數(shù)域.其中，真命題的編號(hào)為_(kāi)_____（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）.【答案】①②④.【解析】根據(jù)數(shù)域的定義判斷，命題①、②、④均正確.取a=3，b=6，則a、b∈P，但27．【2016年湖北預(yù)賽】從五個(gè)正整數(shù)a、b、c、d、e中任取四個(gè)求和，得到的和值構(gòu)成集合{44，45，46，47}，則a+【答案】57【解析】從五個(gè)正整數(shù)中任取四個(gè)求和，共有五種取法，應(yīng)該得到五個(gè)和值．而集合{44，45，46，47}中只有四個(gè)元素，則一定有兩個(gè)和值相等．故44+44+45+46+47≤4?226≤4又a、b、c、d、e為整數(shù)，得428．【2016年河南預(yù)賽】集合1,2,?,2016的元素和為奇數(shù)的非空子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)______?！敬鸢浮?【解析】令fx則所求值即為fx的展開(kāi)式中x故元素和為奇數(shù)的非空子集的個(gè)數(shù)為1229．【2015年上海預(yù)賽】已知集合A={x,yx=m,y=?3m+2,m∈Z+}【答案】10【解析】設(shè)x,y∈Ax=n，于是，a?3n=a若a=3，則式①中，左邊=0，右邊=27+3?2>0，矛盾.從而，a≠3.故n==a因?yàn)閍∈Z,n∈Z+，所以，故a=3=±1,±2,±4,±7,±14,±28.由n∈Z+，知綜上，使A∩B≠?的整數(shù)30．【2015年新疆預(yù)賽】設(shè)集合A={1,2,?,2014}.現(xiàn)對(duì)A的任一非空子集X，令aX表示X中最大數(shù)與最小數(shù)之和.則所有這樣的a【答案】2015【解析】將集體A的非空子集進(jìn)行配對(duì).對(duì)每個(gè)X={x1,令X'={2015?xx∈X則X'?A，且若X≠X，則aX若X=X，則aX綜上，所有aX31．【2015年陜西預(yù)賽】已知集合A=1,3,5,7,9，B=2,4,6,8,10.若集合【答案】9【解析】因?yàn)閍為奇數(shù)，b為偶數(shù)，所以，集合C中的元素均為奇數(shù).又a+b的最小值為3，最大值為19，且3與19之間的奇數(shù)均可以取到，從而，集合C中的元素共有9個(gè).32．【2015年山西預(yù)賽】設(shè)集合M=1,2,?,12，三元集A=a,b,c滿(mǎn)足A?M，且【答案】26【解析】由6≤a+b+c≤33，知在此范圍內(nèi)的平方數(shù)有9、16、25，不設(shè)防a<b<c.若a+b+c=9，則c的取值只有6、5、4這三種情形，此時(shí)，A=1,2若a+b+c=16，則7≤c≤12，可?。篈=1,32,5,9若a+b+c=25，則10≤c≤12，此時(shí)，A=2,11,126,7,12共得26個(gè)集合A.33．【2015年山東預(yù)賽】已知集合M=1,2,…,99.現(xiàn)隨機(jī)選取M中九個(gè)元素構(gòu)成子集,記該子集中的最小數(shù)為ξ,則Eξ=【答案】10【解析】集合M中以正整數(shù)k(1≤k≤99)為最小數(shù)的九元子集共有C99?k故Pξ=k?Eξ=k=134．【2015年吉林預(yù)賽】非空集合A=x,yax?2y+8≥0,x?y?1≤0,2x+ay?2≤0.當(dāng)x,y∈A【答案】2,+∞【解析】當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)圖像與平面直角坐系所圍成的區(qū)域?yàn)槿切?，顯然滿(mǎn)足；當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)z=y?x分別在邊界x?y?1=0和35．【2015年湖南預(yù)賽】記集合T=0,1,???,6，【答案】386【解析】將集合M中的每個(gè)數(shù)乘以74則集合M'中的最大數(shù)為6666在十進(jìn)制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第2015個(gè)數(shù)為2400?2014=386，即為集合M'將此數(shù)再除以74得38636．【2015年河南預(yù)賽】已知集合Αk=2k?1+i=0k?2【答案】2【解析】由二進(jìn)制，知無(wú)論ai如何取值，集合A考慮到ai有0、1兩種取值，當(dāng)ai＝1時(shí)