中考特殊的平行四邊形復習

特殊的平行四邊形復習一．中點四邊形問題：例1.（變式題：練習第三2和8題）（2016?蘭州）閱讀下面材料：在數學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC．結合小敏的思路作答（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決一下問題：（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD．①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．二、四邊形中的特殊三角形例2、如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延長CA至點E，使AE=AC；延長CB至點F，使BF=BC．連接AD，AF，DF，EF．延長DB交EF于點N．（1）求證：AD=AF；（2）求證：BD=EF；（3）試判斷四邊形ABNE的形狀，并說明理由．三、四邊形中的折疊問題本質：軸對稱（全等性，對稱性）關鍵：根據折疊實現等量轉化（1）根據勾股定理得方程。（2）根據相似比得方程。（3）找折疊中的特殊位置來解決特殊值問題例3(2015·濱州)如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊(點E在邊DC上)，折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處，若點D的坐標為(10，8)，則點E的坐標為________．例3例4例4（2013?遵義）如上圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．（1）求證：CM=CN；（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求的值．四、正方形中的線段垂直問題例5如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE．（1）求證：AF=BE；（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．五、探究型問題例6．（2015?甘肅武威）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連結CE，DF．（1）求證：四邊形（2）①當AE=cm時，四邊形CEDF是矩形；②當AE=cm時，四邊形CEDF是菱形．（直接寫出答案，不需要說明理由）六、四邊形中的相似三角形例7（2015湖南岳陽第22題8分）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足10題圖11題圖·12題圖13題圖12．（2016·山東省濱州市·4分）如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=，點E在對角線BD上，且BE=1.8，連接AE并延長交DC于點F，則=．13.（16哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E、F分別在邊AB、BC上，△BEF與△GEF關于直線EF對稱，點B的對稱點是點G，且點G在邊AD上．若EG⊥AC，AB=6，則FG的長為．三.解答題1．已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是CD中點，連結OE．過點C作CF∥BD交線段OE的延長線于點F，連結DF．求證：（1）△ODE≌△FCE；（2）四邊形ODFC是菱形．2．D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點．O是△ABC所在平面上的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．（1）如圖，當點O在△ABC的內部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數量關系？（直接寫出答案，不需要說明理由．）、3.（16吉林）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，AE∥BD．求證：四邊形AODE是矩形．4.（2016·四川內江）(9分)如圖6所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF．(1)求證：D是BC的中點；(2)若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．DDCEFBA圖65.（2016·黑龍江哈爾濱·）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P．（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長．6．（2016·山東省濟寧市）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．7．（16濱州市）如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F，G，連接ED，DG．（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，點H是BD上的一個動點，求HG+HC的最小值．8．（16德州）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀．（不必證明）9、如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．（1）求證：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．10（2016·湖北荊州）如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連接EF，當四邊形EDD′F為菱形時，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由．例1解：（1）是平行四邊形，證明：如圖2，連接AC，∵E是AB的中點，F是BC的中點，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，綜上可得：EF∥HG，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=BD，HG=AC，∴當AC=BD時，FG=HG，∴平行四邊形EFGH是菱形，（3）當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形；理由如下：同（2）得：四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四邊形EFGH為矩形．【點評】此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．例2（1）證明：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=135°，∵∠BCD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS），∴AD=AF；（2）證明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB=∠DAC，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠BAC=90°，∴∠EAF=∠BAD，在△AEF和△ABD中，，∴△AEF≌△ABD（SAS），∴BD=EF；（3）解：四邊形ABNE是正方形；理由如下：∵CD=CB，∠BCD=90°，∴∠CBD=45°，由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF=∠ABD=90°，∴四邊形ABNE是矩形，又∵AE=AB，∴四邊形ABNE是正方形．例4證明：由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形，∴HC=DN，NH=DC，∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，∴===3，∴MC=3ND=3HC，∴MH=2HC，設DN=x，則HC=x，MH=2x，∴CM=3x=CN，在Rt△CDN中，DC==2x，∴HN=2x，在Rt△MNH中，MN==2x，∴==2．例5（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP與NQ相等．理由如下：如圖，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，則與（1）的情況完全相同．參考答案BBCBBCABABCBB22.5162﹣25或4或5．6．2AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC20和2024①②③④3．3【解答】證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE為平行四邊形，∴四邊形AODE是矩形．4(1)證明：∵點E是AD的中點，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．∴△EAF≌△EDC．∴AF＝DC．∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點．(2)四邊形AFBD是矩形．證明如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中點，∴AD⊥BC．∴□AFBD是矩形． 5【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ6【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的邊長為1；（2）CN=CM．證明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBN中，，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴AF=CN，∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF∽△COM，∴=，∴==，即CN=CM．7【解答】解：（1）四邊形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四邊形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=3，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值為10．8【解答】（1）證明：如圖1中，連接BD．∵點E，H分別為邊AB，DA的中點，∴EH∥BD，EH=BD，∵點F，G分別為邊BC，CD的中點，∴FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．（2）四邊形EFGH是菱形．證明：如圖2中，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD∵點E，F，G分別為邊AB，BC，CD的中點，∴EF=AC，FG=BD，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．（3）四邊形EFGH是正方形．證明：如圖2中，設AC與BD交于點O．AC與PD交于點M，AC與EH交于點N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四