第三章第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布

第三章第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論:我們先討論兩個隨機變量的函數(shù)的分布問題，然后將其推廣到多個隨機變量的情形.當隨機變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù)

Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的聯(lián)合分布?第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型分布的情形例1若X、Y獨立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解:=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨立性此即離散型卷積公式r=0,1,2,…第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月解：依題意

例2若X和Y相互獨立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布.由卷積公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由卷積公式即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1，…第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

設X和Y的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的密度.

解:Z=X+Y的分布函數(shù)是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}是直線x+y=z左下方的半平面.二、連續(xù)型分布的情形第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月化成累次積分,得固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換,令x=u-y,得變量代換交換積分次序第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由概率密度與分布函數(shù)的關系,即得Z=X+Y的概率密度為:

由X和Y的對稱性,fZ(z)又可寫成以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月特別，當X和Y獨立，設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

這兩個公式稱為卷積公式.下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域例3若X和Y獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷積公式也即第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域如圖示:也即于是第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月用類似的方法可以證明:若X和Y獨立,結論又如何呢?若X和Y獨立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2).第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月解:例4

設某種商品在一周內(nèi)的需要量是一個隨機變量，其概率密度函數(shù)為:

如果各周的需要量相互獨立，求兩周需要量的概率密度函數(shù).

分別用X,Y表示該種商品在第一，二周內(nèi)的需要，則其概率密度函數(shù)分別為:第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月兩周需要量Z=X+Y,Z的概率密度函數(shù)為:時，被積函數(shù)不為零，所以（1）當z0時,有第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)當z>0,第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月又由于X和Y相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進行推廣

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月設X1,…,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為我們來求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=0,1，…,n)第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月用與二維時完全類似的方法，可得特別，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月若X1,…,Xn是連續(xù)型隨機變量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)后，不難求得M和N的密度函數(shù).留作課下練習.當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月需要指出的是，當X1,…,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時,常稱M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)為極值.由于一些災害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月這一講，我們介紹了求隨機向量函數(shù)的分布的原理和方法，需重點掌握的是：1、已知兩個隨機變量的聯(lián)合概率分布