人教版高中數(shù)學(xué)必修2《四章圓與方程42直線圓的位置關(guān)系習(xí)題42》公開(kāi)課教案19

8.4直線、圓的地點(diǎn)關(guān)系一、教課目的1．能依據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系；能依據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的地點(diǎn)關(guān)系．2．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．3．初步認(rèn)識(shí)用代數(shù)方法辦理幾何問(wèn)題的思想.二、教課要點(diǎn)：直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系、圓的切線方程、圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系教課難點(diǎn)：圓的切線方程、圓的性質(zhì)運(yùn)用三基礎(chǔ)自測(cè)1．直線x＋y＝5和圓O：x2＋y2－4y＝0的地點(diǎn)關(guān)系是AA．相離B．相切C．訂交可是圓心D．訂交過(guò)圓心2．>直線ax－y＋2a＋1＝0與圓x2＋y2＝9的地點(diǎn)關(guān)系是BA．相離B．訂交C．相切D．不確立3．>已知直線x－y＋a＝0與圓O：x2＋y2＝4交于不一樣兩點(diǎn)→A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量OA、→→→→→OB知足|OA＋OB|＝|OA－OB|，則a等于BA．±1B．±21C．±D．±32l4．兩圓訂交于點(diǎn)A(1,3)和B(m,1)，兩圓圓心在直線l：x－y＋2＝0上，則m＋c的值是DA．－1B．0C．2D．35．>已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為22，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．(x－3)2＋y2＝4四、教課過(guò)程（繪圖解說(shuō)）1．直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系有三種：判斷直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系常有的有兩種方法：①代數(shù)法：利用鑒別式（講清原理）②幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系d<r?d＝r?d>r?圓心x0,y0直線l:AxAx0By0CByC0d＝B2A22．圓的切線方程（點(diǎn)在圓上、園外，切線條數(shù)）點(diǎn)到直線距離等于半徑切線長(zhǎng)公式若圓的方程為x2＋y2＝r2，點(diǎn)P(x0，y0)在圓上，則過(guò)P點(diǎn)且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為3．直線與圓訂交2（1）幾何法：若l為弦長(zhǎng)，d為弦心距，r為半徑，則有r2＝d2l2即l＝2r2d2(2)代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].求弦長(zhǎng)或已知弦長(zhǎng)求解問(wèn)題，一般用此公式．4．兩圓地點(diǎn)關(guān)系的判斷兩圓(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)的圓心距為d，則(1)d>r1＋r2?兩圓；(2)d＝r1＋r2?兩圓；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2(r1≠r2)?兩圓；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓5．兩圓公共弦所在直線方程（兩圓訂交）兩圓作差所得結(jié)果就是所求；兩圓公切線條數(shù)圓外點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值剖析五、例題剖析考點(diǎn)向來(lái)線與圓的地點(diǎn)關(guān)系【例1】m為什么值時(shí)，直線2x－y＋m＝0與圓x2＋y2=5（1）無(wú)公共點(diǎn)；（2）截得的弦長(zhǎng)為2；（3）交點(diǎn)處兩條半徑相互垂直1．(13·陜西)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的地點(diǎn)關(guān)系是(

B

)A．相切C．相離2．直線

x－y＋m＝0

與圓

B．訂交D．不確立22x＋y－2x－1＝0有兩個(gè)不一樣交點(diǎn)的一個(gè)充分不用要條件是(

C)A．－3＜m＜1

B．－4＜m＜2C．0＜m＜1

D．m＜1分析：∵圓

x2＋y2－2x－1＝0可化為(x－1)2＋y2＝2，即圓心是

(1,0)，半徑是

2，d＝|1－0＋m|＜2，∴|m＋1|＜2，2∴－3＜m＜1，由題意知m的取值范圍應(yīng)是(－3,1)的一個(gè)真子集，應(yīng)選C.[類題通法]判斷直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系常有的方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程隨以后利用判斷．(3)點(diǎn)與圓的地點(diǎn)關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓訂交．考點(diǎn)二切線、弦長(zhǎng)問(wèn)題[典例](1)(2013山東·高考)過(guò)點(diǎn)M(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為(A)A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0[分析]依據(jù)平面幾何知識(shí)，直線AB必定與點(diǎn)(3,1)，(1,0)的連線垂直，這兩點(diǎn)連線的斜率為1，故直線AB的斜率必定是－2，只有選項(xiàng)A中直線的斜率為－2.2另：寫(xiě)出以M為圓心MA為半徑的圓，兩圓作差(2)過(guò)點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，此中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)__22_____．[分析]最短弦為過(guò)點(diǎn)(3,1)，且垂直于點(diǎn)(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心距d＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦長(zhǎng)為2r2－d2＝222－22＝22.[類題通法]1．辦理直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)多用幾何法，即弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．2．圓的切線問(wèn)題的辦理要抓住圓心到直線的距離等于半徑成立關(guān)系解決問(wèn)題．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(14·綱領(lǐng)全)直線l1和l2是圓x2＋y2＝2的兩條切線，若l1與l2的交點(diǎn)為(1,3)，則l1與l2的夾角的正切值等于________．432．(14·重慶)已知直線x－y＋a＝0與圓心為C的圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0訂交于A，B兩點(diǎn)，且AC⊥BC，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______0或63．(14·重慶)已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4訂交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a＝________.4±15考點(diǎn)三圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系[典例](2014鄭·州一檢)若⊙O1：x2＋y2＝5與⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)訂交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線相互垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是________．[分析]由兩圓在點(diǎn)A處的切線相互垂直，可知兩切線分別過(guò)另一圓的圓心，即AO1⊥AO2，在直角三角形AO1O2中，(25)2＋(5)2＝m2，∴m＝±5，|AB|＝2×25×5＝4.5在本例條件下求AB所在的直線方程.解：由本例可知m＝±5.當(dāng)m＝5時(shí)，⊙O1：x2＋y2＝5，①22當(dāng)m＝－5時(shí)，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②

x＝－1.②－①得，

x＝1，即

AB所在直線方程為

x＝1.∴AB所在的直線方程為

x＝1或

x＝－1.[類題通法

]1．兩圓地點(diǎn)關(guān)系的判斷常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采納代數(shù)法．2．若兩圓訂交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差獲得．[針對(duì)訓(xùn)練]與圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條分析：選C由題意知，兩圓圓心分別為(－2,2)與(2,5)，半徑分別為1和4，圓心距為－2－22＋2－52＝5，明顯兩圓外切，故公切線的條數(shù)為3.【例3】(11·全國(guó))設(shè)兩圓C1、C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝(C)A．4B．42C．8D．823．兩個(gè)圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為CA．－6B．－3C．－32D．3題型四直線與圓的綜合應(yīng)用【例4】(11·新課標(biāo))在平面直角坐標(biāo)系C上．

xOy中，曲線

y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓求圓C的方程；若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．重申數(shù)形聯(lián)合思想【經(jīng)典考題】(12分)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.問(wèn)在圓C上能否存在兩點(diǎn)A、B對(duì)于直線y＝kx－1對(duì)稱，且以在，說(shuō)明原因.

AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，寫(xiě)出直線AB的方程；若不存六、小結(jié)1．直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系問(wèn)題議論直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要養(yǎng)成作圖的習(xí)慣，運(yùn)用數(shù)形聯(lián)合的思想，綜合代數(shù)的、幾何的知識(shí)進(jìn)行求解．一般說(shuō)，運(yùn)用幾何法解題運(yùn)算較簡(jiǎn)易，但代數(shù)法更具一般性．2．圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系要點(diǎn)依照?qǐng)A心距d和兩圓半徑r1，r2的關(guān)系判斷，要注意兩圓的地點(diǎn)關(guān)系與兩圓公切線條數(shù)的依賴關(guān)系．3．直線與圓相切時(shí)切線的求法(1)求過(guò)圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率

k，則由垂直關(guān)系，切線斜率為－

1，由點(diǎn)斜式方程可求得k切線方程．假如

k＝0或

k不存在，則由圖形可直接得切線方程為

y＝y(tǒng)0或

x＝x0.(2)求過(guò)圓外一點(diǎn)

(x0，y0)的圓的切線方程①幾何方法：當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出．②代數(shù)方法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓方程，得一個(gè)對(duì)于x的一元二次方程，由＝0，求得k，切線方程即可求出．以上兩種方法只好求斜率存在的切線，斜率不存在的切線，可聯(lián)合圖形可得．七、教課反省：學(xué)生對(duì)求切線方程還不是很理解，弦長(zhǎng)公式忘記。在本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，自己多強(qiáng)調(diào)幾何法判斷直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系、幾何法求弦長(zhǎng)，以及波及與圓的問(wèn)題時(shí)，加強(qiáng)繪圖思想。重心重視直線與圓相切問(wèn)題的剖析。公共弦例題波及有。2015-10-22本節(jié)課兩節(jié)安排，以繪圖為知識(shí)線索，畫(huà)出直線與圓的三種關(guān)系，在各自關(guān)系中透漏出：圓上的點(diǎn)到直線距離最值；切線方程求解；弦長(zhǎng)公式剖析計(jì)算。圓與圓的地點(diǎn)畫(huà)出圖形，展現(xiàn)判斷的依照，并剖析切線條數(shù)及兩圓訂交時(shí)公共線所在直線方程求解。八、學(xué)生錯(cuò)題集1.已知圓

x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0

（1）求證：無(wú)論

m為什么值，圓心在同向來(lái)線條平行

l上；（2）與l平行的直線中，哪些與圓訂交、相切、相離？（l與且與圓訂交的直線被各圓截得弦長(zhǎng)相等

3）求證：任何一2．圓

O1：x2＋y2－2x＝0和圓

O2：x2＋y2－4y＝0的地點(diǎn)關(guān)系是

(

)A．相離B．訂交C．外切D．內(nèi)切3．已知點(diǎn)P(1，－2)，以Q為圓心的圓Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ為直徑作圓與圓Q交于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，則∠APB的余弦值為_(kāi)_______．已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,1)，且與圓M:(x+2)2＋(y+2)2＝r2(r>0)對(duì)于直線x+y+2=0對(duì)稱。（1）求圓C的方程；2）設(shè)Q為圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQMQ的最小值；3）過(guò)點(diǎn)P做兩條相異直線分別與圓C交于A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB能否平行，說(shuō)明原因。2．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，3)處的切線方程為()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝03．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有()A．1條C．3條

B．2條D．4條4．(教材習(xí)題改編)直線x－y＋2＝0被圓x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦長(zhǎng)等于________．5．已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，則兩圓的公共弦所在的直線方程為_(kāi)_______，公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_______6．已知直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4訂交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥23，則k的取值范圍為()A．[－3，0]B．[－3，1]44C．[2，2]D．[－3，1]421．把直線y＝322＋23x－2y＋3＝0相切，則直線轉(zhuǎn)3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓x＋y動(dòng)的最小正角是ππA.3B.22π5πC.3D.6分析：由題意，設(shè)切線為y＝kx，∴|1＋3k|2＝1，∴k＝0或k＝－3，∴k＝－3時(shí)轉(zhuǎn)1＋k動(dòng)最小，∴最小正角為2πππ3－＝，選B.622．若直線將圓x2＋y2－2x－4y＝0均分，但不經(jīng)過(guò)第四象限，則直線l的斜率的取值范圍是A．[0,2]B．[0,1]11C．[0，]D．[，1]22分析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝5，圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l將圓均分，也就是直線l過(guò)圓心(1,2)．當(dāng)直線過(guò)圓心與x軸平行時(shí)，或許直線同時(shí)過(guò)圓心與原點(diǎn)時(shí)都不經(jīng)過(guò)第四象限，而且當(dāng)直線l在這兩條直線之間時(shí)也不經(jīng)過(guò)第四象限．當(dāng)直線過(guò)圓心與x軸平行時(shí)，k＝0；當(dāng)直線同時(shí)過(guò)圓心與原點(diǎn)時(shí)，k＝2.所以當(dāng)k∈[0,2]時(shí)，知足題意．應(yīng)選A.2－y23．以拋物線y2＝20x的焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線x＝1的兩條漸近線都相切的圓的169方程是A．x2＋y2－10x＋9＝0B．x2＋y2－10x＋16＝0C．x2＋y2－20x＋64＝0D．x2＋y2－20x＋36＝022分析：由雙曲線方程可得，雙曲線的漸近線方程為x－y＝0，即3x±4y＝0，拋物線y2169＝20x的焦點(diǎn)為(5,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓的半徑r＝3.故圓的方程為(x－5)2＋y2＝9，即x2＋y2－10x＋16＝0，選B.4．定義一個(gè)對(duì)應(yīng)法例f：P′(m，n)→P(m，n)(m≥0，n≥0)．現(xiàn)有點(diǎn)A′(1,3)與B′(3,1)，點(diǎn)M′是線段A′B′上一動(dòng)點(diǎn)，按定義的對(duì)應(yīng)法例f：M′→M.當(dāng)點(diǎn)M′在線段A′B′上從點(diǎn)A′開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B′結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度為()πππD.2πA.4B.C.323分析：由題意知線段A′B′所在直線的方程為：x＋y＝4，設(shè)M(x，y)，則M′(x2，y2)，π進(jìn)而有x2＋y2＝4，易知A′(1,3)→A(1，3)，B′(3,1)→B(3，1)，不難得出∠AOx＝3，∠BOxππM所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度為ππ＝，則∠AOB＝，點(diǎn)M′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)2×＝，選B.66635．已知圓C：x2＋y2＝1，直線l過(guò)點(diǎn)P(1，1)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝3，22則直線l的方程為_(kāi)_________．1分析：①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x＝2，直線l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)1313為(，2)和(，－2)，|AB|＝3，知足題意．22②若直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l的方程為1111y－＝k(x－)，即kx－y－k＋＝0.22221k311|－|222設(shè)圓心到此直線的距離為d，則2＝1－d，得d＝2，2＝k2＋1，則k＝0，故所求直線方程為y＝1.21綜上所述，所求直線方程為y＝2或x＝2.6．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有兩點(diǎn)P、Q對(duì)于直線nx－my＋4＝0對(duì)稱，m>0，n>0，則mn的最大值等于__________．22(－1,3)，半徑為3的圓．∵點(diǎn)P、Q在圓上且對(duì)于直線nx－my＋4＝0對(duì)稱，∴圓心(－1,3)在直線上，代入得n＋3m＝4，又m>0，n>0，則n＋3m＝4≥23mn，∴0<mn≤43，當(dāng)且僅當(dāng)n＝3m＝2時(shí)取等號(hào)．7．設(shè)圓上的點(diǎn)A(2,3)對(duì)于直線x＋2y＝0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且與直線x－y＋1＝0訂交的弦長(zhǎng)為22，求圓的方程．解：用待定系數(shù)法求圓的方程，設(shè)圓的方程為222(x－a)＋(y－b)＝r.設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，半徑為r.∵點(diǎn)A(2,3)對(duì)于直線x＋2y＝0的對(duì)稱點(diǎn)A′仍在這個(gè)圓上，∴圓心(a，b)在直線x＋2y＝0上，∴a＋2b＝0，①(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②又直線x－y＋1＝0截圓所得的弦長(zhǎng)為22，r2－(a－b＋1)2＝(2)2.③2解由方程①、②、③構(gòu)成的方程組得：b＝－3，b＝－7，a＝6，或a＝14，r2＝52，r2＝244.∴所求圓的方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.8．圓O1的方程為：x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心O2(2,1)．(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程，并求內(nèi)公切線方程；(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝22，求圓O2的方程．解：(1)由兩圓外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，故圓O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2，兩圓的方程相減，即得兩圓內(nèi)公切線的方程x＋y＋1－22＝0.(2)設(shè)圓O2的方程為：(x－2)2＋(y－1)2＝r22，∵圓O1的方程為：x2＋(y＋1)2＝4，此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程：4x＋4y＋r22－8＝0①1作O1H⊥AB，則|AH|＝2|AB|＝2，|O1H|＝2，由圓心(0，－1)到直線①的距離得|r22－12|224＝2，得r2＝4或r2＝20，2故圓O2的方程為：(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1．(2012珠·海模擬)已知直線l1與圓x2＋y2＋2y＝0相切，且與直線l2：3x＋4y－6＝0平行，則直線l1的方程是()A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0分析：設(shè)直線l1的方程為3x＋4y＋m＝0.22∵直線l1與圓x＋y＋2y＝0相切，|－4＋m|∴22＝1.∴|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9.3＋4∴直線l1的方程為3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.2．(2012江·南十校聯(lián)考)若點(diǎn)P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線方程為()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0分析：圓心C(3,0)，kCP＝－1，由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以弦MN所在直線方2程是y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.3．(2012濟(jì)·南模擬)若直線x－y＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為22，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1或3B．1或3C．－2或6D．0或4分析：圓心(a,0)到直線x－y＝2的距離d＝|a－2|，2則(2)2＋|a－2|2＝22，∴a＝0或4.24．過(guò)圓x2＋y2＝1上一點(diǎn)作圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A.2B.3C．2D．3分析：設(shè)圓上的點(diǎn)為(x0，y0)，此中x0>0，y0>0，則切線方程為x0x＋y0y＝1.分別令x＝0，y＝0得A(1，0)，B(0，1)，x0y0∴|AB|＝12＋12＝1≥212＝2.x0y0x0y0x0＋y025．(2012鄭·州模擬)直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝9訂交于兩點(diǎn)M、N，若c2＝a2＋b2，則OMON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))等于()·A．－7B．－14C．7D．14分析：記OM、ON的夾角為2θ.依題意得，圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于|c|＝1，cosθ＝1，cos2θ＝2cos2θ－＝×12－1＝－7，·＝3×3cos2θ＝－a2＋b2312(3)9OMON7.6．已知點(diǎn)P在直線3x＋4y－25＝0上，點(diǎn)Q在圓x2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為_(kāi)_______．分析：設(shè)圓x2＋y2＝1的圓心為點(diǎn)O，則O為(0,0)，O點(diǎn)到直線3x＋4y－25＝0的距離d＝|25|5＝5，故該直線與圓O相離，則|PQ|的最小值為d－1＝5－1＝4.7．(2012·博模擬淄)已知圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C截得的弦長(zhǎng)為22，則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線的方程為_(kāi)_______．分析：由題可知，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)，a>0，則圓C的半徑為|a－1|，圓心到直線l的距離為|a－1||a－1|222，依據(jù)勾股定理可得，()＋(2)＝|a－1|，解得a＝3或a＝－1(舍去)，22所以圓C的圓心坐標(biāo)為(3,0)，則過(guò)圓心且與直線l垂直的直線的方程為x＋y－3＝0.8．求過(guò)點(diǎn)P(4，－1)且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于點(diǎn)M(1,2)的圓的方程．解：設(shè)所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r，則A，M，C三點(diǎn)共線，且有|MA|＝|AP|＝r，因?yàn)閳AC：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圓心為C(－1,3)，n－2＝2－3，則m－11＋1m－12＋n－22＝m－42＋n＋12＝r.解得m＝3，n＝1，r＝5，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5.9．已知圓C的圓心與點(diǎn)P(－2,1)對(duì)于直線y＝x＋1對(duì)稱，直線3x＋4y－11＝0與圓C訂交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，求圓C的方程．解：設(shè)點(diǎn)P對(duì)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為C(m，n)，1＋n－2＋m＋1，＝，2＝2m0則由?n－1n＝－1.m＋2·1＝－1故圓心C到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝|－4－11|＝3，9＋1622|AB|2所以圓C的半徑的平方r＝d＋4＝18.故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18.10．(2011鹽·城一模)已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)對(duì)于直線xy＋2＝0對(duì)稱．求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ·MQ的最小值；過(guò)點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C訂交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB能否平行？請(qǐng)說(shuō)明原因．解：(1)設(shè)圓心C(a，b)，a－2＋b－2＋2＝0，a＝0，22則解得b＋2＝0.a＋2＝1b則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2.設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且PQ·MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y4＝x＋y－2，所以PQ·MQ的最小值為－

4.(3)由題意知，直線PA和直線

PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)

PA：y－1＝k(x－1)，y－1＝kx－1PB：y－1＝－k(x－1)，由x，2＋y2＝2得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1必定是該方程的解，2k－2k－1k2＋2k－1同理，xB＝1＋k2，則kAB＝y(tǒng)B－yA＝－kxB－1－kxA－1xB－xAxB－xA

2k－kxB＋xA＝xB－xA＝1＝kOP.所以，直線AB和OP必定平行．第八章第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[課下作業(yè)][時(shí)間40分鐘，滿分80分]一、選擇題(每題6分，共30分)221．(2013·珠海模擬)已知直線l1與圓x＋y＋2y＝0相切，且與直線l2：3x＋A．3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0分析設(shè)直線l1的方程為3x＋4y＋m＝0.22∵直線l1與圓x＋y＋2y＝0相切，|－4＋m|32＋42＝1.|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9.∴直線l1的方程為3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.答案D2．(2012·江南十校聯(lián)考)若點(diǎn)P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線方程為DA．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝01分析圓心C(3,0)，kCP＝－2，由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以弦MN所在直線方程是y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案D3．(2013·西安模擬)直線x＋y＝1與圓x2＋y2－2ay＝0(a＞0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是AA．(0，2－1)B．(2－1，2＋1)C．(－2－1，2＋1)D．(0，2＋1)分析圓的圓心為(0，a)，半徑為a，∵直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，|a－1|＞a，解得0＜a＜2－1.2答案A4．(2013·山一模房)直線y＝kx＋3與圓(x－1)2＋(y＋2)2＝4訂交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥23，則k的取值范圍是BA.－∞，－12B.－∞，－1255C.－∞，12D.－∞，1255分析圓心(1,2)到直線y＝kx＋3的距離為d＝|k＋5|，1＋k2圓的半徑r＝2，r2－d2＝2k＋52∴|MN|＝24－1＋k2≥23，12解得k≤－5.答案B5．(2013·陽(yáng)模擬沈)已知圓C1：(x－1)2＋y2＝2和圓C2：(x－3)2＋(y－2)2＝r2恰巧有3條公切線，則圓C2的周長(zhǎng)為CA．πB.2πC．22πD．4π分析依據(jù)條件可知兩圓外切，故r＋2＝3－12＋22＝22，故r＝2，則圓C2的周長(zhǎng)為22π.答案C二、填空題(每題6分，共12分)6．(2013·大連檢測(cè))已知圓C：(x－1)2＋y2＝1與直線l：x－2y＋1＝0訂交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.|1＋1|25，分析圓心C到直線l的距離d＝5＝522425所以|AB|＝2r－d＝21－5＝5.答案255＋＋＝與圓2＋y2＝2交于不一樣的兩點(diǎn)A、7．(2012·耒陽(yáng)模擬)已知直線xym0x，是坐標(biāo)原點(diǎn)，→→→，那么實(shí)數(shù)O|OA＋OB≥m的取值范圍是________．B||AB|分析→→→即圓心到直線的距離大于或等于圓半徑的2據(jù)題意：|OA＋OB≥||AB|2而小于半徑．即有2×2≤|m|＜2?2≤|m|＜2，∴m∈(－2，－2]∪[2，2)．22答案(－2，－2]∪[2，2)三、解答題(共38分)8．(12分)求過(guò)點(diǎn)P(4，－1)且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于點(diǎn)M(1,2)的圓的方程．分析設(shè)所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r，則A，M，C三點(diǎn)共線，且有|MA|＝|AP|＝r，因?yàn)閳AC：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圓心為C(－1,3)，n－22－3則m－1＝1＋1，－12＋n－22＝m－42＋n＋12＝r.m解得m＝3，n＝1，r＝5，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5.9．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．2與x軸的交點(diǎn)為(3＋22，0)，(3－22，0)．故可設(shè)圓C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.則圓C的半徑為32＋t－12＝3.所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x－y＋a＝0，其坐標(biāo)知足方程組2＝9.x－32＋y－1消去y，獲得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，鑒別式＝56－16a－4a2＞0.a2－2a＋1所以x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①2因?yàn)镺A⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a＝－1，知足＞0，故a＝－1.210．(14分)已知以點(diǎn)Ct，t(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，此中O為原點(diǎn)．(1)求證：△OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．分析

(1)證明

設(shè)圓的方程為

x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，因?yàn)閳A心

2Ct，t

4，∴D＝－2t，E＝－t，令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，令x＝0得y＝0或y＝－E＝4，∴B0，4，tt∴S△OAB＝1142|OA||OB|2|2t|t(2)∵|OM|＝|ON|，∴O在MN的垂直均分線上，2而MN的垂直均分線過(guò)圓心C，∴kOC＝1，∴t＝1，解得t＝2或t＝－2，2t2而當(dāng)t＝－2時(shí)，直線與圓C不訂交，∴t＝2，∴D＝－4，E＝－2，∴圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0.[講堂練通考點(diǎn)]2231.(2013青·島一模)圓(x－1)＋y＝1與直線y＝x的地點(diǎn)關(guān)系是()3A．直線過(guò)圓心B．訂交C．相切D．相離分析：選B∵圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑r＝1，∴圓心到直線y＝3|3|＝1＜1＝r，應(yīng)選B.3x的距離為3＋92(2013西·安質(zhì)檢)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為()1A.2B．12C.2D.2分析：選D因?yàn)閳A心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝|c|＝|c|＝2，因a2＋b22|c|2此依據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長(zhǎng)的一半就等于1－22＝2，所以弦長(zhǎng)為2.223.(2014吉·林模擬)已知直線22＝4交于不一樣的兩點(diǎn)A，B，Ox＋y－k＝0(k＞0)與圓x＋y是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|OA＋OB|≥3|AB|，那么k的取值范圍是()3A.(3，＋∞)B．[2，＋∞)C．[2，22)D．[3，22)分析：選C當(dāng)|OA＋OB|＝33|AB|時(shí)，O，A，B三點(diǎn)為等腰三角形的三個(gè)極點(diǎn)，此中OA＝OB，∠AOB＝120°，進(jìn)而圓心O到直線x＋y－k＝0(k＞0)的距離為1，此時(shí)k＝2；當(dāng)k＞2時(shí)|OA＋OB|＞33|AB|，又直線與圓x2＋y2＝4存在兩交點(diǎn)，故k＜22，綜上，k的取值范圍為[2，22)，應(yīng)選C.4.(2014陜·西模擬)已知點(diǎn)P是圓C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一點(diǎn)，直線l：3x－4y－5＝0.若點(diǎn)P到直線l的距離為2，則切合題意的點(diǎn)P有________個(gè)．分析：由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝42，∴圓心到直線l的距離d＝|－6－12－5|＝23＞4，故直線與圓相離，則知足題意的點(diǎn)P55有2個(gè)．答案：25．求過(guò)點(diǎn)P(4，－1)且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于點(diǎn)M(1,2)的圓的方程．解：設(shè)所求圓的圓心為A(m，n)，半徑為r，則A，M，C三點(diǎn)共線，且有|MA|＝|AP|＝r，因?yàn)閳AC：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圓心為C(－1,3)，則n－2＝2－3，m－12＋n－22＝m－42＋n＋12＝r，m－11＋1解得m＝3，n＝1，r＝5，所以所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5.[課下提高考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1.圓x2＋y2－2x＋4y－4＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的地點(diǎn)關(guān)系為()A．相離B．相切C．訂交D．以上都有可能分析：選C∵圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圓心為(1，－2)，半徑r＝3.又圓心在直線2tx－y－2－2t＝0上，∴圓與直線訂交．2.圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的地點(diǎn)關(guān)系是()A．相離B．訂交C．外切D．內(nèi)切分析：選B圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為r1＝1，圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r2＝2，故兩圓的圓心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故兩圓訂交．22截得的弦長(zhǎng)為()3.(2013安·徽高考)直線x＋2y－5＋5＝0被圓x＋y－2x－4y＝0A．1B．2C．4D.46分析：選C依題意，圓的圓心為(1,2)，半徑r＝5，圓心到直線的距離d＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以聯(lián)合圖形可知弦長(zhǎng)的一半為r2－d2＝2，故弦長(zhǎng)為4.4．過(guò)點(diǎn)(1,1)的直線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝9訂交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A．23B．4C．25D．5分析：選B由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)(1,1)為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，|AB|的值最小，此時(shí)|AB|2r2－d2＝29－5＝4.5．(2013·建模擬福)已知直線l：y＝－3(x－1)與圓O：x2＋y2＝1在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，且l與y軸交于點(diǎn)A，則△MOA的面積等于________．分析：依題意，直線l：y＝－3(x－1)與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)．由{x2＋y2＝1，y＝－3x－1得，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝12，所以△MOA的面積為S＝1|OA|×xM＝1×3×1＝3.2224答案：346．以圓C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圓C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦為直徑的圓的方程為_(kāi)_____________．分析：法一：將兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0.由4x＋3y－2＝0，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)A(－1,2)，B(5，－6)．∵所求圓以AB為直徑，22x＋y－12x－2y－13＝0.∴所求圓的圓心是AB的中點(diǎn)M(2，－2)，圓的半徑為r＝1|AB|＝5，∴圓的方程為(x－2)2＋2(y＋2)2＝25.法二：易求得公共弦所在直線方程為4x＋3y－2＝0.設(shè)所求圓x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)，則圓心為－12λ－12，－16λ－221＋λ21＋λ.∵圓心在公共弦所在直線上，∴4×－12λ－1216λ－2122＋3－－2＝0，解得λ＝.故所求圓的方程為x＋y－4x＋4y－1721＋λ21＋λ20.答案：x2＋y2－4x＋4y－17＝0已知圓C的圓心與點(diǎn)P(－2,1)對(duì)于直線y＝x＋1對(duì)稱，直線3x＋4y－11＝0與圓C訂交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，求圓C的方程．解：設(shè)點(diǎn)P對(duì)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為C(m，n)，1＋n－2＋m2＝2＋1，m＝0，則由?n＝－1.n－11·1＝－m＋2故圓心C到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝|－4－11|＝3，9＋16所以圓C的半徑的平方r2＝d2＋|AB|2＝18.4故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18.8.已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程；(2)若直線ax－y＋4＝0